精品解析：湖北省部分省级示范高中2023～2024学年高一下学期期末测试数学试卷

湖北省部分省级示范高中2023~2024学年下学期期末测试 高一数学试卷 考试时间：2024年7月2日；试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为7 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的中位数为7 D. 这组数据的方差为7 3. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 两个单位向量之和不可能是单位向量 D. 5. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 武汉某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 该样本数据的中位数和众数均为85 C. 若样本数据平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改 D. 为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人 10. 下列命题中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 已知，，是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则的最大值为 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______． 13. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____． 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及值. 16. 在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，ADBC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点. （1）求证：CE//平面PAB； （2）求证：平面PAC⊥平面PDC； （3）求直线EC与平面PAC所成角的正切值. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知内，且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差. 18. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，，其中为上点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； （3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省部分省级示范高中2023~2024学年下学期期末测试 高一数学试卷 考试时间：2024年7月2日；试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数除法化简复数，然后求出复数对应的点. 【详解】因为， 所以对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为7 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的中位数为7 D. 这组数据的方差为7 【答案】D 【解析】 【分析】由一组数据的数字特征求解判断即可. 【详解】9，5，7，6，8，7这组数据从小到大排列，5，6，7，7，8，9， 所以众数为7，中位数为7，平均数为， 方差为：， 故选：D 3. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的判定定理得；对于B，由线面平行的性质得；对于C，与相交或平行；对于D，与相交、平行或异面． 【详解】m，n是两条直线，，是两个平面， 对于A，若，，，则由面面平行的判定定理得，故A错误； 对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确； 对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误； 对于D，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误． 故选：B. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 两个单位向量之和不可能是单位向量 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及向量的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，平行向量又叫共线向量，所以A错误； 对于B中，单位向量长度相等，但方向不一定相同，所以B错误； 对于C中，当两个单位向量夹角为120°时，两个单位向量之和也是单位向量，所以C错误； 对于D中，，所以 D正确． 故选：D． 5. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图，结合选项，即可判断. 【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确． 故选：D 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 7. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C 8. 已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点在平面上的射影点位置，再求出点到平面的距离最大和最小作答，结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】在矩形中，，，过点作于，交边于，如图， ，， 所以，，， 所以，，则， 则， 把沿折起到的过程中，，， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 由面面垂直的性质定理可知，点在平面上的射影在直线上， 因为点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则当平面时， 点到平面的距离最大，于是， 当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时， 于，从而， 而， 所以，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下： （1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 武汉某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 该样本数据的中位数和众数均为85 C. 若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改 D. 为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图估算中位数，众数和平均数等. 【详解】由直方图可知：，解得，故A正确； 设样本数据的中位数为，则，解得，故B错误； 平均数，故C正确； ，，分别有(人)，(人)，(人)，根据分层抽样的原理，从组抽取的人数为(人)，故D错误. 故选：AC 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，，是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由复数的模长公式可判断A选项；由共轭复数的概念及复数的乘法法则可判断B选项； 对于C选项，利用共轭复数根的性质结合韦达定理，即可求得和的取值； 对于D选项，将复数模长公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离再加上半径，即可判断. 【详解】A选项：若，则，故A错误； B选项：若，则，故B错误； C选项：因为是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，解得， 则，故C正确； D选项：设，因为， 所以，即，其表示圆心为，半径为2的圆. 而，其表示圆上的点到点的距离. 因为圆心到点的距离为， 所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合导数求解即可判断D项. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以的取值范围为，故B项错误． 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以，， 令，则，所以，， 令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，, 所以， 所以， 故边上中线长为. 故答案为：2.5. 13. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平均数、方差的概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案． 【详解】由题意可得：， 设，，则，解得， ∴ 故答案为4． 【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题． 14. 在锐角中，，它面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由复数的几何意义可得A，B，C的坐标，再由模长公式计算可得结果； （2）由平行四边形性质及平面向量线性计算可得,再由向量夹角的坐标表示计算可得出结果. 【小问1详解】 易知，，， ，，， ， . 【小问2详解】 设，则，， 由平行四边形可得， 故，又， 所以， 即可得. 16. 在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，ADBC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点. （1）求证：CE//平面PAB； （2）求证：平面PAC⊥平面PDC； （3）求直线EC与平面PAC所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明以DC⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定定理求解即可； （3）取PC的中点F，证明∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可． 【详解】（1）取PA的中点M，连接BM，ME，则MEAD且ME=AD， 又因为BCAD且BC=AD， 所以MEBC且ME=BC， 所以四边形MECB为平行四边形，所以BMCE， 又CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，所以CE平面PAB. （2）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥DC，又因为AC2+CD2=2+2=AD2， 所以DC⊥AC，因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，所以DC⊥平面PAC. 又因为DC⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC. （3）解：取PC的中点F，连接EF，则EFDC， 由（2）知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC， 所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角. 因为，EF=CD=， 所以tan∠ECF==即直线EC与平面PAC所成角的正切值为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知内，且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差. 【答案】（1） （2）84. （3）平均数为65，方差为4 【解析】 【分析】（1）根据频率之和1即可求解， （2）根据百分位数的计算公式即可求解， （3）根据平均数的计算可得的平均数，即可利用总体方差公式即可求解. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1得，，所以. 小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以的平均数为x，方差为，，则. 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为，计算可得方差为4. 18. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，，其中为上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，与交于，则，，根据线面平行的判定定理即可得出结论； （2）取的中点，的中点，可证得，，所以为平面与平面的夹角，在中利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 连接，与交于，连接， 因为，所以， 又，所以，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 所以，又平面，则平面， 在直角中，，则, 又，，则，得， 因为的中点，的中点，所以， 则，， 因为平面，平面，所以 在直角中，，则， 所以为等腰三角形，又，为的中点， 所以， 所以为平面与平面的夹角， ， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； （3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 解： ， 所以函数的相伴向量． 【小问2详解】 解：由题知：， 所以． ①当时，； ②当时，． 所以， 可求得在单调递增，单调递减，单调递增， 单调递减且， ∵图像与有且仅有四个不同的交点， 所以实数k的取值范围为 【小问3详解】 解：的“相伴函数”，其中，，． 当，即，时取得最大值． 所以， 当时，此时，，，所以无意义， 当时，所以， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$