精品解析：江苏省南通市海门区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期期末考试 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 任意画一个三角形，其内角和 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 5. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 把一元二次方程配成的形式，则、的值是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应（　　） A. 1+2x＝100 B. x（1+x）＝100 C. （1+x）2＝100 D. 1+x+x2＝100 9. 如图，在正方形中，点B的坐标为，点E、F分别在边上，点E为的中点，若，则线段所在直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在中，若，则______． 12. 将直线向下平移3个单位所得的直线解析式是___________． 13. 已知点A(，1)与B(5，b)关于原点对称，则的值为_____． 14. 如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是______尺（其中1丈尺）． 15. 在平面直角坐标系中，点在一次函数图象上，且，则代数式的值为______． 16. 如图，在矩形中，，为边的中点，为上一点，于点，于点，当长为______时，四边形为矩形． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为______． 18. 如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 21. 在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀. (1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ； (2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解). 22. 为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，并进行党史知识竞赛．现从参赛的八，九年级学生中，各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息： a．表1 九年级抽取的20名学生的成绩（百分制）统计表 82 80 97 91 94 72 71 91 85 70 94 73 92 75 97 92 91 92 83 98 b．表2 九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 a 86.3 c．随机抽取八年级20名学生成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）在表2中，a的值等于______； （2）求八年级这20名学生成绩的平均数； （3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明判断的合理性． 23. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，连接． （1）若，求线段的长； （2）线段与线段有怎样的数量关系，并证明． 24. 如图1，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以的速度由B地匀速驶往C地．如图2，折线和线段分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段与相交于点M． （1）填空：A，B两地相距______千米； （2）求折线对应y与x的函数关系式； （3）求点M的坐标，并写出点M的实际意义． 25. 在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边作正方形． （1）当时，求点C，D的坐标； （2）当点C的纵坐标为7时，求m的值： （3）当点C一定不落在第二象限时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期末考试 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零，根据被开方数大于等于零即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故选：C． 2. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 代入各选项中点的横坐标，求出值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，∴点不在函数的图象上，故此选项不符合题意； B、当时，，∴点不在函数的图象上，故此选项不符合题意； C、当时，，∴点在函数的图象上，故此选项符合题意； D、当时，，∴点不在函数的图象上，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列事件中，是必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件，不符合题意； B、通常加热到时，水沸腾，属于必然事件，符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，不符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心 ，属于随机事件，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键． 根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：A． 6. 把一元二次方程配成的形式，则、的值是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】按照配方法把配成的形式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7. 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A．，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； B． ，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； C．，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； D．，能组成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A. 1+2x＝100 B. x（1+x）＝100 C. （1+x）2＝100 D. 1+x+x2＝100 【答案】C 【解析】 【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可． 【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得 （x+1）2＝100， 故选C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 9. 如图，在正方形中，点B的坐标为，点E、F分别在边上，点E为的中点，若，则线段所在直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及求正比例函数解析式．延长到点M，使，连接，可证得，则有，进而可得，则有FM=EF，在中，根据勾股定理可得建立方程求出x的值，可得到点F的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，延长到点M，使，连接， ∵四边形是正方形，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴ 设，则， 在中，， ∴ 解得：， ∴点F的坐标为， 设线段所在直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴线段所在直线的解析式为． 故选A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与x轴、y轴分别交于A，B两点即可求出A、B点的坐标，延长到，使，连接，求出，分析出当时，长最小，此时长最小，证明，即可求出，进而得出． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，；当时，， ∴， ∴， 延长到，使，连接， 点D为的中点， 是的中位线， ， 当时，长最小，此时长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，垂线段最短以及垂直平分线的性质，勾股定理等知识．掌握时，的长最小是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在中，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出． 【详解】解：在中有：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键． 12. 将直线向下平移3个单位所得的直线解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】直线y=2x向下平移3个单位所得的直线解析式是y=2x-3． 故答案为：y=2x-3． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移原则是解题的关键． 13. 已知点A(，1)与B(5，b)关于原点对称，则的值为_____． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出a、b的值，即可求出a+b的值． 【详解】根据两点关于原点对称得： ． ∴． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标．利用两点关于原点对称得出a、b的值是解答本题的关键． 14. 如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是______尺（其中1丈尺）． 【答案】#### 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度为尺． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上，且，则代数式的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征以及运用平方差公式对整式进行求值，利用一次函数图像上点的坐标特征可得出，再利用平方差公式对展开，最后代入计算即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8． 16. 如图，在矩形中，，为边的中点，为上一点，于点，于点，当长为______时，四边形为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明可得，再根据矩形的性质可得，得到是等腰直角三角形，即得，即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ， ， ∴， 若四边形矩形，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形为矩形， 故答案为：． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及求根公式． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到和3， 利用求根公式解方程得到，，然后利用（1）的范围可确定m的值． 【详解】解∶由题意得：且， ∴当和3时，原方程有两个不相等的实数根． ∵此方程的两根均为正整数，即， 解方程得，． ∴可取的正整数m的值为1． 故答案为：1． 18. 如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．根据正方形得到，，过A作于G，求得，根据勾股定理得到，，过E作于F，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】四边形是正方形， ，， 过A作于G，如图， ， ， ，， ， ， ， 过E作于F， ， ， ，， ， ，， ， ， 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减法，一元二次方程的解法，熟练掌握二次根式加法法则和用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解； （2）方程移项后，提取公因式变形后利用因式分解解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解： ，． 20. 有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 【答案】边长为的正方形 【解析】 【分析】此题可以设铁皮的各角应切去边长为的正方形．则底面矩形的长和宽分别是和，然后根据方盒的底面积是列方程求解． 【详解】解：设铁皮的各角应切去边长为的正方形， 根据题意得 解得或（不合题意，应舍去）． 答：切去边长为的正方形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是在列方程的时候，弄清方盒底面的长和宽，能够熟练运用因式分解法解方程． 21. 在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀. (1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ； (2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解). 【答案】(1) ；(2). 【解析】 【分析】（1）共4张卡片，奇数卡片有2张，利用概率公式直接进行计算即可；（2）画出表格，数出总情况数，数出抽取2张卡片标有数字之和大于4的情况数，再利用概率公式进行计算即可 【详解】(1)共4张卡片，奇数卡片有2张，所以恰好抽到标有奇数卡片的概率是 (2)表格如下 一共有12种情况，其中2张卡片标有数字之和大于4的有8种情况，所以 答：从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是，抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为. 【点睛】本题主要考查利用画树状图或列表求概率问题，本题关键在于能够列出表格 22. 为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，并进行党史知识竞赛．现从参赛的八，九年级学生中，各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息： a．表1 九年级抽取的20名学生的成绩（百分制）统计表 82 80 97 91 94 72 71 91 85 70 94 73 92 75 97 92 91 92 83 98 b．表2 九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 a 86.3 c．随机抽取八年级20名学生成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）在表2中，a的值等于______； （2）求八年级这20名学生成绩的平均数； （3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明判断的合理性． 【答案】（1）91； （2）83； （3）九年级的成绩较好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）中的表格的数从小到大排序，第10个数和第11个数的平均数即为中位数； （2）八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的总数减去九年级抽取的20名学生成绩的总数，可得八年级抽取的20名学生成绩的总数，即可求值； （3）从中位数和平均数上分析即可． 【小问1详解】 解：九年级抽取的20名学生成绩的中位数， 故答案为：91； 【小问2详解】 解：， 答：八年级这20名学生成绩的平均数为83； 【小问3详解】 解：九年级的成绩较好，理由如下： 从平均数上看，九年级平均数为八年级平均数为83； 从中位数上看，九年级成绩的中位数八年级成绩的中位数88， 综上所述，九年级成绩较好． 【点睛】本题考查平均数，中位数，方差，统计表，解本题关键要掌握平均数定义，中位数定义等． 23. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，连接． （1）若，求线段的长； （2）线段与线段有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）5； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查三角形中位的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位的性质是解题的关键． （1）证明是的中位线，利用三角形中位线的性质即可求解； （2）分别取线段，的中点M，N，连接，，，则是的中位线，利用中位线的性质证明，，从而证得四边形是平行四边形，利用平行线的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，分别是边，上的中线， 点D，点E分别是边，上的中点， 是的中位线， ， ， ． 【小问2详解】 解：． 证明：如图，分别取线段，的中点M，N，连接，，，则是的中位线， ，， ∵是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 24. 如图1，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以的速度由B地匀速驶往C地．如图2，折线和线段分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段与相交于点M． （1）填空：A，B两地相距______千米； （2）求折线对应的y与x的函数关系式； （3）求点M的坐标，并写出点M的实际意义． 【答案】（1）420； （2）； （3）M点的实际意义为：客车出发4小时后与货车相遇，相遇点距离C地． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法、二元一次方程等知识，解题的关键是学会读懂图象信息，学会用方程的思想思考问题； （1）根据图象得出、进而解答即可； （2）先求出F坐标，再分时，时，运用待定系数法求出解析式即可； （3）先求出段解析式，再联立方程组即可解答； 【小问1详解】 解：由图象可知千米，千米，则（千米）， 故答案为：420； 【小问2详解】 解：由图象可知：客车的速度为（千米/小时）， 点F的横坐标为， 点F的坐标为． ①当时，设，将点，代入得： ， 解得，， ； ②当时，设，将点，代入得：， 解得：， ； 综上得：； 【小问3详解】 解：∵货车速度为， 点H的横坐标为， 点H的坐标为； 设段解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ； 联立， 解得：， ； M点的实际意义为：客车出发4小时后与货车相遇，相遇点距离C地． 25. 在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 【答案】（1）5；（2）的长为2.5或10． 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，由全等三角形的性质可得出，由矩形的性质可知，利用勾股定理求出，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． （2）分两种情况，①当点E在线段上，由折叠可知，，， 当时，，进而判定为等腰三角形，过点F作于点H，延长交于点G，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由勾股定理求出，再求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． ②当点E在线段延长线上，由①得，则，设，则，， 在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． 【详解】解：（1）由折叠可知， ，， ， 在中， 设， ，， ， 在中，， 即：， 解得：， 的长为 5； （2）①当点E在线段上，如图①， 由折叠可知，，， 当时，， 为等腰三角形， 过点F作于点H，延长交于点G， ，， 在中， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为； ②当点E在线段延长线上，如图②， 由①得，则， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为10； 综上得：的长为2.5或10． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的问题，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的性质，分类的思想，掌握矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边作正方形． （1）当时，求点C，D的坐标； （2）当点C的纵坐标为7时，求m的值： （3）当点C一定不落在第二象限时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）点C坐标或，此时点D坐标为或； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把m的值代入直线解析式，确定出A与B的坐标，分C，D在直线上方和下方两种情况，利用一线三垂直得三角形全等，利用全等三角形对应边相等确定出C与D的坐标即可； （2）对于直线解析式，分别令和，求出对应x与y的值，表示出A与B的坐标，分C，D在直线右上方和左下方两种情况，利用一线三垂直得三角形确定出三角形全等，利用全等三角形对应边相等，根据C纵坐标为7求出m的值即可； （3）分情况讨论：当时，只要保证当点C，D在直线的左下方不在第二象限，当点B在的位置时，此时，再根据正方形的性质和直线的性质即可作答． 【小问1详解】 解：当时，直线解析式为， 令，得到，即， 令，得到， ，， ①当点C，D在直线的右上方时，如图，过点C作轴于点E， ， 由正方形可得：，， 则， ， ，， 点C坐标为， 此时由平移得点D坐标为； ②当点C，D在直线的左下方时， 同理得点C坐标为，此时点D坐标为； 综上得：点C坐标为或；点D坐标为或； 【小问2详解】 解：令，则； 令，则， ，， ①当点C，D在直线的右上方时，如图过点C作轴于点E， ， 由正方形可得：，， 则， ， ， ∵点C的纵坐标为7， ， 即， 解得； ②当点C，D在直线的左下方时， 如图过点C作轴于点E， ， 由正方形可得：，， 则， ， ， ∵点C的纵坐标为7， ， 即：， 解得， ③假设当时，当点C，D在直线的左下方时， 如图过点C作轴，过点A作轴，与过点B平行于y轴的直线分别交于点F、点E， ， 由正方形可得：，， 则， ， ， ∵点C的纵坐标为7， ， 解得， 此种情况不成立； 综上得：或； 【小问3详解】 解：∵直线过定点， ∴根据题意当时，只要保证当点C，D在直线的左下方不在第二象限， 则点C一定不在第二象限， 由（1）知当时，点，此时C不在第二象限， 又根据正方形的性质当时，点C向第三象限移动， ∴当时，点C一定不在第二象限； 当点B在的位置时，此时， 根据正方形的性质，则， 当点B向下移动时，根据正方形的性质，点C也向下移动， 此时， ∴当时，点C一定不在第二象限； 综上，，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，一次函数的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$