小升初奥数（专题18讲）（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学通用版

小升初奥数专题讲义 目 录 （学习目标＋温故知新＋巩固练习） 小升初奥数专题讲义－第1讲找规律 小升初奥数专题讲义－第2讲计算综合 小升初奥数专题讲义－第3讲数论 小升初奥数专题讲义－第4讲平面图形综合（一） 小升初奥数专题讲义－第5讲乎面图形综合（二） 小升初奥数专题讲义－第6讲比和比例综合（一） 小升初奥数专题讲义－第7讲比和比例综合（二） 小升初奥数专题讲义－第8讲期中测试 小升初奥数专题讲义－第9讲简算（一） 小升初奥数专题讲义－第10讲简算（二） 小升初奥数专题讲义－第11讲平面图形的面积 小升初奥数专题讲义－第12讲余数性质与定理 小升初奥数专题讲义－第13讲钟面上的行程 小升初奥数专题讲义－第14讲工程问题（一） 小升初奥数专题讲义－第15讲工程问题（二） 小升初奥数专题讲义－第16讲工程问题（三） 小升初奥数专题讲义－第17讲极值问题 小升初奥数专题讲义－第18讲复习与测试 第1讲找规律 （学习目标） l、掌握算式、图形、数列、周期等规律，并可依此规律归纳猜想结论。 2、通过观察、猜想、归纳、验证的过程，提高探索实践能力。 一、算式中的规律 在数学算式中探索规律，应认真观察算式特点，根据规律完成这类题。 二、数列中的规律 观察结果（如奇、偶项）的特点，知道常用的等差、等比，斐波那契数列等常用模型。 三、图形中的规律 解答数图形的问题，要做到不重复，不遗漏。分类和有序是关键。 掌握如：数线段的一般公式： （n为线段的端点总数）。 数长方形、正方形时，也可根据此类公式。 数长方形个数的公式：长边上的线段条数宽边上的线段条数 数正方形的个数公式： (n为正方形一边上的小格数） 四、方阵中的规律 方阵问题的特点是：方阵每边的人或物数量相等；相邻两层，每边上的数量相差2。 每边数与四周数的关系：四周数＝（每边数－1）4 ：每边数＝四周数4+1 实心方阵的总数：外层每边数外层每边数 空心方阵的总数：（外层每边数－层数）层数4 五、周期中的规律 主要是找出周期，确定周期后用总量除以周期。 六、搭配中的规律 加法原理与乘法原理 几个常用公式： （温故知新） 例1，下面是用棋子摆成的“上”字：3 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： (1)第四、第五个“上”字分别需用______和______枚棋子； (2)第n个“上”字需用______枚棋子。 【答案】(1) 18, 22 (2) 4n+2 举一反三： l、如下图1，图2，图3，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则 第n个“山”字中的棋子个数是______。 【答案】5n+2 2、如下图，．将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，根据以上操作方法，请你填写下表： 【答案） 例2： (1) 如下图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是（ ）. (2)将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）．．续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到______条折痕；如果对折n次，可以得到______条折痕。 【答案】 (1) C (2) 15, 2" -1 举一反三2: 1、小强拿了一张正方形的纸如下图，沿虚线对折一次得图，再对折一次得图，然后用剪刀沿图中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是（ ）。 2、将等边三角形纸片按下图所示步骤折叠3次（图中的虚线是三边的中点的连线），然后沿过两边的中点的直线剪去一角． 将剩下的纸片展开，平铺，得到的图形是 __________。 3、如下图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第6个图形由______个圆组成。 【答案】1、D 2、丁 3、91 例3：根据计算结果猜想计算规律。 (1) 观察下列各式： 请你将猜想到的规律用自然数表示出来：____________。。 (2) 观察下列各式： 猜想：____________。 （答案）（1) (2) 举一反三3： 1、观察下列各式： 用n (n为非零自然数）表示出来____________。。 2、已知n(n2)个点在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上。设表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然：由此推断，=____________。 观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了______块石子。 【答案】1、 2、 3、 小结： 【巩固练习】 l、用围棋子摆三角形。摆一个最小的三角形要两排3颗棋子，继续摆再大一点的要三排6颗棋子，摆四排要10颗棋子．．．．．．摆n排要____________颗棋子。 2、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 中得到巴尔末公式，从而 打开了光谱奥秘的大门，请你这种规律写出第七个数据是（ ）。 3、观察1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, 1+3+5+7+9=25, 1+3+5+7+9+11=36这五道算式， 找出规律，，用含n的代数式表示第n个式子。 4、有一颗棋子放在如图中的1号位置，现按顺时针方向，第一次跳l步，跳到2号位置；第二次跳2步，跳到4号位置：第三次跳3步，又跳到1号位置．．．．．．这样一直进行下去，（ ）号位置永远跳不到。 5、观察下列顺序排列的等式： 猜想：第n个等式应为_______________________。 【答案】1、 2、 3、9,61 4、3，6 5、 第2讲 计算综合 【学习目标】 1、化简繁分数。 2、熟悉几个计算公式，运用公式解决问题。 3、培养观察，归纳通项的能力，初步理解用字母表示通项。 一、常用公式 【温故知新】 例题1：计算： 【答案】 举一反三1： l、 10 15 学科网（北京）股份有限公司 2、 【答案】1、0.2008 例题2: 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=____________。 【答案】找规律计算得到10242-1=2047 举一反三2: 1、 2、 【答案】 例3： 【答案】 举一反三3： 举一反三4： 【答案】 小结： 【巩固练习】 1、计算 2、计算 3、计算 4、观察下面等式： (1)由上述规律，我们可以猜测： _____________。（填最终结果） _____________。（用含n的式子表示） (2)利用(1)中得到的结论计算： 【答案】1、3 2、 3、 14 15 学科网（北京）股份有限公司 第3讲 数论 【学习目标】 一、数字谜、数阵图 1、解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异； 2、要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算; 3、涉及多个字母或汉字时，注意不同符号表示不同数字； 4、注意结合进位及退位来考虑； 5、有时可运用到数论中的分解质因数等方法． 二、位置原理与数的进制（略） 位值原理的定义：同一个数字；由于它在所写的数里的位置不同，所表示的 数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式：以六位数为例： 【温故知新】 例题1: 在如图中的“”里填上适当的数字，使算式完整。 【答案】325147=47775 举一反三1: 在如图中的“Ο”里填上适当的数，使每个正方形的四个角的数之和为1。 18 23 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 例题2:如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字,求使算式成立的汉字所表示的数字。 【答案】将竖式化为横式就是；1000喜+200爱+30数+4学＝2008，从“喜”到“学“依次考虑，井注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于0,可以得到：喜＝1，爱＝4，数＝6,学＝7。 举一反三2： 1、下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，则“大熊猫”代表的三位数是多少？ 团团圆圆＝大熊猫 2、在这个乘法算式中，p、q、r、s各代表不同的数字．请问：p+q+r+s=__________。 【答案】1、“团”和“圆”一个为2,一个为4,2244=968，符合题意，因此 “大熊猫”为968。 2、21。 数阵图 例题3、一列自然数I O, 1, 2, 3, ••••••,2024，第一个数是0,从第二个数开始，每一个都比它前一个大l,最后一个是2024.现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第__________行第__________列。 【答案】观察可知第n行的第1个数是,第n列的第1个数是.由于 ,所以第45行的第1个数是1936,第45列的第1个数是2025-1=2024.由于2024-2005+1=20,所以2005在第20行第45列。 举一反三3:下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A格应填的数是l0l3=130,求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？ 【答案】第二行上除去第一列的数的和为8(9+11+13+15+3+19) 第三行上除去第一列的数的和为12(9+11+13+15+3+19). ...... 最后一行除去第一列后所有数的和为16(9+11+13+15+3+19). 将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数的和为： (8+l2+14+l0+16)(9+11+l3+15+3+19)=4200。 位值原理 例4，有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？ 【答案】1, 2, 4 举一反三4: 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求所有这样的6个三位数中最小的三位数． （答案】689 小结 【巩囡练习】 一、选择． 1、如图，各图阴影所示分别对应1、2、4、5，那么数9的对应图示是（ ）． 2、在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立．那么，乘积的最大值等于（ ）． A.. 6292 B. 6384 C. 6496 D. 6688 3、计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制“逢二进一”,表示二进制数，将它转化成十进制形式是,那么将二进制数转化成十进制形式是数（ ）。 A. 8 B. 15 C. 20 D. 30 4、我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图．有以下4个点图可供选择 其中，正确的是（ ）。 20 21 学科网（北京）股份有限公司 二、填空． 1、在里填上合适的数。 2、在下边乘法算式中，被乘数是_______。 3、用5、5、5、1四个数字组成一个算式，使其结果为24.算式是＿＿。 4、用1. 9, 7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是______。 【答案】一、选择 D C B B C 二、填空 1、略 2、5283 3、 4、629 第4讲 平面图形综合（一） 【学习目标】 1、复习解平面几何图形问题的方法和技巧。 常用的有：等积变形、割补平移、一半模型、代换法、比例法、构造法、数形结合等。 2、训练良好的数学抽象思维，培养逻辑推理能力。 【温故知新】 例题l: 将一张三角形纸片如图所示折叠，折叠后的图形面积比原来少，且 阴影部分面积为36平方厘米，则原三角形的面积为_______平方厘米。 【答案】 举一反三1： 如图，将三角形ABC沿与底边AB平行的EF线对折成一个多边形，面积变成 原来的，如果原来三角形ABC的面积为36平方厘米，求阴影部分的面积。－ 【答案】 例题2：如图，BD,.CF把长方形ABCD分成4块，三角形DEF面积是4平方厘米，三角形CDE面积是6平方厘米，四边形ABEF面积是多少平方厘米？ 22 23 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 举一反三2: 1、如图，将ΔABC的BA延长一倍到D, CB延长3倍到E,AC延长2倍至F。如 果ΔABC的面积是4平方厘米，求ΔDEF的面积是多少平方厘米？ 2、在三角形ABC中，C角是直角，已知AC=2, CD=2, BD=1, AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？· 【答案】 l、 2、 、 例3: 6根钢管被金属带捆成了下图所示形状。这根金属带的长度是多少厘米？金属带围成的图形面积是多少？ f 【答案】周长：（6-2+4-2)2=12（厘米） 66=1（厘米） （厘米） 12+6.28=18.28（厘米） 面积：44=16（平方厘米） 122=4 (平方厘米） 1411=3.14（平方厘米） 16+4+3.14=23.14（平方厘米） 举一反三3： 1、如图：每个圆的面积为28.26平方厘米，求该图形的面积和周长分别是多少？ 2、7根直径6厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒成—捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？ 【答案】1、周长, (43)4=48（厘米） 323.14=18.84（厘米） 48+18.84=56.84（厘米） 面积：（43)(63)=216（平方厘米） 3(43)2=72（平方厘米） 216+72+3.1433=316.26（平方厘米） 2、（厘米） 例4：如下图，一个正方形磁铁的边长是4厘米，一个半径1厘米的圆形铁环绕正方形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积有多大？ 【答案】44=16（平方厘米） (4+4l)(4+21)=48（平方厘米） l(4+2l)2=12（平方厘米） 3.1411=3.14（平方厘米） 48+12+3.14-16=47.14（平方厘米） 举一反三4: 1、如图：长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米。当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？ 2、如下图，等边三角形的边长是6厘米，而圆形的半径是1厘米。当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，其扫过的面积有多大？ 【答案】1、(2+4l)+(6+2l)=48（平方厘米） l(12+2)2=8（平方厘米） 28 25 学科网（北京）股份有限公司 3.1411=3.14（平方厘米） 48+8+3.14-26=47.14（平方厘米） 2、S=6l3+3.14=21.14（平方厘米） （三个扇形拼成一个圆） 小结： 【巩固练习】 1、用半径为10厘米的圆形纸片剪一个面积最大的正方形，此正方形的面积为＿平方厘米。 2、三角形ABC中，角A是角B的2倍，角A与角B的和比角C大求这三个角的度数分别是_____、______、______。 3、在正方形ABCD中，E,F分别是所在边的中点，求四边形AGCD的面积占正方形ABCD面积的_________． 4、如下图，在ΔABC中，EF平行于BC, AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙的面积之比是________。 5、图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图形2,这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积为15cm2,那么原三角形的面积是 （ ）。 学科网（北京）股份有限公司 6、如图，一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是l,、2, 3, 4, 5平方厘米，长方形的面积是_______平方厘米。 7、三角形ABC是直角三角形，EG垂直于AC, EG，等于17厘米；AB、BC、AC的长度分别30厘米，40厘米，50厘米，求正方形BDEF的面积。 8、有一个算式，如下图。式子中画“”表示被擦掉的数字，其中m、n分别 为积的万位、千位上的数字，设mn的个位数字为p,如图2，梯形船CD是直角梯形，上底AD=m厘米，下底BC=n厘米，直角腰CD=p厘米，E是AD中点，F是BC上的点，且CF:BF=l:2, G是CD上的点，若三角形BFG的面积与三角形AEG的面积相等，试求图2中阴影部分的面积。 28 【答案】1、200 2、、、 3、 4、1：2：6 5、B 6、33 7、30402-5017+2=175(), 设正方形的边长为 正方形的面积是55=25（平方厘米） 8、m=6,n=4,p=9.BFG与AEG的面积相等，DG:CG=2:l； 阴影部分的面积是: 第5讲 平面图形综合（二） 【学习目标】 l、掌握立体图形的表面积和体积计算公式。 2、掌握求组合立体图形的表面积的常用方法。 3、提高空间想象能力。 一、长方体与正方体 如右图，长方体共有6个面（每个面都是长方形），8个顶点，12条棱。 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。 （叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形。） 【温故知新】 例1：有一个棱长4cm的正方体，从它的右上方截去一个长、宽、高分别为4cm, 2cm, 1cm的长方体（如下图），求剩下部分的表面积。 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（平方厘米） 举一反三1： 1、如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 2、将高是0.5米，底面半径分别为3米、2米和1米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是多少？ 3、有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积． 【答案】1、(平方厘米） 2、（平方 厘米） 3、（平方米） 例题2:有一个棱长为4cm的正方体橡皮泥。 (1) 求这个正方体橡皮泥的表面积。 (2) 从一个面挖一个棱长为2cm的正方体，再在中心挖一个棱长为1cm的正方体。若每立方厘米的橡皮泥重约4克，那么挖后的橡皮泥重约多少克？ (3) 求第二问中最终图形的表面积。 【答案】(1)（平方厘米） (2)（立方厘米），（克） (3)（平方厘米） 举一反三2： 1、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 2、在一个边长4厘米的正方形的六个面各中心挖去一个底面半径为1厘米，深1厘米的圆柱，求剩余部分的面积。 【答案】1、涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为 （平方厘米） 2、（平方厘米） 例题3:已知直角三角形的三条边长分别为3cm, 4cm, 5cm,分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？（取3.14） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm,高是3cm的圆锥体，体积为。 以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm,高是4cm的圆锥体，体积为 。 以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高的两 个圆锥，高之和是5cm的两个圆的组合体，体积为。 结论； 答：体积最小的是30.144立方厘米。 举—反三3： 如图，直角梯形ABCD, CD=lOcm, AD=6cm,BC=12cm。以BC为轴，旋转一周，所形成的立体图形体积是多少？ 【答案】体积：（立方厘米）－ 例4:有两个无盖的长方体甲乙两个水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱底面长为20厘米，宽为16厘米，高25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 【答案】（厘米）。 举一反三4:· 1、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，（如下图所示），请你根据图中标明的数据，瓶子的容积是多少？ 32 2、甲乙两个圆柱容器，它们的底面半径的比是2:1,两个容器内分别盛有10厘米和15厘米的水，现将乙容器中的一部分水倒入甲容器内，使得两个容器内的水面相平。这时水深为多少厘米？ 3、有一个下面是圆柱体；上面是圆锥体的容器，圆柱的高是10厘米，圆锥的高是6厘米，容器内水深7厘米，将这个容器倒过来放时，从圆锥的尖到液面的高是多少？ 【答案】1、（立方厘米）。 2、底面积比=4:1 （厘米） 3、（厘米） （厘米）。． 小结: 【巩固练习】 一、选择 1、体积为（单位：厘米）的箱子，最多能装入棱长为1分米的立方体 学科网（北京）股份有限公司 （ ）个。 A.45 B.36 C.72 D.30 2、用棱长2厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少要（ ）个小正方体。 A.32 B.16 C.8 D.4 3、如图，圆锥形容器内有1千克水，水面在圆锥高的一半，此容器还能装（ ）千克水． A.5 B.6 C. 7 D.8 4、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么圆柱的体积和削去部分的体积比是（ ）。 A. 2:3 B. 1:3 C.2:3 D.3:2 二、填空 1、有一个圆柱和圆锥等底等高，它们的体积相差10分米，它们的体积和是＿＿＿立方分米。 2、等底等高的圆柱和圆锥体积之差4.6立方分米，圆柱的体积是_____立方分米。 3、一个圆柱的高是12厘米，体积是120立方厘米，比与它等底的另一个圆锥的体积多20立方厘米，则另一个圆锥的高是_______。 4、如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是______平方厘米。 三、解决问题 1、装满水的圆锥形容器，底面半径是2分米，高为1.5分米，现把容器里的水倒入一个内壁长3分米、宽2分米、高1.2分米的长方体水槽，能盛下吗？（请通过计算说明） 36 35 学科网（北京）股份有限公司 2、已知直角三角形ABC的一条直角边AC的长为7厘米，另外一条直角边BC的长为6厘米，求绕长为6厘米的直角边BC旋转一周所得的立体图形的体积。（取3.14) 3、一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (=3.14) 【答案】一、选择 C C C D 二、填空 1、20 2、6.9 3、30cm 4、三视图法。从前后面观察到的面积为平方厘米，从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为（平方厘米）。 三、解决问题 1、．不能装下。 2、。 3、这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径。 可知，圆柱体的高为（厘米），所以增加的表面积为（平方厘米）。 第6讲 比和比例综合（一） 【学习目标】 1、准确判断正、反比例关系。 2、理解比例尺并应用比例尺的有关知识解决实际问题 3、复习比、比例的综合运用。 【温故知新】 例题1:在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是12厘米，甲、乙两地的实际距离是60千米。乙、丙两地的实际距离是100千米，在这幅地图上面，乙、丙两地的距离是多少厘米？ 【答案】 举一反三1: l、在比例尺为1: 200000的地图上，量得甲乙的距离为5厘米，在比例尺为1:250000 的地图上，甲乙的距离应是多少厘米？ 2、在比例尺是50:1的图纸上，量得某个零件的长是20厘米，如果把这个零件画在比例尺是40:1的图纸上，应画多少厘米？ 【答案】1、4厘米 2、16厘米 例题2:用弹簧秤称物体，称2千克的物体，弹簧长12.5厘米，称6千克的物体，弹簧长13. 5厘米。则称5千克的物体时，弹簧长多少厘米？ 【答案】, 举一反三2: 鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码） (1) 如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？ (2) 设鞋长为x，鞋码为y,求x、y之间的关系式； 37 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 (1)27cm (2) y=2x-10 例3：甲船从东港到西港要行6小时，乙船从西港到东港要行4小时，现在两船同时从东、西两港出发，相向而行，结果在离中点18千米的地方相遇。相遇时甲船行了多少千米？ 【答案】甲乙速度比为2:3,相遇时甲乙的路程比为2:3。 举一反三3： l、一辆货车从A地运货往日地，然后空车返回，再继续运货，已知货车装满货物每小时行40千米，空车每小时行60千米。不计装卸货物的时间，往返五趟共用时10小时，求A、B两地之间的距离。 2、圣诞节前，某厂生产圣诞饰物3120个，生产前一半饰物的效率与生产后一半饰物的效率比是3：5，生产全部饰物共用了小时，问前后每分钟各生产多少个饰品。 【答案】1、（小时），往返速度比为40:60=2:3,往返时间比为3:2,去时间为： 2、生产前一半所需要的时间是：（小时）， 生产后一半所需要的时间是：(小时）。 前一半每分钟生产：（个）； 后一半每分钟生产：（个）。 小结： 【巩固练习】 一、判断． 1、这四个数可以组成比例。（ ） 2、在一张图纸上，如果用5厘米表示实际距离4千米，所用的比例尺是1:80000。 （ ） 3、x,y是两种相关联的量，如果3x=5y,那么x和y成反比例。（ ） 4、圆柱的侧面积—定，其底面半径与高成反比例。（ ） 二、选择 1、小麦的出粉率一定时，小麦的重量和磨成的面粉的重量（ ）。 A.成反比例 B..成正比例 C.不成比例 2、有两个圆柱水桶，甲桶比乙桶高2倍，而乙桶的直径是甲桶的2倍，则甲乙两桶容积大的是谁？比另一桶大多少倍？（ ） A.甲， B.乙， C.乙，1 D.甲， 3、在比例尺为1: 1000的图纸上有一块三角形土地，通过测量，计算出图上三角形的面积是,这块三角形土地的实际面积是（ ）。 A. B. C. D. 4、在比例尺是1:30000000的地图上量得甲地到乙地的距离是5.6厘米，一辆汽车 学科网（北京）股份有限公司 按3:2的比例分两天行完全程，两天行的路程差是（ ）千米。 A.672 B.1008 C.336 D.1680 三、填空 1、在比例尺1:1000000的地图上，量得两地间的距离是8厘米，实际距离是_____千米。如果将这段实际距离画在比例尺为l:400000的地图上，应画_______厘米。 2、一天下午，小明和小华观察到操场边一棵树的影子有一部分在地上，另一部分在墙上，经过测量，地上的影长2.7米，墙上的影长1.2米，同时测得一长为1米的竹竿影长0.9米，那么这棵树高______米。 四、解决问题 1、下图的比例尺是1:500,在图上的长是15厘米，宽是8厘米，求阴影部分的实际面积是多少平方米？ 2、在学校阅览室里女生占全室人数的，后来又进来4名女生，这时女生和全室人数 比是5:13。阅览室原来有多少人？ 【答案】一、判断 二、选择 1、B 2、B 3、D 4、C 三、填空 1、80，20 2、4.2 四、解决问题 1、1500平方米 2、48人 。 第7讲 比和比例综合（二） 【学习目标】 1、用正反比例的知识解决生活中常见的问题。 2、掌握工程问题中的正反比关系。 3、掌握行程中的正反比关系。 【温故知新】 例题1： 物体平移的速度常用单位时间移动的距离来表示，如汽车每小时行60千米；物体旋转的速度常用单位时间转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转30°，分针每小时转1圈或每分钟转,还有电风扇每秒转2圈或720°（每秒转2圈，l圈是360°). 我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从B传送到A.主动轮每秒转l圈． (1) 观察该系统，如果主动轮顺时针转,那么从动轮就会逆时针转 ________ (2) 这个系统把货物从B传送到A，大约要多少秒？（计算时，圆周率取3) 【答案】(1)90o。 (2)（秒）。 举一反三1: 如图是四个相互咬合的齿轮，各齿轮的齿数分别是16,12,10,6．当最大齿轮按照顺时针方向转动了2014圈时，最小齿轮上面箭头所指的汉字为_______。 41 学科网（北京）股份有限公司 【答案】思。 例题2: 有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齿轮转动7圈时，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动7圈时，C齿轮恰好转动10圈．请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？ 【答案】A:B=5:7, B:C=.10:7, A:B:C=50:70:49 举一反三2： 有A、B、C、D四个齿轮，其中A和B相互咬合，｀B和C相互咬合，C和D相互咬合，这四个齿轮的齿数之比3:4:5:6。当A、D两个齿轮一共转动50圈时，B、C两个齿轮一共转动了多少圈？ 【答案】A、B、C、D的圈数比为：； （圈）。 例题3: 6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高，用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币。问：这些硬币的总币值为多少元？ 【答案】壹分钱厚度：贰分钱厚度：伍分钱厚度＝15:18:20。 [15, 18, 20] = 180 ， 18015=12, 18018=10, 18020=9， 124(12+10+9)=4。 总币值：（元）。 举一反三3： 已知4盒圆珠笔和3盒铅笔的支数一样，4盒钢笔和3盒圆珠笔的支数一样．王老师购买这三种笔共111盒，发现其中圆珠笔、铅笔和钢笔的支数相同．请问：王老师购买了圆珠笔、铅笔、钢笔各多多少盒？ 【答案】每盒圆珠笔的支数：每盒铅笔的支数＝3:4, 每盒钢笔的支数：每盒圆珠笔的支数＝3:4, 每盒圆珠笔支数：每盒铅笔支数：每盒钢笔支数＝12:16.:9, [12, 16, 9] = 144。 14412=12, 14416=9,1449=16，111(12+9+16)=3. 圆珠笔：123=36（盒）；铅笔：93=27（盒）；钢笔：163=48（盒）。 ※例4:甲乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲乙速度的比是5:4。相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度提高。这样，当甲到达B地时，乙还差10千米到达A地。求A、B两地的距离。 【答案】由甲乙的速度比是5:4知， 相遇时，甲乙的路程比是5:4,把全程看成单位“1”, 甲行驶了全程的,乙行了全程的 相遇后，甲的速度为 乙的速度为 甲从相遇到达B地，所用时间为：， 此时乙共行驶的路程是：； A、B两地的距离是千米。 44 43 学科网（北京）股份有限公司 举一反三4： 1、康师傅加工一批零件，如果从一开始，就把工作效率提高12.5%,结果提前了4天完成任务；如果加工720个之后，再把工作效率提高20%，那么也可以提前4天完成任务；这批零件共有多少个？ 2、一个水泥厂计划生产一批水泥，如果先生产19天，然后把生产速度提高25%，就能比计划提早4天完成；如果在生产300吨水泥后，再把生产速度提高4.5%,就能比划提早9天完成。那么这个水泥厂计划生产多少吨水泥？ 【答案】1、，工作效率提高前后所用时间的比是9:8; 原计划需要时间：（天）； ，工作效率提高前后所用时间的比是6:5; 加工720个零件后的工作时间：（天）； 前720个所用时间：36-24=12（天）： 总零件（个）。 2、1170（吨） 小结： 【巩固练习】 1、如图甲、乙、丙三个齿轮咬合，当甲轮转4圈时，乙轮恰好转3圈；当乙轮转4圈时，丙轮恰好转5圈，求这三个齿轮的齿数最少应分别是（ ）（ ）（ ）。 学科网（北京）股份有限公司 2、甲、乙、丙三人共有存款106元。已知甲存款数的相当于乙存款数的，乙存款数相当于丙存款数的，甲、乙、丙各有存款多少元？ 3、一辆摩托车从A地开往B地。如果把车速提高20%,可比原计划提前一小时到达；如果仍按原速行驶120千米，再将速度提高25%,则可提前40分钟到达。那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】1、15，20，16 2、甲乙存款比为2:5;乙丙存款比为4:5;甲乙丙存款的比为8:20:25,196(8+20+25)=2，甲：2 8=16（元），乙：202=40（元），丙：252=50（元）。 3、车速提高20%，也就变成原来的,则时间变成原来的，提前1小时，所以原来的 时间为1(6-5)6=6小时； 速度提高25%,也就变成原来的，则时间变成原来的, 提前40分钟，这段路程的原定时间40(5-4)5=200分钟＝小时。因此原速行驶120干米需要时。A、B两地的距离：千米。 。 第8讲 期中测试 姓名________ 成绩 __________ （本试卷总分:A卷100分+B卷20分，作答时间:80分钟） A卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、折。 2、3时9分＝（ ）时； 57000平方米＝（ ）公顷 3、如果 那么a=( ), b= ( )。 4、已知M=233a, N=235a，且M与N的最大公因数是42,则a= ( ), M和N的最小公倍数是（ ）。 5、一串数按1, 1. 1. 2, 2, 2, 3, 3, 3,…从左面第一个数起，第25个数是（ ）；前26个数的和是（ ）。 6、A、B是自然数，并且，那么A+B= ( )。 7、将一块长宽高分别为20 cm、30 cm、40cm的长方体木块，分割成四个完全相同的小长方体木块，表面积最多增加( )。 8、一根长2米的直圆柱木料，横着截去2分米，和原来比，剩下的圆柱体木料的表面积减少l2.56平方分米，原来圆柱体木料的底面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。（圆周率取3.14) 9、一个正方体纸盒的展开图如图，若将它折叠成正方体后，相对的面上的未知数是已知数的2倍，则(a+b)c的倒数是（ ）。 10、甲、乙二人在某跑道上比赛跑步。甲离终点12米时，乙离终点36米；当甲跑到终点时，乙离终点还有28米。则这条跑道的长是（ ）米。 二、选择题（将正确答案的选项填在括号内）（每小题2分，共10分） 11、一个数由3个亿、6个千、8个十分之一组成的，这个数是（ ） 46 49 学科网（北京）股份有限公司 A. 300006000.8 C. 36.08 B. 3.00006080 D. 300006000.08 12、在比例尺是1:3000000的地图上，量得A、B两港距离为12cm,一艘货轮于上午7时出发，以每小时24km的速度从A港开向B港，到达B港的时间是（ ） A. 22时 B. 23时 C. 21时 D. 20时 13、如图，阴影部分面积相等答案完成正确的是（ ）。 l4、如图的三角形ABC中，AD: DC=2: 3, AE=EB。甲乙两个图形面积的比是（ ）。 15、A, B, C,D,E,.F, G都是各自装有拉线开关的灯，开始时A,C,E,G亮着。如果从A开始顺次拉开关，每次只拉一个灯的开关。当拉到1899次开关时，亮着的灯是（ ）。 A.A,D,F B.B,C,E,G C.A,C,E,G D.B,D,F 三、判断题（在括号内，对的打““，错的打“”,每题1分，共5分） 16、一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ） 17、分子，分母都是质数的分数一定是最简分数。 （ ） l8、把一个圆柱体剥成一个最大的圆锥，剥去部分的体积是圆锥体积的2倍。（ ） 19、周长相等的两个长方形，面积一定相等。 （ ） 20、甲、乙两数是正整数，如果甲数的恰好是乙数的，则甲、乙两数和的最小值是13。 （ ） 四、计算题（每题5分，共20分） 21、 22、 23、 24、 48 49 学科网（北京）股份有限公司 五、求面积：（10分） 25、求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 26、如图，长方形ABCD中，E是AD中点，F是CE中点，长方形ABCD的面积是， 求ΔBDF的面积。 六、解决问题（共35分） 27、在比例尺是1:8000000的地图上，量得A,B两地相距6厘米。甲、乙两车分别从A, B两地同时相对开出，经过10小时相遇。已知甲、乙两车的速度之比是5:7,甲、乙两车每小时各行多少千米？ （5分） 28、一个书架，上层的册数是下层书的，如果从上层中取出14本放到下层，上层书的册数就是下层书的。求上层原来有多少册书。(5分） 29、给动物园里的三群猴子分一批花生，如果全分给第一群，每只猴子可得12粒；全分给第二群，每只猴子可得15粒；全分给第三群，每只猴子可得20粒．如果平均分给所有的猴子，每只猴子可得多少粒花生？（5分） 30、一批零件，第一天做了这批零件的多2个，第二做了亵下的少1个，第三天又做了38个才做完。这批零件共有多少个？（6分） 31、汽车以一定的速度从甲地到乙地，如果汽车每小时比原来多行15千米，那么所用的时间只是原来的；如果汽车每小时比原来少行15千米，那么所用的时间要比原来多用1.5小时。求甲乙两地间的距离．（6分） 32、阅读以下两则材料，并完成后面的4个问题． （8分） 材料一：如果一个正数的平方等于,即，那么叫作的算术平方根， 记作．例如，因为,所以2是4的算术平方根，记作 材料二：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，例如，如图所示，直角三角形ABC中，如果∠ ACB=90O , AC=3 , BC=4 , 因为，所以斜边AB=5. 问题： 50 S1 学科网（北京）股份有限公司 (1) 9的算术平方根是_______，10的算术平方根是_______; (2)某直角三角形的两条直角边分别是5, 12,则斜边长是 (3)某直角三角形有两条边的长分别是1与2,则第三条边的长是_______; (4)请你计算上述第(2)中直角三角形斜边上的高是_______. B卷 每题5分，共20分 1、____________。 2、_____________。 3、小明星期天下午在家写作业，开始时发现钟表上分针略超过时针一些，完作业时，他发现时针和分针恰好互换位置，小明写作业用了___________分。 4、有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余l．这个自然数最小是_______。 【答案】 A卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、15, 75,16，七五 2、 3、5，25 4、7，105 5、9;126 6、4 7、7200 8、62.8 9、 10、84 二、选择题（将正确答案的选项填在括号内）（每小题2分，共10分） 11、A 12、A 13、D 14、B 15、A 三、判断题（在括号内，对的打“”，错的打“”,每题1分，共5分） 16、 17、 18、 19、 20、 四、计算（共20分） 五、求面积：（10分） 25、(5+8)52=32.5() 26.、482-12-6=6() 六、解决问题（共35分） 28、上层册数占总数的， 从上层取出14后上层的册数占总数的 总数：（本）；上层册数：（本）。 29、（粒）。 30、（个）。 31、如果每小时比原来多行15千米，所用时间与原来时间的比5:6, 速度比6: 5,原速度：(km/h). 假设原来需要的时间为。 甲乙两地的距离是：(km)。 32、(1) 3， （2) （3） （4） B卷 1、1201 2、0 3、 4、 52 第9讲 简算（一） 【学习目标】 一、循环小数与分数互化 2、、循环小数化分数结论 二、多位数运算常见方法 1、“以退为进”法找规律递推求解。 2、利用，进行变形。 ※3、的数字和为.（其中为自然数，且). 【温故知新】 循环小数 例题1：在小数1.8052上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_________。 举一反三1: 1、给下列不等式中的循环小数添加循环点： 0.1998>0.1998>0.1998>0.1998 学科网（北京）股份有限公司 例题2： (l) 化为小数后，小数点后第2014位的数是几？ (2) 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992,那么a是多少？ 举一反三2： 1、真分数化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7,则a是多少？ 2、真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a是多少？ 【答案】l、我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成， 。因此只需判断当a为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得 。 2、形如的真分数转化成循环小数后．循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组 成，只是各个数字的位置不同而已，邦么9039就应该由若干个完整的1+4+2+8+5+7和一个不完整1+4+2+8+5+7组成。 9039+(1+2+4+5+ 7+8)=334…21，而21=27-6,所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为4,2时才符合要求，显然这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为，所以a=6。 例3: 计算：（l）_______。 （2）___________。 （3）____________。 学科网（北京）股份有限公司 举一反三3: 1、计算： 2、计算： 小结: 【巩固练习】 一、填空 1、一个小数的小数点向左移动一位后，所得的小数比原数小11.52,原小数是________。 2、我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即。一般地， 任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。现在就以为例进行讨论：设, S8 57 学科网（北京）股份有限公司 由=O.7777…可知，即,解方程，得。于是得。根据上面的信息，请你把写成最简分数是_______。 3、在以下各数上加上循环点，使排列顺序符合要求。 0.6162 > 0.6162 > 0.6162 > 0.6162 1、 二、选择 1、一个数按“四舍五入”法则保留一位小数是3.0,这个数可能是（ ）。 A、3.18 B、3.04 C、2.896 D、2.905 2、一个整数四舍五入到万位，约是50000,这个数最小是（ ）。 A、50001 B、44445 C、44999 D、45000 三、计算 1、 2、 【答案】一、填空题 1、12.8 2、 二、选择题 1、B 2、D 三、计算 1、原式＝ 2、 ． 第10讲 简算（二） 【学习目标】 整体思考与换元 把某个式子看成一个整体，用另一个最去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。 【温故知新】 例题1：（1） （2） 60 S9 学科网（北京）股份有限公司 举一反三1: 1、 2、 3、 4、 【答案】1、 2、2 3、 4、 例2: 举一反三2： 1、 2、 3、 【答案】1、1 2、1 3、 ｀ 例题3: 【答案】设,原式化简得： 。 举一反三3： 1、 2、计算 【答案】1、解：设 原式＝ 2、设 原式＝ 62 65 学科网（北京）股份有限公司 小结: 【巩固练习】 1、 2、 3、 4、已知：,求 5、 6、 7、 【答案】 1、 2、1 3、1 4、 5、 6、 7、原式 第11讲 平面图形的面积 【学习目标】 【温故知新】 例题1：四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为 15平方厘米．求四边形ABCD的面积（如图所示）。 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案）153=45（平方厘米） 答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。 举一反三1: 1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为 15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。 2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。 【答案】1、。 2、。 例题2：如图所示，B0=200,阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD 的面积是多少乎方厘米？ 【答案】取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质， 可知＆； ,类推可得每个三角形的面积。所以， （平方厘米） （平方厘米） （平方匣米） 答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。 举一反三2: 1、如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC=2AO。求梯形面积。 2、要在某平行四边形花园里种植四种不同颜色的鲜花，现将该花园划分成平行四边形小花园（如图）。已知其中三块花园的面积分别是, 则第四块小花园的面积是_________。 3、一个大长方形被两条线段AB,CD分成四个小长方形，其中三个长方形的面积如图所示，那么阴影部分的面积是多少？（单位：) 【答案】1、36平方厘米。 2、15。 例题3:已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE=ED,BD=BC,求阴 影部分的面积。 学科网（北京）股份有限公司 【答案】，又因为AE=ED,所以 因此，（平方厘米）， 则阴影部分的面积为（平方厘米）。 举一反三3: 1、如图，三角形ABC的面积为10,AD与BF相交于点E，且AE=ED,BD=2/3BC, 求图中阴影部分面积的和。 2、如图，AE=ED, BC=4BD, ΔABC=35平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】1、。 2、 例题4：如图所示，长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。 【答案】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。 由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半。用8 68 减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为,所以，三角形ABC的面积为16-3-4-2.5=6.5。 举一反三4: 如图所示，四边形ADEF是长方形，点E、F分别是所在边的中点，且ΔAEF的面积为12平方厘米。求长方形ABCD的面积是多少？ 【答案】 32 小结: 【巩固练习】 1、如图，AC长10厘米，BD长6厘米，且AC与BD垂直，那么四边形ABCD的面积是______平方厘米。 2、三角形ABC各部分的面积如图所示，则阴影部分的面积是_______。 学科网（北京）股份有限公司 3、如图，四边形ABCD面积为，图中两个小三角形的面积分别为和,三角形ABE的面积是_________。 4、已知AB=8cm, AD=l2cm，三角形ABE和三角形ADF的面积，各占长方形ABCD的,求三角形AEF的面积。 5、如图，三角形ABC中，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积是2,三角形BEF面积是，求三角形AEF的面积。 6、如图，三角形ABC中，D为BC上任一点，AE=AD,EF=EB,FG=GC,三角形EFG的面积是1平方厘米，求三角形ABC的面积。 70 71 学科网（北京）股份有限公司 【答案】1、30 2、6 3、20 4、 5、 , 6、 o - 第12讲 余数性质与定理 【学习目标】 1、掌握余数的性质，用余数的性质解决问题 2、余数定理的应用 一、余数的性质 性质1:在带余除式中，余数总是比除数小。 性质2:A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。 性质3:A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B 两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。 二、余数与周期 1、图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题。 弃九法：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=889923 1234除以9的余数为1, 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4, 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为o,这些余数的和除以9的余数为2 而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。 【温故知新】 例题1、求23496351234除以9的余数。 【答案】5 举一反三1: l、234963523456除以9的余数。 74 77 学科网（北京）股份有限公司 2、求4217364除以6的余数． 【答案】1、1 2、2 例题2：已知2014年的儿童节是星期日，求2024年的儿童节是星期几？ 【答案】2014年儿童节到2024年儿童节之间共有3个闰年7个平年，即有“3663+3657”天。 答：2024年的儿童节是星期一。 举一反三2： l、已知2014年国庆是星期三。求2018年国庆是星期几？ 2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2Ol5年的“十月一日”是星期几？ 【答案】l、星期一 2、星期四 模块二、余败定理的应用 例题3：有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数。 【答案】根据同余定理，我们可以得到；这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差．也就是说它是任意两数差的公约数．101-15=56, 59-45=14, (56,l4)=l4, 14的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 举一反三3: 1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数。 2、有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33.求这个数是多少？ 【答案】1、（法1) 39-3=36, 147-3=l44，（36,144)=1_2, 12的约数是1,2,3,4,6,12,因为 余数为3要小于除数，这个数是4,6,12 ; （法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51-39 =12, 147-39 =108, (12,108) =12,所以 这个数是4,6,12. 2、由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543:345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543-345)33= 6。 摸块三、余数综合应用 ※例4：著名的裴波那契数列是这样的：l、l、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第 2008个数除以3所得的余数为多少？ 【答案】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0…… 第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为O,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0. 举一反三4: 有一串数：1, 1, 2, 3, 5, 8, ……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？ 【答案】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1, 1, 2, 3, O, 3, 3, 1, 4, O, 4, 4, 3, 2, O, 2, 2, 4, l, 0, 1, 1, 2, 3, O,……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于2009. 5 = 401…4,所以前2009个数中，有401个是5的倍数． 小结: 【巩固练习】 1、求199259除以7的余数。 2、求87943765283除以11的余数。 3、计算五年之后你的生日是星期几？ 4、一个自然数被7, 8, 9除的余数分别是1 2, 3,并且三个商数的和是570,求这个自然数。 5、有连续的三个自然数,它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？ 【答案】 l、因为199259=435 (mod 7),所以199259除以7的余数是5。 2、1 3、略 4、这个数被7, 8, 9除的余数分别是1， 2, 3,所以这个数加上6后能被7, 8, 9整除，而[7,8,9] =504,所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7, 8, 9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7, 8, 9除的三个商数的和是570 + l + l +1 = 573,而, 所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是. 5、法一:由a+l是8的倍数，得到a被8除余7,由a+2是7的倍数，得到a被7除余5,现在相当于一个数a除以9余0,除以8余7,除以7余5．运用中国剩余定理求a （用逐步满足的方法也可以） 7和8的公倍数中除以9余l的最小为280; 7和9的公倍数中除以8余1的最小是441; 8和9的公倍数中除以7余1的最小是288,根据中国剩余定理， 符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知是满足各个余数条件的最小值，所以a至少是495. 法二：仔细观察，可知由于a、a+l、a+2恰好分别是9、8、7的倍数，那么a+9、a+ l +8、 a+2+7也分别是9、8、7的倍数，即a+9是9、8、7的公倍数，那么a+9的最小值是 97= 504,即a至少是504-9 = 495。 第13讲 钟面上的行程 【学习目标】 1、认识时钟特征，掌握分针、时针的速度关系； 2、运用追及、相遇、分数应用题等知识解决时钟问题。 1、 认识钟面 速度表示： 它的速度和总路程的度量方式不是米／秒或者千米／小时，而是“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，整个钟面为360度，上面有 12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。所以： 分针速度： 1小格／分，每分钟走6度／分。 时针速度: 小格／分，每分钟走0.5度。 二、钟面上的追及、相遇问题 在钟面上每针都是沿着顺时针的方向转动，但是因为速度不同，所以存在分针追赶时针或是分针超越时针的时刻，因此往往可以转化为追及问题。 在实际问题中往往也会出现时针、分针分布在某个刻度的左右两侧（对称），此时我们可以把问题转化成速度和，即相遇问题。 解题关键： 确定初始位置（格数或者角度）。 确定分针、时针路程差（和）。 三、比例（快慢钟问题） 【温故知新】 例题1:3时多少分时，时针与分针重合？ 77 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 （分）答：3时上分时，时针与分针重合。 举一反三1: 1、钟面上分针每小时走1圈，而时针才从一个数字移动到另外一个数字，如果从中午12 点开始，在l2个小时里分针和时针重叠几次？每隔多少时间重合一次？ 2、某钟面的指针指在2点整，再过多少分钟时针和分针第一次重合？ 【答案】1、（1） 11次 2、 （分钟） 例题2:在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？ 【答案】想：7点时分针指向12，时针指向7，分针在时针后面57=35（格）。时针 与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有两种情况： (1) 顺时针方向看，分针在时针后面15格．从7点开始，分针要比时针多走35-15= 20 （格）； (2) 顺时针方向看，分针在时针前面15格．从7点开始，分针要比时针多走35+15= 50（格）。 解： （分） （分） 答：在7点分和分时，时针与分针相互垂直。 79 学科网（北京）股份有限公司 举一反三2, 1、在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？ 2、在3点与4点之间，时针和分针在什么时候反向成一直线？ 【答案】l、10点分和10点。 2、 解：（分） 答：3点分，时针和分针反向成一直线。 例题3:8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等。问这时是8时多少分？ 【答案】8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过4格，所以时针、分针共走过格．于是，所需时间为如分钟，即在8点分钟为题中所求时刻． 举一反三3: l、3点过多少分时，时针和分针离“3"字的距离相等，并且在“3"的两边？ 2、一只挂钟的时针与分针都指在6与8之间，巧的是钟面上的“7”字正好在时针与分针的正中央。这时是几点几分？ 【答案】1、想：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15小格。 解：（分） 答：3点过分时，时针和分针离“3”距离相等，并且在“3”的两边。 2、这里有两种情况，可能是6点多，也可能是7点多。 6点分或者7点分。 小结： 由于钟表上的分针转动1小格，时针转动1/12小格，所以，钟面上的分针和时针总是分针遍赶时针、两针重合、分针超过时针、分针遗赶时针. 周而复始的情形．因此，钟面上的有些 问厘可归结为行程中的遍及相遇问题． 【巩固练习】 l、时钟8:30分时，时针与分针所成的夹角为＿＿＿度。 2、假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么该星球钟表3点18分时，时针和分针所成的锐角是______度。 3、晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？ 81 学科网（北京）股份有限公司 4、时针和分针成60°,它们多久之后会第一次成30°? 5、小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？ 【答案】1、75 2、30 3、 4、分或分 5、 第14讲 工程问题（一） 【学习目标】 1、掌握工程问题一般解题方法。 2、通过工程问题的学习，复习分数、百分数应用题的解题方法。 3、掌握“组合法”解工程问题的技巧。 工程问题的基本概念 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式：工作总量＝工作效率工作时间， 工作效率＝工作总量工作时间， 工作时间＝工作总量工作效率； 【温故知新】 基本数量关系 1、一项工程，甲独做需要28天，乙独做需要21天；甲、乙合作需要____天。 2、一项工程，甲单独做需要30天，甲、乙合作需要12天，如果乙单独做需要______天。 【答案】1、12 2、20 例题1：一项工程，甲队独做要10天完成，乙队独做要15天完成。 (l)甲乙合作，几天完成？ (2)甲乙合作，几天完成全工程的? 83 学科网（北京）股份有限公司 气 (3) 甲先独做4天，剩下的由乙来做，还需几天？ (4) 甲乙合作若干天后，乙因事请假，甲又独做了4天完成，问甲乙合作了几天？ 【答案】(1) 6天 (2) 4天 (3) 天 (4) 3.6天 举一反三1: 修一段公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，丙队单独修需要15天。如果甲、乙两队合作完成需要多少天？如果3队合作完成，需要多少天？ 【答案】甲乙合作12天，三队合作需要天。 “组合法”解工程问题 例题2：一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？ 【答案】已知甲、乙两队的工作效率和是，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑。可以求出甲队2天的工作量所以甲队工作效率： ，乙队独坐需：（天） 举一反三2: 1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成．师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着 做1天，共完成任务的。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？ 学科网（北京）股份有限公司 2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。如果这项工程由甲队独做2天，再 由乙队独做3天，能完成全部工程的。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 【答案】1、 （天） 2、“这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天”可以转化成“这项工程由甲、乙队合 做2天后，再由乙队独做1天” 乙效：，甲效：， 甲独做需要：（天） 乙独做需要：（天） 例3，一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满？ 【答案】先开乙管6小时，甲丙同时开2小时看成：甲乙合开2小时，乙丙合开2小时，乙单独再开2小时。则乙单独需要时间：（小时） 举一反三3： 1、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 2、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？ 【答案】1、将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成 “甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。同理，运用”组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几： 丙每小时完成这项工程的几分之几： 甲、丙合做需完成的时间为：（小时） 2、（天） 例4:师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒弟每小时加 86 工自己任务的。师、徒同时开始加工，师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？ 【答案】（小时） 举一反三4： 1、 有两个同样的仓库A和B，搬运—个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？ 2、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的,乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？ 【答案】1、（小时）， 甲帮助乙：（小时） 甲帮助丙：8-6=2（小时） 2、解法一：个 解法二：个 小结: 学科网（北京）股份有限公司 【巩固练习】 一、选择． l、三个人加工3个零件要3分钟，他们加工100个零件要（ ）分钟。 A、1 B、3 C、100 D、900 2、修一条水渠，计划每天修80米，20天可以完成，如果要提前4天完成，那么每天要 比计划多修（ ）米。 A、20 B、60 C、64 D、100 二、解决问题． l、一项工程，甲独做需要15天完成，乙独做需要10天完成，两人合做几天可完成这项工程的？ 2、单独完成一项工程，甲队要24天，乙队要30天。现在甲乙两队合作4天后，丙队参加进来，又经过7天完成全部工程。如果一开始三队就一起工作，多少天可以完成全部的工程？ 3、有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天。现让三个队合修，但中间甲队撤离到另外工地，结果一共用了6天把这条公路修完。当甲队撤出后，乙、丙两队又共修了几天才完成？ 100 4、有A、B两个同样的仓库。搬运一个仓库里的货物，甲需耍10小时，乙需耍12小时，丙需要15小时。甲丙在A仓库，乙在B仓库同时搬运．中途丙又转向帮助乙搬运．最后．同时搬完两个仓库里的货物。丙帮甲搬了几小时？ 5、灌满一个水池的水，如果同时打开号阀门15小时可以灌满；如果同时开放号阀门，10小时可以灌满；如果同时开放号阀门，12小时可以灌满；如果同时开放号阀门，8小时可以灌满。问：同时开放这五个阀门几小时可以灌满这个水池？ ※6、一项工程，由甲先做a小时后甲、乙二人合作，完成时甲做了这项工程的；如果由乙先做a小时后甲、乙二人合作，完成时甲能做这项工程的，这项工程由甲独做需20小时完成，由甲、乙二人同时开工合作需几小时完成？ 【答案】一、选择 1、C 2、A 学科网（北京）股份有限公司 二、解决问题 1、（天） 90 109 学科网（北京）股份有限公司 2、丙的效率:（天）。 3、 （天）。 4、（小时）；（小时） 5、++=； ++=； ++=； ++=； 由此知：3(++++）＝小时 6、甲做a小时，乙做a小时看成甲乙合作。于是合作时： 甲完成了，乙完成了，甲乙的效率比为3:2. 乙的效率:，甲乙同时开工需要用时；（小时） 第15讲 工程问题（二） 【学习目标】 1、 掌握周期工程问题的特征 周期工程 周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案。 【温故知新】 例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 【答案】把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 需循环的次数为：（次） 7个循环后剩下的工作量是： 余下的工作量还需甲做的时间为：（小时） 完成任务共用的时间为：（小时） 答：完成任务时需共用小时。 举一反三l: 1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？ 2、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的共要多少时间？ 【答案】1、（1)需循环的次数 (2) 3个循环后剩下的工作量 (3) 最后由乙做的时间 小时 (4) 需要的总时间 小时 2、(1)需循环的次数 (2) 3个循环后剩下的工作量 (3) 最后由乙做的时间 小时 (4) 需要的总时间 小时 例题2：一项工程，甲、乙合作天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？ 【答案】由题意可以推出“甲先＂的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先“还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙 甲 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。 甲每天能做这项工程的 甲单独做完成的时间（天） 答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。 举一反三2: 1、一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？ 2、一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要 多天才能完成．这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？ 【答案】1、提示：甲的效率是乙的2倍 天 2、 提示：乙的效率是甲的 天 例3:打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作l小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作l小时，乙工作2小时 如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？ 【答案】根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。 (l)每循环一次，他们共完成全部工程的 (2) 总工作量里包含几个9/20: (3) 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的 (4) 由于，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为 (5) 打印这部稿件共需的时间为：（小时） 答打印这部稿件共需小时。 举一反三3: 1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满：单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？ 2、一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？ 【答案】1、提示：把6分钟看作一个循环 (1) 每循环一次的工作量 (2) 总工作量里面有几个 (3) 3个循环后剩下的工作量 (4) 一共需要的时间分钟 2、提示：把6分钟看作一个循环 1个循环的工作量 总工作量里面有几个 3个循环后剩下的工作量 一共需要的时间 小时 说明：2个循环后，是由甲接若干2小时，所以直接用 小结: 【巩固练习】 I、一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成，现在先由甲队施工一天，然后由乙队接替甲队施工一天，第三天再由甲队接替乙队施工一天，如此交替，最后乙队结束施工，那么共需____天完成任务。 2、一件工作，甲每天做8小时，30天完成，乙每天做10小时22天就能完成。甲每天做6天要休息1天，乙每做5天要休息1天。现在两队合作，每天都做8小时，13天后，由甲单独做，每天6小时，那么完成这项工作共用了_____天。 3、完成某项工程，甲单独做需要18小时，乙单独做需要24小时，丙单独做需要30小时，现在甲乙丙按如下顺序工作：甲、乙、丙；甲、乙、丙；甲、乙、丙 ……每人工作一小时换班，直到工程完工，问：当工程完工作时，甲、乙、丙各干了多少小时？ 【答案】1.（天） 2.13天中，甲工作12天，乙工作11天： （天） 3． （小时） 甲工作时间为：7+1=8小时， 乙的工作时间为：（小时） 丙的工作时间为：7小时。 第16讲 工程问题（三） 【学习目标】 I、掌握工程问题的特殊方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等． 2、工程问题与实际生活的运用． 特殊工程问题 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 【温故知新】 方程法／假设法 例题l:一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天；若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？ 【答案】方法一： 解；设甲做了天，则乙做了(10-)天。 方法二：假设这10天全是乙做，则可完成全部工程的， 比实际情况多做了，因为甲做一天会比乙做一天 少完成，因此，甲做了（天）。 举一反三1: 1、一项工程，甲队独做要10天完成，乙队独做要15天完成，甲独做一段时间后有事请假，剩下的由乙接着完成。结果一起用了13天完成工程，甲乙各做了多少天？ 2、一段路，甲独修要10天完成，乙独修要15天完成。甲乙商量好要合伙修好这条路。但中途乙有事离开了一段时间，这样用了8天才修完，乙中途离开了几天？ 【答案】1、乙：9天 甲4天 2、解：设甲乙合做了天，则甲单独做了（8-)天。 =3 乙离开：8-3=5（天） 工程与比 例2：一项工程，甲做4天后，然后与乙合作5天，这样刚好完成了全部工程的。已知甲乙工作效率比是2:3。如这项工程由乙单独做，需要多少天才完成？ 【答案】甲乙工作效率比为2:3，则时间比为3:`2。所以甲做9天相当于乙做（天），乙单独做需要：（天） 举一反三2: 一条路乙工程队先修2天，再与甲工程队合修3天共完成了全工程的。甲乙效率比是5:4,如果这项工程让甲单独做要几天完成？ 【答案】甲乙效率比是5:4，则时间比为4:5。 乙工作2+3=5天，甲需要4天，（天） 转化法 例题3:一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？ 【答案】丙休息2天，乙就要多做4天，也就是说丙的工作效率是乙的2倍。丙休息2天＝甲、乙两人合作1天，也就是说甲、乙合作效率是丙的2倍。甲、乙、丙三人合作斋要13天完成可以转化为： 丙做132+13=39天 乙：392=78（天） 甲： （天） 举一反三3： 1、一项工程甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？ 2、抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 【答案】1、方法一：甲乙完成相同的工作量所需时间比是3:4,所以“甲独做6天可以完成”可转化为 “乙独做天可以完成”，所以乙效是。 方法二：甲乙的工作效率比为4:3，所以乙效为。 所以乙还需（天） 2、由：甲＝乙+丙，丙＝（甲+乙），得：丙＝2乙。 甲的效率：。乙的效率：，乙一个人单独完成需要（天） 16 16 2+1 24 24 综合法 例4，甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？ 【答案】解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 (1)甲、乙同时做的工作量为 (2)乙单独做的工作量为 (3)乙的工作效率为 (4) 甲的工作效率为 (5) 甲单独做需要的天数为（天） 解法二：实际上甲工作了7天，乙工作了10天；甲少工作8-7=1（天），乙多工作了10-8=2 （天）。甲乙效率比是2:1．甲的效率：。 解法三：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了(10-8)=2天。由此可知， 甲3天的工作量相当于这批零件的 （天）或 （天） 答：甲单独做需要12天完成。 举一反三4： l、甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因病请假5天，因此共用15天才 完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？ 2、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 【答案】1、甲12天+乙12天＝甲10天+乙15天，甲与乙的效率比是3:2。 把全部工程转化成甲去做，需要（天） 2、甲先做6小时+乙接着做12小时＝甲先做8小时+乙接着做6小时也就是说甲做2小时的工作量＝乙做6小时的工作量。 所以甲的工作效率是乙的3倍。 乙还需：3X3+12=21（小时） 小结： 【巩固练习】 1、一项工程，若甲、乙两人合作，6天完成;甲单独工作时，甲完成与乙完成所 用时间相等？单独做时甲、乙各需要几天完成？ 2、单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲乙合做2天后，剩下的由乙独做，那么刚好在规定的时间内完成。甲乙合做需要多少天完成？ 3、某人从甲地到乙地，步行20分钟，再骑车15分钟可以到达；先骑车17分钟，再步行14分钟也可以到达。他从甲地到乙地全程步行要______分钟。 4、某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果由甲乙两人合作，需要48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要多少天？ 5、小明拿了—些钱去买水果，若用全部的钱买苹果，可以买30千克，若买梨能买15千克，现在他买了苹果、香蕉和梨各5千克，正好用去总钱数的，剩下的钱都买香蕉，还能买多少千克？ 104 103 学科网（北京）股份有限公司 【答案】1、甲乙的效率和是，甲乙的效率比是：2:3 甲的效率为，乙的效率是 单独完成甲需要18天，乙需要12天。 2、甲的2天工作量等于乙的3天的工作量，所以甲乙的工作时间比是2:3．甲比规定时间少2天，乙比规定时间多3天，则甲乙时间差是5天，这5天就是乙比甲多做的1份。甲的时间：今52-10（天）；乙的时间：53=15（天）； 合作的时间：（天） 3、65分钟 4、甲63天+乙28天＝甲48天+乙48天，甲3天＝乙4天。 甲先做42天，剩下的由乙来做还需要：（天） 5、每千克香蕉占总钱数的几分之几：, 剩下的钱都买香蕉；还可以买： (千克） ． 第17讲 极值问题 【学习目标】 1、掌握极值问题常用的结论。 2、把复杂问题转化成极值问题解决。 人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、等问题。这类求最大值、最小值的问题，亦称极值问题，是一类重要的典型问题。 