精品解析：江苏省南通市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年（下）初二期末学业水平质量监测 数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 2. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某射击运动员在射击训练中的5次成绩（单位：环）分别是：5，8，6，8，9．这组数据的中位数是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程经过配方变形为，则n的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 9 6. 将一次函数的图像向下平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司在对员工进行招聘时，主要对员工的专业知识、应变能力和工作能力三方面进行考核，并将这三项成绩分别按和的比例计算总成绩．小王的各项成绩（单位：分）如下表，则小王的考核总成绩为（ ） 姓名 专业知识 应变能力 工作能力 小王 85 80 95 A. 84 B. 85 C. 87 D. 89 8. 如图，在正方形中，将对角线绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ） A. 10尺 B. 5尺 C. 10尺或2尺 D. 5尺或4尺 10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则______． 13. 如图，将14名学生甲，乙两种课程的成绩分别作为横、纵坐标描点，则学生成绩方差较大的课程是______．（填“甲”或“乙”） 14. 某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利平均增长率都相同，则这个平均增长率是______． 15. 已知一次函数函数值y随x的增大而增大，那么当时，y的值可以是______．（写出一个即可） 16. 如图，四边形是菱形，B，C，D三点坐标分别是，，，点A在第一象限，则m的值是______． 17. 根据图像，可得关于的不等式的解集是______． 18. 如图，在中，，，P是边上一个动点，过点P分别作边，的垂线，垂足为D，E，连接．若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点逆时针旋转得到（，分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点逆时针旋转对应点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 21. 甲，乙两人从一条长为的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息．图1是甲出发后行走的路程（单位：）与行走时间（单位：）的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数图象． （1）求甲，乙两人的速度； （2）求，的值． 22. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分分）． a．甲班成绩统计表： 平均数 众数 中位数 优秀率 79 84 76 b．乙班良好这一组学生的成绩 70，71，73，73，73， 74，76，77，78，79． c．乙班成绩统计图： 说明： ①成绩等级分：80分及以上为优秀，70∼79分为良好，60∼69分为合格，60以下为不合格； ②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值． （1）已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在______班的名次更好些； （2）从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好． 23. 如图，矩形中，点E，F分别在延长线和的延长线上，且． （1）仅用没有刻度的直尺画出的中点O（保留画图痕迹并证明）； （2）已知，，当的长为______时，四边形是菱形． 24. 某商场销售一种成本为20元的商品，市场调研反映：在某个月的第x天（）的销售价格为元，日销售量与x的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数解析式； （2）销售该商品第几天时，日销售利润为2250元？ （3）日销售利润能达到2500元吗？说明理由． 25. 如图，四边形是正方形，连接，过点C作射线，点E在边上，画射线，将射线绕点E顺时针旋转与交于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 26. 已知平面直角坐标系中，直线和直线（其中k，b是不为0的常数，）相交于点P，分别交y轴于A，B两点． （1）求证：点P在直线上； （2）如图，若，，，求的值； （3）在（2）的条件下，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出此时点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年（下）初二期末学业水平质量监测 数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可. 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选D 2. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A不是中心对称图形，故不符合要求； B是中心对称图形，故符合要求； C不是中心对称图形，故不符合要求； D不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 3. 某射击运动员在射击训练中的5次成绩（单位：环）分别是：5，8，6，8，9．这组数据的中位数是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，6，8，8，9， 则中位数为：8． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 5. 一元二次方程经过配方变形为，则n值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键．利用配方法将方程变形得，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：A． 6. 将一次函数的图像向下平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像平移，熟悉掌握平移的规律是解题的关键．根据函数图像平移规律“上加下减”，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图像向下平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式为． 故选：C． 7. 某公司在对员工进行招聘时，主要对员工的专业知识、应变能力和工作能力三方面进行考核，并将这三项成绩分别按和的比例计算总成绩．小王的各项成绩（单位：分）如下表，则小王的考核总成绩为（ ） 姓名 专业知识 应变能力 工作能力 小王 85 80 95 A. 84 B. 85 C. 87 D. 89 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小王的考核总成绩为：(分)． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，将对角线绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得点共线，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点共线， ∴， ∴， 故选：D． 9. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ） A. 10尺 B. 5尺 C. 10尺或2尺 D. 5尺或4尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ，G是的中点， ．， ． 故答案为：5 13. 如图，将14名学生甲，乙两种课程的成绩分别作为横、纵坐标描点，则学生成绩方差较大的课程是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：根据图可知，横坐标表示甲的成绩，纵坐标表示乙的成绩，根据图中点的坐标可知，纵坐标的波动较大，横坐标的波动较小，所以学生成绩方差较大的课程是乙． 故答案为：乙． 14. 某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利12000元，3月盈利14520元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 15. 已知一次函数的函数值y随x的增大而增大，那么当时，y的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．由函数值随值的增大而增大，可得出，取，再代入，求出值即可． 【详解】∵一次函数，其函数值随值的增大而增大， ， 取，则一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：2(答案不唯一)． 16. 如图，四边形是菱形，B，C，D三点坐标分别是，，，点A在第一象限，则m的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点间距离公式，根据菱形的性质得出，根据B，C，D三点坐标分别是，，，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：7． 17. 根据图像，可得关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图像确定不等式的解集是解题的关键．将原不等式整理为，然后根据函数图像，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴结合图像可知，不等式的解集为， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，P是边上一个动点，过点P分别作边，的垂线，垂足为D，E，连接．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，垂线段最短以及三角形面积等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由直角三角形的性质和勾股定理求出，再证四边形是矩形，得，然后由垂线段最短得时，线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ∴四边形是矩形． ， 当时，最小， 此时，，即． 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握方程的解法是解本题的关键； （1）先移项，化，再利用配方法解方程即可； （2）把方程左边分解因式，利用因式分解的方法解方程即可； 【小问1详解】 解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 【小问2详解】 解：， ∴． 于是得，或， ，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点逆时针旋转得到（，分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点逆时针旋转对应点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）见详解；点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图，然后作答即可； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，然后作答即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求， 由图可知，点的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图所示， ∵，， ∴由图可知，点的纵坐标为3，点的纵坐标为， ∴． 21. 甲，乙两人从一条长为的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息．图1是甲出发后行走的路程（单位：）与行走时间（单位：）的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数图象． （1）求甲，乙两人的速度； （2）求，的值． 【答案】（1）甲的速度是，乙的速度是；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据图1中的数据，可以计算出甲的速度，然后图2中的数据，可以计算出乙的速度，本题得以解决； （2）根据题意，可知a是甲走完全程用的时间，b是乙走完全程用的时间，然后根据（1）中的结果和全程为200m，即可计算出a和b的值，本题得以解决． 【详解】解：（1）由图1可得甲的速度是． 由图2可知，当时，甲，乙两人相遇， 故， 解得． 答：甲的速度是，乙的速度是． （2）由图2可知：乙走完全程用了，甲走完全程用了， ∴， ． ∴的值为，的值为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 某中学为了解学生对“航空航天知识”掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分分）． a．甲班成绩统计表： 平均数 众数 中位数 优秀率 79 84 76 b．乙班良好这一组学生的成绩 70，71，73，73，73， 74，76，77，78，79． c．乙班成绩统计图： 说明： ①成绩等级分为：80分及以上为优秀，70∼79分为良好，60∼69分为合格，60以下为不合格； ②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值． （1）已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在______班的名次更好些； （2）从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好． 【答案】（1）乙 （2）甲班 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数与优秀率的意义进行解答即可（答案不唯一） 【小问1详解】 成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些，理由如下： 甲班成绩的中位数是76分，而且没有3人的成绩相同，所以成绩是76分的学生在甲班位于第20或第21名； 乙班优秀学生有（人），根据班良好学生的成绩可知成绩是76分的学生在乙班位于第16名， 所以成绩是76分的学生，在乙班的名次更好 故答案为：乙 【小问2详解】 甲班的整体成绩更好理由如下： 甲班成绩的中位数是76分，乙班成绩的中位数 （分） 甲班成绩的优秀率是，乙班成绩的优秀率是 甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好 【点睛】本题考查了统计的应用，中位数、众数、优秀率的意义，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键 23. 如图，矩形中，点E，F分别在的延长线和的延长线上，且． （1）仅用没有刻度的直尺画出的中点O（保留画图痕迹并证明）； （2）已知，，当的长为______时，四边形是菱形． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于，则为的中点；再由矩形的性质得到，，继而，即可得证； （2）当四边形是菱形时，得到，由四边形是矩形，得，由勾股定理可得，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接交于，则为的中点； 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ∴， ∴为的中点； 【小问2详解】 解：若四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ， 当的长为时，四边形是菱形， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 某商场销售一种成本为20元的商品，市场调研反映：在某个月的第x天（）的销售价格为元，日销售量与x的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数解析式； （2）销售该商品第几天时，日销售利润为2250元？ （3）日销售利润能达到2500元吗？说明理由． 【答案】（1） （2）销售该商品第5天或第25天时，日销售利润为2250元 （3）日销售利润不能达到2500元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键． （1）根据图象，利用待定系数法求解即可； （2）根据日销售利润等于日销售量乘以单件利润列方程求解即可； （3）根据日销售利润等于日销售量乘以单件利润列方程，结合一元二次方程根的判别式求解即可． 小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 由图象，将点,代入中， 得，解得 ∴y与x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：第x天的日销售利润为． 当日销售利润为2250时，． 整理，得． 解这个方程，得，． 答：销售该商品第5天或第25天时，日销售利润为2250元． 【小问3详解】 解：日销售利润不能达到2500元．理由如下： 假设日销售利润为2500元，由题意，得 ． 整理，得． 此时，故上述方程没有实数根． 答：日销售利润不能达到2500元． 25. 如图，四边形是正方形，连接，过点C作射线，点E在边上，画射线，将射线绕点E顺时针旋转与交于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，画图补全图形； （2）在边上截取，连接．根据正方形的性质，证明即可得证； （3）根据和均为等腰直角三角形，得到，．再根据得证，等量代换思想整理即可得证． 【小问1详解】 根据题意，画旋转图形如下： 【小问2详解】 证明：如图2，在边上截取，连接． ， ． ． ， ． ， ． ． ，， ． ，， ． 在和中， ． ． 【小问3详解】 线段，，之间的数量关系为：． 证明：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，． ， ． ． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的西安，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 26. 已知平面直角坐标系中，直线和直线（其中k，b是不为0的常数，）相交于点P，分别交y轴于A，B两点． （1）求证：点P在直线上； （2）如图，若，，，求的值； （3）在（2）的条件下，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出此时点Q的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或； 【解析】 【分析】（1）联立两个函数解析式求解交点的横坐标即可； （2）如图，过作轴于，过作交于，过作轴于，求解，，即，证明，可得，结合在上，再进一步解答即可； （3）由，，求解，可得函数为，，可得，，，如图，设，再分三种情况讨论即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P在直线上； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于，过作交于，过作轴于， ∴， 当时，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在上， ∴，， ∴， ∵, ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴； ∴函数为，， ∴，，， 如图，设， 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或； 【点睛】本题考查的是一次函数的交点坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$