精品解析：河南省南阳市镇平县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春期八年级期终调研测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一次函数必过点（　　） A. B. C. D. 2. 中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.015毫米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力．数据“0.015毫米”用科学记数法表示为（　　） A. 1.5×10﹣5米 B. 0.015×10﹣3米 C. 1.5×10﹣6米 D. 15×10﹣4米 3. 关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 4. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 5. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A. 12 B. C. D. 6. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A. 草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B. 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C. 草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D. 草莓中有机物积累最快时的温度约为 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，、相交于点，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程S关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是（ ） A. （20，3000） B. （20，4800） C. （32，4800） D. （32，3000） 9. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 16 D. 20 10. 如图（1），在中，，，动点从点出发，沿直线运动至点，再从点沿直线运动至点．设点运动的路程为，的面积为，图（2）是点运动时随变化的函数关系图象，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分式有意义的条件是________． 12. 已知五个函数①，②，③，④，⑤，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，随的增大而增大，则同时满足这两个条件的函数是________（只填序号）． 13. 某校体操队5名队员的身高（单位：cm）分别是166、166、167、170、175，现用一名身高为的队员换下身高为的队员，与换人前相比，队员身高的平均数________，中位数________，方差________（从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）． 14. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______． 15. 如图，在中，，，，点在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中．下面是小明同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． （2）请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值； （3）请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项； 18. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值为　 　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 19. 如图，在□ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）填空：①当BE的长度为　 　时，四边形AECF是菱形； ②当BE的长度为　 　时，四边形AECF是矩形． 20. 某加工厂购进甲、乙两种原料，每千克甲种原料比乙种原料贵200元，用5万元购买甲种原料和4万元购买乙种原料所购买的数量相同； （1）求甲、乙两种原料的单价； （2）该工厂准备用不多于18万元的资金购进这两种原料共200千克，其中甲种原料不低于70千克，若每千克甲种原料和乙种原料加工的产品售价分别为1400元、1280元，则应该怎样安排进货，才能使销售的利润最大？ 21. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）试确定反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出的面积为 ； （3）直接写出当时的取值范围； （4）请仅用无刻度的直尺在轴上找一点P，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 22. 小强在学习菱形时遇到了这样一个问题：如图①，菱形中，，，点是上的动点，点是的中点，连接、，当是等腰三角形时，求线段的长度．小强分析尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2.5 1.8 1.5 1.8 2.5 3.4 4.3 5.2 6.2 5.0 4.2 3.6 3.2 3.2 3.6 4.2 5.0 （1）的值是 ． （2）将线段的长度作为自变量，，的长度都是关于的函数，分别记为，，并在坐标系中画出了的函数图象，如图②所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象． （3）观察图象，可知函数有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出的最小值．（写出准确值） （4）在点从移动到的过程中，当时，直接写出的长度． 23. 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期八年级期终调研测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一次函数必过点（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握正比例函数图象必过原点的性质．将各点坐标代入，满足等号成立的既是直线上的点；或根据直线上的纵坐标是横坐标的2倍来判断． 【详解】解：A、当时，，不在该直线上，故此选项不符合题意； B、当时，，在该直线上，故此选项符合题意； C、当时，，不在该直线上，故此选项不符合题意； D、当时，，不在该直线上，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.015毫米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力．数据“0.015毫米”用科学记数法表示为（　　） A. 1.5×10﹣5米 B. 0.015×10﹣3米 C. 1.5×10﹣6米 D. 15×10﹣4米 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.015毫米米米． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意， 而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有这个性质，故C错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 4. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元）， 故选C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 5. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，菱形的性质，勾股定理；熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得点B的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：A的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 则点B的横坐标为， B的坐标为：， 点B在反比例函数的图象上， 将点B的坐标代入得， ， 解得：． 故选：D． 6. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A. 草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B. 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C. 草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D. 草莓中有机物积累最快时的温度约为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的信息，进行判断即可得． 【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确； 由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确； 由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确； 由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确； 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，、相交于点，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，设与交点为，通过证明，求得，，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，平分 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理可得： ∵ ∴ ∴ ∴ 所以 故选：C． 8. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程S关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是（ ） A. （20，3000） B. （20，4800） C. （32，4800） D. （32，3000） 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到良马几天可以追上驽马，从而可以得到点P的坐标，本题得以解决． 【详解】解：设良马t天追上驽马， 240t=150（t+12）， 解得，t=20， 20天良马行走的路程为240×20=4800（里）， 故点P的坐标为（32，4800）， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长． 【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H， 由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴为菱形， ∴阴影部分的周长为：， 故选：D． 10. 如图（1），在中，，，动点从点出发，沿直线运动至点，再从点沿直线运动至点．设点运动的路程为，的面积为，图（2）是点运动时随变化的函数关系图象，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，先确定点的位置，推出为等边三角形，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴， 由图象可知，当时，的面积不变为， ∴点在线段上，且， 连接，过点作，则：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查动点的函数图象问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是确定点的位置． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分式有意义的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据“分母不为0”，列不等式求解即可， 【详解】分式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12. 已知五个函数①，②，③，④，⑤，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，随的增大而增大，则同时满足这两个条件的函数是________（只填序号）． 【答案】⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键．画出相应的函数图象，根据一次函数图象和反比例函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：依次画出这五个函数的图象，如图所示， ① 由图象可知，经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①不符合题意； ② 由函数图象可知，第二象限没有它的图象，经过第一、三、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故②不符合题意； ③ 由函数图象可知，经过第一、二、四象限，在每个象限内，随的增大而减小，故③不符合题意； ④ 由函数图象可知，第二、第四象限内没有它的图象，经过第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，故④不符合题意； ⑤ 由函数图象可知，经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，故⑤符合题意； 综上所述，⑤符合题意； 故答案为：⑤． 13. 某校体操队5名队员的身高（单位：cm）分别是166、166、167、170、175，现用一名身高为的队员换下身高为的队员，与换人前相比，队员身高的平均数________，中位数________，方差________（从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）． 【答案】 ①. 变小 ②. 不变 ③. 变小 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，根据替换前后的数据大小，结合平均数和中位数、众数的求解方法求解即可． 【详解】解：∵用一名身高为的队员换下身高为的队员，， ∴与换人前相比，队员身高的总身高变小，则平均数变小； ∵换人后，队员身高从小到大排列的顺序为166、166、167、170、170， ∴换人后的队员身高的中位数都是，又换人前，队员身高的中位数是， ∴与换人前相比，队员身高的中位数不变； ∵与换人前相比，队员身高相对更集中，数据波动比原来小， ∴与换人前相比，队员身高的方差变小， 故答案为：变小，不变，变小． 14. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， 沿轴向右平移个单位得到， 点与其对应点间的距离为， 即点移动的距离是3． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小． ∵OD⊥BC，BC⊥AB， ∴ODAB， 又∵OC＝OA， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD＝AB＝3， ∴DE＝2OD＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． （1）利用求一个算术方根，零指数幂、负整数指数幂计算即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解方程求得的值后进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）解： ， ， 检验：把代入， 所以原方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中．下面是小明同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． （2）请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值； （3）请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项； 【答案】（1）①三，分式的基本性质；②一，添括号时括号里面的第二项没有变号 （2），原式 （3） 通分时若有常数项，要记得给常数项乘以最简公分母（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握约分的依据以及分式的运算法则． （1）①根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案；②观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． （3）根据分式化简的步骤，写出对应的注意事项即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：①化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是：分式的基本性质； 故答案为：三，分式的基本性质； ②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：添括号时，括号里面的第二项没有变号． 故答案为∶一，添括号时，括号里面的第二项没有变号． 【小问2详解】 解： 当时，原式； 【小问3详解】 略 18. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值为　 　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224 【解析】 【分析】（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得． 