精品解析：河南省新乡市长垣市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024 学年下学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥0 B. x＞0 C. x≤5 D. x＜5 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 4，5，6 4. 如图，平行四边形的对角线交于点O，点E是的中点，的周长为8， 则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 矩形、菱形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线平分一组对角 6. 对于一次函数：，图像上两点、，则下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像经过一、二、四象限 C. 将它向下平移2个单位经过原点 D. 当时， 7. 积沙成塔，爱心昭昭，学雷锋志愿服务教职工为病患学生捐款分布情况如下表所示，对于不同的x，下列关于捐款金额的统计量不会发生改变的是（ ） 捐款金额/元 100 120 150 200 频数/人 5 15 x A. 众数、中位数 B. 平均数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 9. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积时间变化的关系图象，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比大小：__________． 12. 直线与y轴交于点，且与直线平行，则直线的表达式为______． 13. 2023年春季开学伊始，流感在全国多个区域频发．某中学为有效预防流感，购买了，，，四种艾条进行消毒，它们的单价分别是元，元，元，元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是___． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 15. 在矩形中，，点E为的中点，取的中点F，连接、，当为直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 2023年3月30日，“中原一号”等4颗卫星发射升空，从河南籍航天员陈冬、刘洋出征太空，到河南首颗卫星“河南一号”发射升空，再到如今四颗“河南星”成功发射…越来越多的“河南造”挺起了我国航天事业．航天学习兴趣小组组织了关于航天知识的竞赛活动，为了解学生对相关知识掌握的整体情况，分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分：100分）进行整理、描述和分析，给出以下部分信息： Ⅰ．七年级20名学生竞赛成绩的频数分布表和频数分布直方图如图所示： 成绩m/分 频数（人数） a b 3 8 6 合计 20 Ⅱ．七年级竞赛成绩在组的具体成绩为： 83，84，86，87，88，89，89，89． Ⅲ．七、八年级竞赛成绩的统计数据如下表所示： 年级 平均分 中位数 众数 七年级 83.7 n 89 八年级 84.2 85 85 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______； ______； （2）补全七年级20名学生竞赛成绩的频数分布直方图； （3）在这次竞赛活动中，某学生的竞赛成绩是86分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么这个学生是______年级的学生，请说明理由． 18. 如图所示，学校要在一个池塘里种植莲花，经人工测得池塘的四周分别为，求这块池塘的面积？ 19. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD． 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论） （2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 去年我县某学校计划租用6辆客车送240名师生到县学生实训基地参加社会实践活动．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人／辆） 30 45 租金（元／辆） 200 280 （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形． （1）求正方形的面积； （2）求点和点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 四边形是正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为边作平行四边形． （1）如图1，当时，点F落在边上，小明同学观察图形，认为四边形是一种特殊的平行四边形，经过思考，他过点E作，垂足分别为M，N，通过推理证明， 得到平行四边形是___； （2）当时，点F落在的延长线上，小明的结论还成立吗，请说明理由； （3）当，且时，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024 学年下学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥0 B. x＞0 C. x≤5 D. x＜5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得5-x≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：5-x≥0， 解得：x≤5， 故选：C． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式；能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形”是解题的关键． 【详解】解：A、，不可以构成三角形，故不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，故不符合题意； C、，可以构成直角三角形，故符合题意； D、，不可以构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 4. 如图，平行四边形的对角线交于点O，点E是的中点，的周长为8， 则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质可得，进而可得是的中位线，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得的周长的周长为8，进而可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 为中点， 点是的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为8， 的周长为8， 的周长是4， 故选：B． 5. 矩形、菱形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形选择都具有的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，观察各选项可知都具有对角线互相平分的性质， 故选：A． 6. 对于一次函数：，图像上两点、，则下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像经过一、二、四象限 C. 将它向下平移2个单位经过原点 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据一次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】A、当时，，所以图像经过点，不经过，故选项不符合题意； B、因为，，所以图像经过一、二、四象限，故选项符合题意； C、将它向下平移2个单位得，此时图像不通过原点，故选项不符合题意； D、因为，所以y随x的增大而减小，所以，当时，，故选项不符合题意； 故选：B． 7. 积沙成塔，爱心昭昭，学雷锋志愿服务教职工为病患学生捐款分布情况如下表所示，对于不同的x，下列关于捐款金额的统计量不会发生改变的是（ ） 捐款金额/元 100 120 150 200 频数/人 5 15 x A. 众数、中位数 B. 平均数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差、中位数、众数及平均数的定义．由题意知捐款150元和捐款200元的人数和，继而依据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知捐款150元和捐款200元的人数和为， 这组数据的众数为120，中位数是， 捐款金额的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 对于x的不同取值，所以这组数据的平均数及方差也会不同， 这组数据的平均数、方差会变化， 故选：A 8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 9. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可. 【详解】解：根据题意：因为一次函数的图象过点， 则不等式的解是； 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键. 10. 如图1，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积时间变化的关系图象，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题函数图象，根据图象分析得出矩形的长为是解题关键．当点在边上运动时，的值不变，先求出，再利用勾股定理列方程可求． 【详解】解：矩形中，， 当点在边上运动时，的值不变， ，即矩形的长是， ，即． 当点在上运动时，逐渐减小， ， 在中， ， ， 解得（负值舍去）． 故选：C 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比大小：__________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 12. 直线与y轴交于点，且与直线平行，则直线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交或平行的问题，用待定系数法确定直线的解析式，注意若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同是解答此题的关键．根据直线与直线平行，则设直线的解析式为：，再由与轴交于点，可得直线的解析式． 【详解】解：直线与直线平行， 设直线的解析式为：， 与轴交于点， ， ， ， 直线的表达式为：． 故答案为：． 13. 2023年春季开学伊始，流感在全国多个区域频发．某中学为有效预防流感，购买了，，，四种艾条进行消毒，它们的单价分别是元，元，元，元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是___． 【答案】元 【解析】 【分析】根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出所购买艾条的平均单价． 【详解】解：由图可得，所购买艾条的平均单价是：（元）． 故答案为：元． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 15. 在矩形中，，点E为的中点，取的中点F，连接、，当为直角三角形时，的长为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】利用矩形的性质，证明，得到，再分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ，， ∵E为的中点， ， ． ， 如图，当时，为直角三角形， ， 如图，当时，为直角三角形， ∵F为的中点， ， ，， ， ， ； 当，此种情况不存在． 综上所述，的长为1或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先化简，再合并同类项即可求解； 根据完全平方公式和二次根式的乘法法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 2023年3月30日，“中原一号”等4颗卫星发射升空，从河南籍航天员陈冬、刘洋出征太空，到河南首颗卫星“河南一号”发射升空，再到如今四颗“河南星”成功发射…越来越多的“河南造”挺起了我国航天事业．航天学习兴趣小组组织了关于航天知识的竞赛活动，为了解学生对相关知识掌握的整体情况，分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分：100分）进行整理、描述和分析，给出以下部分信息： Ⅰ．七年级20名学生竞赛成绩的频数分布表和频数分布直方图如图所示： 成绩m/分 频数（人数） a b 3 8 6 合计 20 Ⅱ．七年级竞赛成绩在组的具体成绩为： 83，84，86，87，88，89，89，89． Ⅲ．七、八年级竞赛成绩的统计数据如下表所示： 年级 平均分 中位数 众数 七年级 83.7 n 89 八年级 84.2 85 85 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______； ______； （2）补全七年级20名学生竞赛成绩的频数分布直方图； （3）在这次竞赛活动中，某学生的竞赛成绩是86分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么这个学生是______年级的学生，请说明理由． 【答案】（1）1，87.5 （2） 将频数分布直方图补充完整如下： （3） 八年级．理由如下： ∵， ∴该同学竞赛成绩高于八年级的中等水平，低于七年级的中等水平； 故答案为：八． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，中位数以及众数，理解中位数、众数的意义，掌握它们的计算方法是正确求解的前提． （1）根据“频率=频数÷总数”可得a的值，根据中位数的定义可得m的值； （2）用20分别减去其它组的频数可得b的值，再补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 由题意得：； 把七年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87、88，故中位数； 故答案为：1；87.5； 【小问2详解】 由题意知，成绩在“”这一组的人数为2人 【小问3详解】 略 18. 如图所示，学校要在一个池塘里种植莲花，经人工测得池塘的四周分别为，求这块池塘的面积？ 【答案】这块池塘的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理及逆定理，四边形的面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据四边形的面积等于的面积加上的面积计算即可． 【详解】解∶ 如图，连接， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴是直角三角形且， ， 答：这块池塘的面积为 19. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD． 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论） （2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程． 【答案】（1） 如图即为补全的图形； （2） 证明：由作图知：OA=OC，OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 21. 去年我县某学校计划租用6辆客车送240名师生到县学生实训基地参加社会实践活动．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人／辆） 30 45 租金（元／辆） 200 280 （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 【答案】（1）y＝﹣80x+1680；（2）0≤x≤2且x为整数；（3）租甲种客车2辆，乙种客车4辆费用最低，最低费用为1520元． 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到y（元）与x（辆）之间函数关系式； （2）根据题意和表格中的数据，可以计算出自变量的取值范围； （3）根据一次函数的性质和x的取值范围，可以得到选择怎样的租车方案所需的费用最低，最低费用多少元． 【详解】解：（1）由题意可得， y＝200x+280（6﹣x） ＝﹣80x+1680， 即y（元）与x（辆）之间函数关系式是y＝﹣80x+1680； （2）由题意可得， 30x+45（6﹣x）≥240， 解得，x≤2， 又∵x≥0， ∴自变量的取值范围是0≤x≤2且x为整数； （3）由（1）知y＝﹣80x+1680， 故y随x的增大而减小， ∵0≤x≤2且x为整数， ∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝1520，6﹣x＝4， 即租甲种客车2辆，乙种客车4辆费用最低，最低费用为1520元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形． （1）求正方形的面积； （2）求点和点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）20 （2） （3），理由： 如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小： ， ， 设直线的解析式为：， 把与坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为 对于，令，得到， ． 【解析】 【分析】（1）由题意可以得到、的坐标，从而得到线段的长度，进一步可以得到正方形的面积； （2）由题意和（1）可以得到，从而得到线段、、、的值，然后可以得到点和点的坐标； （3）找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，此时周长最小．由待定系数法求出的解析式，然后令，即可得到的坐标． 【小问1详解】 解：对于直线，令，得到；令，得到， ， ， 在中，， 正方形面积为； 【小问2详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点： ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径等，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、勾股定理的应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等是解题关键． 23. 四边形是正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为边作平行四边形． （1）如图1，当时，点F落在边上，小明同学观察图形，认为四边形是一种特殊的平行四边形，经过思考，他过点E作，垂足分别为M，N，通过推理证明， 得到平行四边形是___； （2）当时，点F落在的延长线上，小明的结论还成立吗，请说明理由； （3）当，且时，连接，直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2） 成立，理由如下： 如图，过点E作，垂足分别为M，N， ， ∵四边形是正方形， 平分， ， ∴四边形是正方形， ， ，， 平行四边形是矩形， ， ， 平行四边形是正方形， 故答案为：正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质、全等三角形的判定与性质和正方形判定定理解答即可； （2）过点E作，垂足分别为M，N，利用（1）中方法解答即可; （3）利用正方形的性质得到点F和点C重合，再利用勾股定理和等腰直角三角形性质解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴四边形是矩形； ∵四边形是正方形， 平分， ， ∴四边形是正方形， ， ， ； ； ， 平行四边形是矩形， 平行四边形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点E作，垂足分别为M，N， ， ， 四边形是正方形， 点E为中点， ， ， ， 平行四边形是矩形， ∴此时点F与点C重合，即平行四边是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，平行四边形性质，角平分线性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $