精品解析：江苏省扬州市江都区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2024.6 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2、2、3 B. 2、2、5 C. 5、5、11 D. 1、2、3 2. 下列运算正确的是（　　） A. a+a2＝a3 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. a9÷a3＝a3 D. （a2）3＝a6 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“若，则，”，下列能说明该命题是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，则之间的关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点．若四边形的面积为10，则的面积为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，并顺利进入预定的环月轨道．这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞．返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为__________． 10. 关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值为__________． 11. “内错角相等”是___________命题．（填“真”、“假”） 12. 已知，则的值为________． 13. 已知，，则________． 14. 已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______． 15. 如图，在中，是的高线，是的角平分线．若，则__________°． 16. 如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是__________. 17. 如图，，若，，则__________． 18. 设是从，0，1这三个数中取值的一列数，若，，则中为1的个数是____________ 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 分解因式： （1） （2）． 21. 解下列方程（不等式）组： （1） （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知：如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2700元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买总费用不超过1772元，甲种头盔最多可买多少只？ 25. 已知关于、的方程组（是常数）． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：． 26. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． （1）下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①； ②； ③． （2）若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 27. 阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∴代数式的最小值为． （2） ∴代数式的最大值为． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为__________； （2）已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知，代数式的最小值为__________． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 28. 如图1，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中： （1）如图2，当___________时，；当___________时，； （2）将绕点按逆时针方向旋转到如图3的位置，边与延长线交于点，边与交点，求的值； （3）当顶点不在内部时，此时的度数范围是___________；（三角形的内部不包含三角形的边） （4）在旋转过程中，当___________时，的一边与平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2024.6 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2、2、3 B. 2、2、5 C. 5、5、11 D. 1、2、3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，比较两条较短的线段的长度和与较长线段的大小关系，即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. a+a2＝a3 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. a9÷a3＝a3 D. （a2）3＝a6 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则以及完全平方公式分析得出答案． 【详解】解：A．无法计算，故此选项错误； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的法则，完全平方公式，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误； B、，原选项错误； C、，正确； D、，原选项错误； 故选C． 4. 对于命题“若，则，”，下列能说明该命题是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则，一次判断各个选项即可． 【详解】解：A、当，时，，不满足，故A不符合题意； B、当，时，，不满足，故B不符合题意； C、当，时，，满足，不满足“，”，故C是返利，符合题意； D、当，，满足“若，则，”，故D不是反例，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．注意反例满足条件但是不满足结论． 5. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱，抓住等量关系每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱，列方程组即可． 【详解】解：由题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数y=8x-3, 每人出七钱，又差四钱；总钱数y=7x+4， ∴联立方程组为． 故选：A． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系：每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱列方程组是解题关键． 6. 如图，，则之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得到，根据平行线的性质，进行推导即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B. 7. 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠的性质，根据折叠性质得出，根据三角形外角性质得出，． 【详解】解：如图，设与交于点O， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点．若四边形的面积为10，则的面积为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用中线平分面积结合同高三角形的面积比等于底边比，设，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 设，则：， ∵四边形的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，并顺利进入预定的环月轨道．这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞．返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式．根据公式即可推出． 【详解】解：关于的二次三项式是一个完全平方式 ． 故答案为：． 11. “内错角相等”是___________命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了判定命题的真假，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等，错误的命题是假命题是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，两直线平行，内错角相等， ∴“内错角相等”是假命题， 故答案为：假． 12. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，，则________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形可得，代入求解即可． 【详解】，，， ， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：∵一个正多边形的一个内角是120º， ∴这个正多边形的一个外角为：180º-120º=60º， ∵多边形的外角和为360º， ∴360º÷60º =6， 则这个多边形是六边形． 故答案为：6． 【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 15. 如图，在中，是的高线，是的角平分线．若，则__________°． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先求出的度数，角平分线求出的度数，高线结合三角形的内角和求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 16. 如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，平方差公式的几何应用，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 17. 如图，，若，，则__________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，设，，则，，根据三角形内角和表示出，根据对顶角相等可得到，，再利用三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：如图， 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， 在中， ， 故答案为：40． 18. 设是从，0，1这三个数中取值的一列数，若，，则中为1的个数是____________ 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设中为1的有个，根据，得到为的也有个，则为0的有个，再根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设中为1的有个， ∵， ∴中为的也有个， ∴中为0的有个， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：1000． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别运算再合并即可求解； （）利用积的乘方公式、幂的乘方公式先运算，再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ， ． 20. 分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再用平方差公式法因式分解； （2）先提公因式，再用完全平方公式法因式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 21. 解下列方程（不等式）组： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）分别求解不等式①②，再得到公共解集即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行乘法公式和单项式乘以多项式的运算，合并同类项进行化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 23. 已知：如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得结论； （2）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 的度数为． 24. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2700元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买总费用不超过1772元，甲种头盔最多可买多少只？ 【答案】（1）甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是50元 （2）甲种头盔最多可买3只 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用： （1）设购买甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2700元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元，列出方程组进行求解即可； （2）设购只甲种头盔，根据此次购买总费用不超过1772元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，根据题意，得： ，解方程组，得： 答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是50元． 【小问2详解】 设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，根据题意，得： 解不等式，得： 答：甲种头盔最多可买3只． 25. 已知关于、的方程组（是常数）． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值： （1）两个方程相加后，结合解的情况，得到关于的方程，求解即可； （2）两个方程相减后，结合解的情况，得到关于的不等式组，求解即可； （3）根据的范围，确定式子的符号，化简绝对值即可． 【小问1详解】 解：， ，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ，得：， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 26. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． （1）下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①； ②； ③． （2）若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【小问1详解】 解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∴①是不等式组的“友好方程”， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； 【小问3详解】 解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 27. 阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∴代数式的最小值为． （2） ∴代数式的最大值为． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为__________； （2）已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知，代数式的最小值为__________． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【答案】（1）（2）（3）0（4）当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握配方法，是解题的关键： （1）配方法求出最小值即可； （2），配方确定的符号，即可； （3）根据，得到，代入，利用配方法求最值即可． （4）设长为m，则宽为m，根据面积公式，结合配方法，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为0； （4）设长方形的长为m，则宽为m， ∴长方形的面积为：， ∵， ∴， ∴长方形的面积， 即：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为． 28. 如图1，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中： （1）如图2，当___________时，；当___________时，； （2）将绕点按逆时针方向旋转到如图3的位置，边与延长线交于点，边与交点，求的值； （3）当顶点不在内部时，此时的度数范围是___________；（三角形的内部不包含三角形的边） （4）在旋转过程中，当___________时，的一边与平行． 【答案】（1）15；60 （2） （3）或 （4）15或105或135 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可； （3）求出点在边和边上时，的度数，即可得出结果； （4）分，三种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：当，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ； 【小问3详解】 当点在边上时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴当时，顶点不在内部； ②当点在上时：， ∴当时，顶点不在内部； 综上：或； 【小问4详解】 ①当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴，即：； ②当时，， ∴， ∴，即：； ③当时，则：， ∴，即； 故答案为：15或105或135． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $