精品解析：广东省云浮市新兴县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末学业质量抽测 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列三条线段的长度为边，其中能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A(2，0)和B(0，-3)，不等式k +b≥0的解集是（ ） A. B. C. x≥2 D. x≤2 5. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 7. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少 10. 如图，点，，，…，在x轴上，点，，，…，在直线上．已知，轴，…，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：__________． 12. 如图，分别以直角三角形的各边为一边向三角形的外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为34和9，则正方形A的边长为__________． 13. 如图是甲、乙两位选手次投篮测试（每次投篮个）成绩的统计图，我们可以判断______ 选手的成绩更稳定．（填甲或乙） 14. 已知一次函数（k，b是常数）的图象上有，两点．若当时，，则k的取值范围是__________． 15. 已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____． 16. 如图，在矩形中，将沿折叠，点的对应点为，交于点，，，则的长为__________． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 17. 计算：． 18. 一个正比例函数的图象经过点，，求的值． 19. 某公司准备招聘一名职员，从学历、经验和工作态度三个方面对应聘者王敏、李阳、张芳进行了评分，他们的各项评分（满分10分）如下表． 应聘者 项目 王敏 李阳 张芳 学历 7 8 9 经验 9 9 8 工作态度 8 8 7 根据实际需要，公司将学历、经验和工作态度三项评分按的比例确定最终评分，若最终评分最高的被录用，则谁会被录用？请说明理由． 20. 如图，平行四边形中，． （1）作出的平分线，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图中，过点E作，交于点F，求证：四边形为菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21. 增城荔枝与徐闻菠萝是广东颇具特色的水果品种，以其鲜美的口感和甜蜜的味道而受人青睐．已知购买2千克荔枝和4千克菠萝共需64元；购买4千克荔枝和6千克菠萝共需112元． （1）分别求荔枝和菠萝每千克的售价． （2）某幼儿园在六一儿童节期间，购买荔枝、菠萝共20千克，且购买荔枝的质量不少于菠萝质量的，则当购买多少千克荔枝时，总费用最少，最少总费用是多少？ 22. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离长为15米； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长． （2）若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 23. “感受数学魅力，提升数学素养”．某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为75，76，85，85，86，86，86，93，94，94； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为81，82，84，86，86． 两组数据平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 86 b 八年级 86 a 86 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：__________，__________，__________． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若该校八年级共有800名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点． （1）求点B的坐标． （2）求面积． （3）在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末学业质量抽测 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据二次根式性质化简，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．为最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 以下列三条线段的长度为边，其中能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理的运用，依次判断，即可． 【详解】解：A、∵，，且 ∴选项A不能组成直角三角形，不符合题意； B、，，且 ∴选项B不能组成直角三角形，不符合题意； C、，，且 ∴选项C能组成直角三角形，符合题意； D、，，且 ∴选项D不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，原式错误，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 故选：C． 4. 如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A(2，0)和B(0，-3)，不等式k +b≥0的解集是（ ） A. B. C. x≥2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【分析】从图象上知，直线y=kx+b的函数值y随x的增大而增大，观察图象即可知不等式kx+b≥0的解集是x≥2． 【详解】直线y=kx+b与x轴的交点为A(2，0)， 即当y=0时，x=2， 由图象可看出，不等式kx+b≥0的解集是x≥2． 故选：C． 【点睛】考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，仔细观察图形、注重数形结合是解题关键． 5. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形，勾股定理，三角形的中位线的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，三角形的中位线的运用，则，再根据勾股定理，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：C． 7. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由一次函数的图像得出，，从而得到，进而得出一次函数的图像经过一、二、三象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的图像与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， ∴， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，如图， ， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是过点作轴，过点作交于点，过点作轴交轴于点，延长交于点，则，根据平行四边形的性质，则，，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，则，根据平面直角坐标系的性质，求出，，即可． 【详解】过点作轴，过点作交于点，过点作轴交轴于点，延长交于点； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，两点的坐标分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况． 【详解】如图，连接． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小， ∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 10. 如图，点，，，…，在x轴上，点，，，…，在直线上．已知，轴，…，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与图形规律的综合，解题的关键是掌握一次函数的性质，等腰三角形的性质，根据图形得到规律：，根据，求出，在根据点在，即可． 【详解】∵， ∴是等腰三角形， ∵轴， ∴， 同理可知：， ∴， ∵，，，， ∴； ∵点在， ∴当时，即是，， ∴点． 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质，平方差公式，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，分别以直角三角形的各边为一边向三角形的外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为34和9，则正方形A的边长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．利用勾股定理可得出正方形的面积等于另外两个正方形的面积差（大的减小的），即可求出结论． 【详解】解：依题意得：正方形的面积． 则正方形A的边长为5， 故答案为：5 13. 如图是甲、乙两位选手次投篮测试（每次投篮个）成绩的统计图，我们可以判断______ 选手的成绩更稳定．（填甲或乙） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断． 【详解】解：由图象可知： 甲选手次投篮次数为：6，5，6，4，7，6； ， ， 乙选手次投篮次数为：5，2，5，7，3，5， ， ， ， 故乙波动大，成绩不稳定，甲波动小，成绩更稳定． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14. 已知一次函数（k，b是常数）的图象上有，两点．若当时，，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 当时，，可知随着的增大而减小，即，计算求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随着的增大而减小， ∴， 解得，， 故答案为：． 15. 已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用正方形的性质证出△ABE≌△DAF，所以∠ABE＝∠DAF，进而证得△GBF是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知GH＝BF，最后利用勾股定理即可解决问题. 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△DAF中， ∵ ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， ∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3， ∴BF＝＝5， ∴GH＝BF＝， 故答案为． 【点睛】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 16. 如图，在矩形中，将沿折叠，点的对应点为，交于点，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠的综合，勾股定理的运用，全等三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质；由矩形性质得，，；根据勾股定理，求出；再根据折叠的性质，全等三角形的判定和性质，得，则，最后根据勾股定理，即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵由折叠得到， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式、二次根式的乘法法则进行计算，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 一个正比例函数的图象经过点，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．将点代入解析式，求出的值，再将点分别代入解析式，求出的值即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为． 把点代入， 得， 解得， 正比例函数的解析式为． 把点代入， 得， 解得． 19. 某公司准备招聘一名职员，从学历、经验和工作态度三个方面对应聘者王敏、李阳、张芳进行了评分，他们的各项评分（满分10分）如下表． 应聘者 项目 王敏 李阳 张芳 学历 7 8 9 经验 9 9 8 工作态度 8 8 7 根据实际需要，公司将学历、经验和工作态度三项评分按的比例确定最终评分，若最终评分最高的被录用，则谁会被录用？请说明理由． 【答案】李阳会被公司录用，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式分别计算出三位应聘者的得分，比较即可得出答案，熟练掌握加权平均数的公式是解此题的关键． 【详解】解：李阳会被公司录用． 理由：王敏的最终评分是（分）； 李阳的最终评分是（分）； 张芳的最终评分是（分）． ， 李阳会被公司录用． 20. 如图，在平行四边形中，． （1）作出的平分线，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图中，过点E作，交于点F，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作法作出的平分线即可； （2）根据平行四边形的性质得到，结合，证得四边形是平行四边形，根据角平分线的性质以及平行线的性质得出，根据等角对等边得到，由此可证四边形为菱形． 【小问1详解】 解：如图，以顶点为圆心画圆，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，交于点 ，则所在的射线就是这个角的平分线．即为所求． 小问2详解】 证明： 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21. 增城荔枝与徐闻菠萝是广东颇具特色的水果品种，以其鲜美的口感和甜蜜的味道而受人青睐．已知购买2千克荔枝和4千克菠萝共需64元；购买4千克荔枝和6千克菠萝共需112元． （1）分别求荔枝和菠萝每千克的售价． （2）某幼儿园在六一儿童节期间，购买荔枝、菠萝共20千克，且购买荔枝的质量不少于菠萝质量的，则当购买多少千克荔枝时，总费用最少，最少总费用是多少？ 【答案】（1）荔枝每千克的售价为16元，菠萝每千克的售价为8元 （2）当购买5千克荔枝时，总费用最少，最少总费用为200元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设荔枝每千克的售价为x元，菠萝每千克的售价为y元，即可得出关于，的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据总费用售价销售量，设购买荔枝m千克，则购买菠萝千克，总费用为w元．由题意，得，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设荔枝每千克的售价为x元，菠萝每千克的售价为y元． 由题意，得 解得 答：荔枝每千克的售价为16元，菠萝每千克的售价为8元． 【小问2详解】 设购买荔枝m千克，则购买菠萝千克，总费用为w元． 由题意，得． 购买荔枝的质量不少于菠萝质量的， 解得． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小，此时． 答：当购买5千克荔枝时，总费用最少，最少总费用为200元 22. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长． （2）若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】（1）米 （2）小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用： （1）过点B作于点C，根据勾股定理得到，于是得到米； （2）如图，由风筝沿方向再下降12米后到达F点，求出的长度，进而求出的长，再结合已知即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点B作于点C． ，，， ， 四边形为矩形， 米，米． 在中，，米， 由勾股定理，得（米）， （米）． 【小问2详解】 解：如图2，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， 风筝的高度（米）， （米）． 原来的风箏线的长为25米，（米）． 答：小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 23. “感受数学魅力，提升数学素养”．某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为75，76，85，85，86，86，86，93，94，94； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为81，82，84，86，86． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 86 b 八年级 86 a 86 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：__________，__________，__________． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若该校八年级共有800名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）85；86； （2）七年级的成绩更好，详见解析 （3）估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数是240 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，方差以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是解答本题的关键． （1）根据中位数，众数定义可得，的值，由八年级，等级的人数可求出的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 由扇形统计图可得，八年级等级的有（人， 把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，86，故中位数； 在75，76，85，85，86，86，86，93，94，94中，出现次数最多的是86， 众数； ， 故答案为：85；86；； 【小问2详解】 七年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数与众数相同，但七年级的中位数高于八年级， 所以七年级的成绩更好； 【小问3详解】 （名， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约240名． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点． （1）求点B的坐标． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）把代入，求出点B的坐标即可； （2）先求出点，然后求出的面积即可； （3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，令，得：， 解得：， 点B的坐标为． 【小问2详解】 解：在中，令，则， 点， ． 【小问3详解】 解：存在．设点M的坐标为． ， ， ． 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是． 综上所述，点M的坐标为或． 25. 综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；根据，求出；根据全等三角形的判定和性质，，即可； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，根据，等量代换则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，；根据勾股定理求出，；根据全等三角形的判定和性质，，；分类讨论：当点在点的右侧；当点在点的左侧，即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 ∴， ∴和是等边三角形 ∵是边的中点 ∴，即 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的右侧， ∴， 当点在点的左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$