【详解】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人， 故答案为23； （2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79， ， 故答案为77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前， 七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前． （4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 19. 如图，在□ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）填空：①当BE的长度为　 　时，四边形AECF是菱形； ②当BE的长度为　 　时，四边形AECF是矩形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）① 5 ②3.6 【解析】 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再证明AF=EC，可证明四边形AECF是平行四边形； （2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CB=5，然后再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②当AE⊥BC时，四边形AECF是矩形，根据勾股定理分别计算出AC长，再计算出AE长，然后再利用勾股定理计算出BE长即可． 【详解】（1）略 （2）①当EB＝5时，四边形AECF是菱形； 理由：当四边形AECF是菱形时， 则AE＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA. ∵∠EAC+∠BAE＝90°，∠ECA+∠B＝90°， ∴∠BAE＝∠B， ∴BE＝AE， ∴BE＝AE＝EC＝5. ②当BE＝3.6时，四边形AECF是矩形， 理由：当四边形AECF是矩形时， 则∠AEC＝90°. ∵AB＝6，BC＝10， ∴AC＝8， ∴×AB×AC＝×CB×AE， AE＝， ∴EB＝＝3.6. 【点睛】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，关键是掌握各种特殊四边形的判定方法和他们的性质． 20. 某加工厂购进甲、乙两种原料，每千克甲种原料比乙种原料贵200元，用5万元购买甲种原料和4万元购买乙种原料所购买的数量相同； （1）求甲、乙两种原料的单价； （2）该工厂准备用不多于18万元的资金购进这两种原料共200千克，其中甲种原料不低于70千克，若每千克甲种原料和乙种原料加工的产品售价分别为1400元、1280元，则应该怎样安排进货，才能使销售的利润最大？ 【答案】（1）甲、乙两种原料的单价分别是1000元、800元 （2）甲种原料购进70千克，乙种原料购进130千克时，可使销售的利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式，利用函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设甲种原料的单价为元，则乙种原料的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且均符合题意 答：甲、乙两种原料的单价分别是1000元、800元； 【小问2详解】 解：设销售利润为元，购进甲种原料千克， ， ∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， 解得：， ∴当时，取得最大值，此时乙原料进货千克， 答：甲种原料购进70千克，乙种原料购进130千克时，可使销售的利润最大． 21. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）试确定反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出的面积为 ； （3）直接写出当时的取值范围； （4）请仅用无刻度的直尺在轴上找一点P，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）4 （3） （4） 如图所示：点P即为所求； P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，三角形面积，能够根据图象和两点的坐标得出答案是解题的关键； （1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （2）求出C的坐标，求出和的面积，即可求出答案； （3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案 （4）作B关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求 【小问1详解】 一次函数与反比例函数的图象交于，， ． ， 反比例函数解析式为 当时，． 点的坐标为 将，代入得 ， 一次函数解析式为 【小问2详解】 如图，连接，，设一次函数与x轴交点为C， 当时，代入一次函数得， ， ， ，， ，点A到x轴距离为1， 点B到x轴距离为3， ； 【小问3详解】 由函数图象可知，，， 不等式的解集为一次函数在反比例函数图象上方自变量的取值； 不等式的解集为； 【小问4详解】 作B关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求 的坐标为 22. 小强在学习菱形时遇到了这样一个问题：如图①，菱形中，，，点是上的动点，点是的中点，连接、，当是等腰三角形时，求线段的长度．小强分析尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2.5 1.8 1.5 1.8 2.5 3.4 4.3 5.2 6.2 5.0 4.2 3.6 3.2 3.2 3.6 4.2 5.0 （1）的值是 ． （2）将线段的长度作为自变量，，的长度都是关于的函数，分别记为，，并在坐标系中画出了的函数图象，如图②所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象． （3）观察图象，可知函数有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出的最小值．（写出准确值） （4）在点从移动到的过程中，当时，直接写出的长度． 【答案】（1）3 （2） 解：利用描点法画出的函数图象如下： （3）的最小值为 （4） 【解析】 【分析】（1）设交于点，根据菱形的性质可得，从而可得当时，则点与点重合，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）设交于点，连接，根据垂线段最短可得当时，的值最小，先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据三角形中位线定理求解即可得； （4）先利用菱形的性质可得，再根据表格的数值求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，设交于点， ∵在菱形中，，， ∴， 当时，则点与点重合， ∴此时， ∴， 故答案为：3． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设交于点，连接， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴是的中位线， ∴， 即的最小值为． 【小问4详解】 解：如图，设交于点， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由表格可知，当时，或（舍去）， 所以的长度为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、画函数图象、直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 23. 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，； （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立， 理由如下：由折叠，可得，． ∵为的中点， ∴． ∴． ∴， 又， ∴． ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据折叠性质得到，，则利用平角定义得，利用中点性质和等边对等角得，利用三角形的内角和定理得到，进而可证，，证明四边形是平行四边形可得； （2）与（1）证明方法类同，可得结论仍然成立； （3）作于点，利用折叠性质可得，则为等腰直角三角形，进而求得，在中，由勾股定理可得，进而可求解． 【详解】解：（1）由折叠性质得，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，则， ∴，即； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，，； （2）略 （3）作于点，则， ∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $