精品解析：山西省忻州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

忻州市2023—2024学年第二学期八年级期末教学质量监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，与3，4能构成勾股数的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴与3，4能构成勾股数的是5， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与运算，分别根据二次根式的加减法法则计算判断A，B，根据二次根式的性质化简可判断C；根据二次根式的乘法法则计算可判断D 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B. ，故此选项错误，不符合题意； C. ，故此选项错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D 3. 山西某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中最终成绩按综合荣誉分占，现场演讲分占来计算．小明参加了此次比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ） A. 86分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：分； 故选C． 4. 下列选项中的两张纸条（数据为纸条的宽度）叠放在一起后，重叠部分为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念即可求解．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 【详解】解：A、重叠部分为三角形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、因为两张纸条对边平行，所以重叠部分为平行四边形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、重叠部分为梯形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、因为两张纸条对边平行，且宽度都2，所以重叠部分为菱形，是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 已知点在正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断的大小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键．先根据正比例函数中，判断出函数的增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：在正比例函数中， ， y随x的增大而增大， 点在正比例函数的图象上，且， ， 故选：A． 6. 糖醋丸子是山西名菜，也是过年必吃的一道菜品．某餐饮机构为了让在外的山西游子能够品尝到“乡味”，特提供真空速食包装的糖醋丸子，该菜品有4种包装规格．该餐饮机构统计了某天网购平台这4种包装规格的糖醋丸子的销量数据如下表： 包装规格/（kg/包） 1 2 3 4 销量/包 18 32 24 26 则在这组数据中，包装规格的中位数和众数分别是（ ） A. 2，2 B. 2.5，2 C. 32，26 D. 28，32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数定义求解即可 【详解】解：由表格中的数据可得销量为（包） 其中包装规格为2千克的销量为32包，数量最多，故众数为2； 100个数据按大小顺序排列，最中间的两个数为第50，51个数据，从表格知为2，3， 所以，包装规格的中位数是； 故选：B 7. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦）．请你根据图象判断以下结论错误的是（ ） A. 拉力F与重力G成一次函数关系 B. 当滑轮组不悬挂物体时．所用的拉力为 C. 当物体的重力时，拉力 D. 拉力随着物体的重力的增加而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图象获取信息，根据函数图象中的信息进行判断即可求解． 【详解】解：由图可得，拉力F与重力G成一次函数关系，故A不符合题意； 由图可得，当滑轮组不悬挂物体时，即，所用的拉力为，故B不符合题意； 由图可得，当时，，故C符合题意； 由图可得，拉力随着物体的重力的增加而增大，故D不符合题意； 故选：C． 8. 一组二次根式，依照此规律，下列根式是最简二次根式的是（ ） A. 第12个根式 B. 第10个根式 C. 第13个根式 D. 第22个根式 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式（被开方数是整数或整式，且不含有补开得尽方的因数或因式），先找出所给一列二次根式的规律，再逐项进行判断即可 【详解】解：根据题意得，这组二次根式的被开方数为3，5，7，9⋯⋯，（的整数） 所以，A.第12个二次根式为，不是最简二次根式，故不符合题意； B. 第10个二次根式为，是最简二次根式，故合题意； C. 第13个二次根式为，不是最简二次根式，故不符合题意； D. 第22个二次根式为，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B 9. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具、如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 12尺 B. 13尺 C. 24尺 D. 26尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺， 故选：A． 10. 长方体容器中装有一定量的水，将其倾斜放置，水面恰好经过长方体容器的顶点，以经过的中点的水平线为轴，经过点的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于点，设交轴于点，则矩形为矩形，由性质得，，根据勾股定理求出，最后由线段和差即可求解，解题的关键是掌握矩形及等腰三角形的判定和性质． 【详解】如图，过点作轴于点，设交轴于点， ∴， ∵轴， ∴矩形为矩形， ∴，， ∵和点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 踩高跷比赛是山西的民俗体育项目之一，甲、乙两名运动员平时成绩的平均数和方差如下表所示．若只有一个参加省级比赛的名额，则应推荐______运动员参加． 甲 乙 平均数 76.2 76.2 方差 15.56 1.07 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查用方差做决策，根据方差的意义：“方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定”进行判断求解即可 【详解】解：∵甲、乙的平均数相同，， ∴乙运动员的平时成绩比较稳定， 则应推荐乙运动员， 故答案为：乙． 13. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交上一条弧于点，作射线；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则四边形的周长为______． 【答案】20对了 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，由可得，由作图得，推出得出四边形是平行四边形，由得四边形是菱形，从而可得结论 【详解】解：∵ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长为， 故答案：20 14. 植物的光合作用受多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度（单位：毫克/小时）与光照强度（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时，氧气释放速度与光照强度之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是______（填序号）． ①当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ②当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放20毫克的氧气． ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数图象获得有用信息，进行解得即可． 【详解】解：①根据函数图象得：当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快，正确，符合题意； ②当时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为50毫克/小时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为40毫克/小时，小时后多释放毫克氧气，正确，符合题意； ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度与温度有关系，选项错误，不符合题意； 综上分析可知：正确的是①②． 故答案：①②． 15. 如图，在中，，等边的顶点在线段上，顶点在的延长线上．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算；如图，过点作于点，则．证明，再进一步解答即可； 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． 在中，，， ， 为等边三角形， ． 在中，． ； 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式化简，熟练掌握运算法则，是解题关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先确定m的取值范围，然后利用二次根式性质进行化简即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ． 17. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，掌握k、b的符号与所经过象限之间的关系是解题的关键，根据改一次函数经过的象限列出关于n的不等式组，继而得解． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， 解得． 18. 如图，四边形为平行四边形，分别为边上的点，且． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）分别为的中点，若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质； （1）先证明，，再证明，从而可得结论； （2）利用三角形的中位线的性质可得，再结合平行四边形的性质可得答案； 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ． ， ，即， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：分别为的中点， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形的周长为． 19. “九曲黄河，‘晋’创未来”黄河文化创意大赛自5月10日开赛以来影响深远，各地群众踊跃报名．我市某校鼓励学生报名并进行作品初选，学生会小李同学统计了报名前10天两类作品的报名数量，绘制成了如下统计表． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 美术作品类数量 7 8 8 9 13 15 16 17 18 19 景观小品类数量 12 11 12 11 12 15 16 15 14 12 两类作品数量的中位数、众数、平均数、方差如下表． 中位数 众数 平均数 方差 美术作品类数量 14 19.2 景观小品类数量 12 13 3 （1）填空：表格中______，______． （2）求美术作品类数量的平均数． （3）请根据图表猜测，在未来哪类作品的报名数量会较多一些，并说明理由． 【答案】（1）12；8 （2） （3）美术作品类，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布统计表，涉及中位数、众数、平均数，能从表中找到有用信息是解答的关键． （1）根据中位数和众数的求解 方法求解即可； （2）利用平均数求解公式求解即可； （3）根据两种作品的统计数据比较即可解答． 【小问1详解】 解：将景观小品类所给数据从小到大排列：11，11，12，12，12，12，14，15，15，16，第5个和第6个数都是12， ∴中位数； 美术作品类的数据中，8出现了2次，出现次数最多， ∴众数 故答案为：12；8； 【小问2详解】 解：美术作品类数量平均数为． 【小问3详解】 解：美术作品类． 理由：由表格中的数据可以看出美术作品类数量呈上升趋势，而景观小品类数量趋于稳定， 在未来很可能美术作品类的报名数量会较多一些（合理即可）． 20. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究． 项目课题 从函数角度探究浮箭漏 项目研究过程 方案及图示 相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． 研究任务 （1）在上述平面直角坐标系中，画出的函数图象． （2）求读数与供水时间之间的函数关系式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么到下午15：00时，箭尺读数增加了______cm． 【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）36 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，画一次函数的图象； （1）先描点，再根据一次函数的图象是直线画图即可； （2）设函数，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）先分析得到，再计算函数值，从而可得答案； 【详解】解：（1）如图，描点，，画线段如下： （2）设函数为， ∴， 解得：， ∴函数为：； （3）上午9：00，到下午15：00时，此时， 当时，； ∴； ∴箭尺读数增加了； 21. 阅读与思考： 下面是莉莉同学的学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 芬斯勒—哈德维格尔定理 芬斯勒—哈德维格尔定理：如图1，若两个正方形和拥有同一个顶点，则的中点，的中点，正方形的中心和正方形的中心将组成一个正方形． 证明过程如下： 证明：连接与交于点与交于点． 由四边形，四边形均为正方形，易证：， ． 分别是的中点，（依据1）． 同理，， 四边形为菱形（依据2）． …… 拓展应用： 如图2，正方形和正方形有公共顶点，点在的延长线上，点在边上，为的中点，为的中点，点分别为正方形和正方形的中心．若，则四边形的面积为______． 任务： （1）材料中的依据１是指______，依据2是指______． （2）将“……”处的证明过程补充完整． （3）材料“拓展应用”中的四边形的面积为______． 【答案】（1）三角形的中位线定理；四条边都相等的四边形是菱形 （2）见解析 （3）20 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的定理，菱形的判定和性质，正方形的判断，勾股定理： （1）根据三角形的中位线定理，菱形的判定方法进行作答即可； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证； （3）过点作于点，求出的长，勾股定理求出的长，根据正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：的依据是：三角形的中位线定理； 四边形为菱形的依据是：四边相等的四边形为菱形； 【小问2详解】 证明： ． ， ∴菱形为正方形． 【小问3详解】 解：过点作于点． ∵正方形和正方形，， ∴， ∴ ∵为的中点，点为正方形的中心， ， ． 由材料可知，四边形是正方形， 四边形的面积为20． 22. 综合与实践： 问题情境：综合实践课上，老师提出问题：如图1，在矩形纸片中，，求对角线的长． 数学思考：（1）完成老师提出的问题． 深入探究：（2）老师取的中点，取的中点，并让同学们利用折叠和裁剪知识提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，取的中点，取的中点，沿将折叠，使点落在上的点处，沿将折叠，使点落在上的点处，求的长． ②“智慧小组”提出问题：如图3，在对角线上取两点，且，将四边形裁剪下来，当所裁剪的四边形为矩形时，求的长．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】（1）；（2）①；②1 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理，矩形与折叠问题等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，再运用勾股定理求解即可； （2）①先证明，再用等面积法求出，继而求出，同理可知，最后用计算即可； ②证明四边形是平行四边形，得出，再求出，运用矩形的性质得出，从而得解． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ． 在中，，， ∴． （2）①分别为和的中点， 为的中位线， ． 由翻折可知，， ， ， ， ． 同理，， ． ②1，理由如下： 如图，连接交于点，连接、， ∵四边形为矩形，点是的中点，点是的中点， ∴，，四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形，， ∴ 又， 四边形是矩形， ， ． 23. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为为线段的中点，为线段上的一动点(不与点重合)，直线交的延长线于点． （1）当为的中点时，求直线的函数解析式． （2）求点的坐标(用含的代数式表示)． （3）当点在线段的垂直平分线上时，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点M、N的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的函数解析式，再根据点Q的横坐标是2，点Q在直线上求解即可； （3）运用垂直平分线的性质得出，即，再根据两点间的距离公式求出和，从而建立方程求出n，从而代入（2）中结论得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为， ∴， 又∵为线段的中点， ∴ ∵点的坐标为，为的中点， ∴， 设直线的函数解析式为． 将点代入， 得解得 直线的函数解析式为． 【小问2详解】 设直线的函数解析式为． 将点代入， 得解得 直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 点的坐标为． 【小问3详解】 ．理由如下： 点在线段的垂直平分线上， ， ， ∵，，， ，， ， 解得， 由（2）可知直线的函数解析式为． 将点代入得：直线的函数解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 忻州市2023—2024学年第二学期八年级期末教学质量监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，与3，4能构成勾股数的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 山西某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中最终成绩按综合荣誉分占，现场演讲分占来计算．小明参加了此次比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ） A. 86分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 4. 下列选项中的两张纸条（数据为纸条的宽度）叠放在一起后，重叠部分为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断的大小 6. 糖醋丸子是山西名菜，也是过年必吃的一道菜品．某餐饮机构为了让在外的山西游子能够品尝到“乡味”，特提供真空速食包装的糖醋丸子，该菜品有4种包装规格．该餐饮机构统计了某天网购平台这4种包装规格的糖醋丸子的销量数据如下表： 包装规格/（kg/包） 1 2 3 4 销量/包 18 32 24 26 则在这组数据中，包装规格的中位数和众数分别是（ ） A. 2，2 B. 2.5，2 C. 32，26 D. 28，32 7. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦）．请你根据图象判断以下结论错误的是（ ） A. 拉力F与重力G成一次函数关系 B. 当滑轮组不悬挂物体时．所用的拉力为 C. 当物体的重力时，拉力 D. 拉力随着物体的重力的增加而增大 8. 一组二次根式，依照此规律，下列根式是最简二次根式的是（ ） A. 第12个根式 B. 第10个根式 C. 第13个根式 D. 第22个根式 9. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具、如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 12尺 B. 13尺 C. 24尺 D. 26尺 10. 长方体容器中装有一定量的水，将其倾斜放置，水面恰好经过长方体容器的顶点，以经过的中点的水平线为轴，经过点的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 踩高跷比赛是山西的民俗体育项目之一，甲、乙两名运动员平时成绩的平均数和方差如下表所示．若只有一个参加省级比赛的名额，则应推荐______运动员参加． 甲 乙 平均数 76.2 76.2 方差 15.56 1.07 13. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交上一条弧于点，作射线；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则四边形的周长为______． 14. 植物的光合作用受多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度（单位：毫克/小时）与光照强度（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时，氧气释放速度与光照强度之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是______（填序号）． ①当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ②当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放20毫克的氧气． ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． 15. 如图，在中，，等边的顶点在线段上，顶点在的延长线上．若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简：． 17. 已知一次函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 18. 如图，四边形为平行四边形，分别为边上的点，且． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）分别为的中点，若，求四边形的周长． 19. “九曲黄河，‘晋’创未来”黄河文化创意大赛自5月10日开赛以来影响深远，各地群众踊跃报名．我市某校鼓励学生报名并进行作品初选，学生会小李同学统计了报名前10天两类作品的报名数量，绘制成了如下统计表． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 美术作品类数量 7 8 8 9 13 15 16 17 18 19 景观小品类数量 12 11 12 11 12 15 16 15 14 12 两类作品数量的中位数、众数、平均数、方差如下表． 中位数 众数 平均数 方差 美术作品类数量 14 192 景观小品类数量 12 13 3 （1）填空：表格中______，______． （2）求美术作品类数量平均数． （3）请根据图表猜测，在未来哪类作品的报名数量会较多一些，并说明理由． 20. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究． 项目课题 从函数角度探究浮箭漏 项目研究过程 方案及图示 相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． 研究任务 （1）在上述平面直角坐标系中，画出的函数图象． （2）求读数与供水时间之间的函数关系式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么到下午15：00时，箭尺读数增加了______cm． 21. 阅读与思考： 下面是莉莉同学的学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 芬斯勒—哈德维格尔定理 芬斯勒—哈德维格尔定理：如图1，若两个正方形和拥有同一个顶点，则的中点，的中点，正方形的中心和正方形的中心将组成一个正方形． 证明过程如下： 证明：连接与交于点与交于点． 由四边形，四边形均为正方形，易证：， ． 分别是的中点，（依据1）． 同理，， 四边形为菱形（依据2）． …… 拓展应用： 如图2，正方形和正方形有公共顶点，点在的延长线上，点在边上，为的中点，为的中点，点分别为正方形和正方形的中心．若，则四边形的面积为______． 任务： （1）材料中的依据１是指______，依据2是指______． （2）将“……”处的证明过程补充完整． （3）材料“拓展应用”中的四边形的面积为______． 22. 综合与实践： 问题情境：综合实践课上，老师提出问题：如图1，在矩形纸片中，，求对角线的长． 数学思考：（1）完成老师提出的问题． 深入探究：（2）老师取的中点，取的中点，并让同学们利用折叠和裁剪知识提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，取的中点，取的中点，沿将折叠，使点落在上的点处，沿将折叠，使点落在上的点处，求的长． ②“智慧小组”提出问题：如图3，在对角线上取两点，且，将四边形裁剪下来，当所裁剪的四边形为矩形时，求的长．请你思考此问题，并直接写出结果． 23. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点坐标为，点的坐标为为线段的中点，为线段上的一动点(不与点重合)，直线交的延长线于点． （1）当为的中点时，求直线的函数解析式． （2）求点的坐标(用含的代数式表示)． （3）当点在线段的垂直平分线上时，请直接写出直线的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$