精品解析：2024年四川省甘孜中考数学试题

2024年四川省甘孜藏族自治州、阿坝藏族羌族自治州中考初中数学真题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（       ） A. B.   C.   D. 2. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为，，，，（单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，平分，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 分解因式：___________． 12. 在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是___． 13. 分式方程的解为_______． 14. 如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为______度． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15. （1）计算：； （2）解不等式组：． 16. 化简：． 17. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 18. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． （1）求k与m的值； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 20. 如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的面积． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21. 已知，那么的值是__________． 22. 如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为______． 23. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 24. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______． 25. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 26. 端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 （1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 27. 如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 28. 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年四川省甘孜藏族自治州、阿坝藏族羌族自治州中考初中数学真题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（       ） A. B.   C.   D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从前往后看,看到的图形就是主视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体从前往后看，其主视图是 故选：B． 3. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解． 【详解】解： ， 将1665000用科学记数法表示应为． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为，，，，（单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据中位数．奇数个数据的中位数是按大小顺序排列后中间的一个数据；偶数个数据的中位数是按大小顺序排列后中间两个数据的平均数．先将这组数据按大小顺序排列，再求出第三和第四个数据的平均数即可． 【详解】解：把这句数据按大小顺序排列为：，，，，； ∴这五个数据的中位数是：， 故选：C． 6. 如图，，平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ 故选：B 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 8. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 9. 我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解． 【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元， ∴， ∵每人出7元，还差4元， ∴， 故所列方程组为：． 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是___． 【答案】8cm 【解析】 【分析】根据菱形的性质可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm， 故答案为：8cm． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解： ， 去分母得： 移项合并同类项得： 经检验，是原方程的解 故答案为 14. 如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】本题考查的了实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义计算，然后进行二次根式的混合运算即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）． 由①得：， 由②得：， 则不等式组解集为． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解： ． 17. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 【答案】（1）①40；54；②见解析 （2）160人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图； （2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取了名学生． 扇形统计图中圆心角． 故答案为：40；54； ②此次调查声乐小组的人数为名， 故补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：名， 答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人． 18. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数图象上． （1）求k与m的值； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意将点代入反比例函数即可求解； （2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：两点在反比例函数的图象上． ∴， ∴， 将点代入得：，解得：； 【小问2详解】 ∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C， ∴， ∵， 设直线所在直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴． 20. 如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证； （2）利用勾股定理求出即可求解； 【小问1详解】 证明：∵为⊙O的弦，C为的中点， 由垂径定理的推论可知：， ∵， ∴， ∵为⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21. 已知，那么的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】把所求代数式进行适当变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是求代数式的值，关键是利用整体思想把看成一个整体，然后把所求代数式进行变形求值即可． 22. 如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 23. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 【答案】5 【解析】 【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键． 【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 24. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 25. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，这些青稞穗的最佳近似长度可以取使函数为最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似长度． 【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 26. 端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 （1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 【答案】（1）； （2）至少需要购进种粽子50盒． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据“总利润种粽子利润种粽子利润”，即可得出答案； （2）根据题意列出不等关系式即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意， ， 答：关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：， 解得：， 故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进种粽子50盒． 27. 如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 28. 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；；（2）①；②或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$