一、和（积）一定 1、两个数的和一定，那么当这两个数的差愈小时，它们的积就愈大。 2、三个数a、b、c，如果a+b+c是定值时，只有当a=b=c时，abc的积才能最大，三个数越接近，积越大。 3、两个数的积是定值时，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。在周长相等的封闭平而图形中，圆的面积最大。 反之在面积相等的封闭图形中，圆的周长最小。 在棱长和一定的长方体中，长、宽、高都相等的长方体（即正方体）的体积最大。在所有表面积是定值的几何体中，球体的体积最大。 ※在中学阶段我们又称为均值定理。 二、特定排名的极值问题 该类问题一般表述为：若干个整数量的总和为定值，且各不相同（有时还会强调占各不为0或最大不能超过多少），求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小值。 三、保证（抽屉原理） 题目中会有“保证”这样的字眼，解此类问题利用“最不利原则（最不凑巧原则）”，假设问题的解决过程是最不希望看到的，在这种情况下求解。 四、多集合的极值问题 该类问题一般表述为：在一个量的总和（即全集）里，包含有多种悄况（即多个子集），求这多种情况同时发生的量至少为多少。 【温故知新】 例题1：把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【答案】 举一反三1： 1、把16拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 2、把50拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 【答案】1、 2、 例题2:一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 【答案】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是916-65=481分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。 举一反三2: 1、—个三位数除以43,商a余数是b (a、b都是整数），求a+b的最大值。 2、如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD,交点为E。已知DE=2CE, BE=3AE。在AB 和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？ 108 107 学科网（北京）股份有限公司 3、一次考试淌分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？ 4、5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻的人，最重可能重 （ ）。 A、80斤 B、82斤 C、84斤 D、86斤 【答案】1、b=42, a=22, a+b=64 2、取BCD三个点。 3、96分 4、B，体重最轻的人，是第5名，设为n。考虑其最重的情况，则其他人尽可能轻。第四名的体重大于第五名n,但又要尽可能轻且不等于n,故第四名是n+l。同理，第三名至第一名依次大于排名靠后的人且取尽可能小的值，故依次为n+2, n+3, n+4。 五个人尽可能轻的情况下，总重量为n+n+l+n+2+n+3+n+4=5n+10。 实际总重量423应大于等于尽可能轻的总重量｝故;解得,所以n 最大为82斤，答案选B。 例3：社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？ 【答案】每种活动不喜欢的人数分别为46-35=11人，16人，8人，6人。故四种活动都喜欢的反面一一“四种活动不都喜欢”—即只要有一种活动不喜欢的人数最多为 11+16+8+6=41人，所以四种活动都喜欢的人数最少为46-41=5人． 举一反三3： 100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加？（ ） A、22 B、21 C、24 D、23 【答案】第四多的活动人数设为n,当n最大时，第5-7名尽可能小的值为0, 1, 2（题目中没有说每项活动一定有人参加）？第1一3名尽可能小的值为n+3, n+2 ， n+1,故 n+3+n+2+n+l+n+2+1+0=4n+9为尽可能小的总人数，应实际总人数100,故4n+9100, n22.75，所以最多有22人参加，答案选A。 小结： 【巩固练习】 1、用1, 2, 3, 4, 5五个数码组成一个三位数和一个两位数，这个三位数和这个两位数相乘，乘积最大是________。 2、将右图沿线折成一个立方体，它的共顶点的三个面的数字之积的最大值是＿＿＿＿。 3、有4个相同的骰子摆放如下，底面的总数之和最大是________。 4、3个自然数（可以重复）之和为8,则这3个自然数之积的最大值等于_______。 5、有120名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权，若前100票中，甲得了45票，乙得了35票，甲要肯定当选至少还需要_________张选票。 6、一次考试共有5道题。考试结果统计如下：做对第一题的占总人数的80%,做对第二题的占总人数的95％，做对第三题的占总人数的85%,做对第四道题的占总人数的79%, 做对第五道题的占总人数的74%。如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 7、将两个不同的自然数中较大的数换成它们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到两个数相同为止。如对20和26进行这样的操作，过程如下： (20, 26)(20, 6) (14, 6) (8, 6) (2, 6) （2, 4) (2, 2) (1) 对45和80进行上述的操作。 (2) 对两个四位数进行上述操作，最后的得到的相同数是17,求这两个四位数的和最大值。， 马 ， f 8、将3~10这八个数分别填入下图中，使两个大圆上的五个数的和相等，并且最小。 ※9、用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？ 【答案】 1、22412 2、72 3、20 4、18 5、6 6、设总人数为100人，则做对的总题数为:80+95+85+79+74=413题，错题数为500-413=87题，为求出最低及格率，则令错三题的人尽量多：873=29人，由此即可解得及格率为：（100-29) 100=71%。 设总人数为100人，则错题总数为： 5100-(80+95+85+79+74) =500-413=87（道） 所以错3道题的人最多有：873=29（人），故及格率最少是：（100-29) 100=71%, 答：这次考试的及格率至少是71%。 7、(1)略 (2) 9979+9996=19975 8、 9、因为0不能在个位和首位，所以必须在3位数或更大的数中，且算在3位数中，这个数末尾必须为奇数，若它占用两个奇数，而4、6、8也必须以奇数为它们的末尾，且不能为5,假设它们都是两位数，这样可使总和最小，2可以单独存在，则5必须是含0的三位数的首位，每个数末尾的数的各种组合不影响总的和。这样得出一种组合：503, 2, 41, 67, 89，和是702。 若含0三位数首位是6,加上含4和含8的数肯定和大于702。所以要优化，含0三位数首位要小于5,假设含0三位数占用一个奇数，这只能是401和409,因为每个数末尾的数的各种组合不影响总的和，不妨设是401,这样8、6形成两个两位数，其他的全是个位数即可，组合是如1, 89, 67, 2, 5, 3,和是567。 若含0三位数占用两个非5奇数，则因为奇数不够用，必须组成大于460的质数，这样和显然大于567。 显然结果不能再优化。和最小是567。 第18讲 复习与测试 【学习目标】 综合复习计算、图形、数论、行程、工程。 一、计算 1、 2、 【答案】l、10000 2、 二、图形 1、如图所示，AE=ED, DC =BD，=21平方厘米。求阴影部分的面积。 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 三、数论 一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10这个数是多少？ 【答案】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8=13-l0=3,可知这个数加上3后就能同时被11和13整除，而［11,13]=143,这个数又要在200以内，所以这个数是143-3=140。 四、行程工程 1、在3点与4点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？ 2、一项工程甲队独做l2天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等，求两段一共用了几天？ 【答案】1、3点分 2、(1)乙队每天完成这项工程的 (2)两段时间一共是 （天） 答：两段时间一共是6天。 l14 学科网（北京）股份有限公司 期末测试 姓名 _______ 成绩_______ （本试暮总分：A卷100分＋B卷20分，作答时间：50分钟） A卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、( ):35＝＝7：5=( )%=（ ）（填小数）。 2、一件商品，对原价打八折和打六折的销售价相差14元，那么这件商品的原价是（ ） 3、单独完成同一件工作，甲要4天，乙要5天，甲的工作效率是乙的（ ）。 4、A=23a, B=2a7，已知A、B的最大公约数是6，那么a= ( ) ; A和B的最小公倍数是 （ ）。 5、用小棒摆正方形，如图摆6个正方形用小棒（ ）根，摆n个正方形用小棒（ ） 根。 6、幼儿园的阿姨把一箱饼干发给一个幼儿园大、小班的小朋友，平均每个小朋友发到12块，若只给小班的小朋友，每人可分到20块，若只分给大班的小朋友，每人可以分到（ ）块。 7、所得的结果末尾有（ ）个零。 8、从时钟指向4点开始，再经过（ ）分钟，时针正好与分针重合。 9、有一整数，除300, 262, 205得到的余数相同，这个整数是（ ）。 10、如图的直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成两部分,阴影部分的面积是（ ）。（单位：厘米） 二、选择题（将正确答案的选项填在括号内）（每小题2分，共10分） l、小明要到一栋楼的第15层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要（ ）秒。 A、200 B、250 C、300 D、350 2、3x-7错写成3 (x-7)、结果比原来（ .A、多43 B、少3 C、少14 3、下面的数中，与3最接近的数是（ A、2.96 B、3. 4 C、 4、数一数，在右图中共有（ ）个三角形。 A、11 B、12 C、13 D、14 118 117 学科网（北京）股份有限公司 5、一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27, 则满足条件的两位数共有（ ）。 A、3 B、4, C、5 D、6 三、判断题（在括号内，对的打“√”错的打“”，每题1分，共5分） (1) a比b多30%，那么b比a少30%。 （ ） (2) 甲乙两杯水的含糖率为25%和30%，甲杯水中的糖比乙杯水中的糖少。（ ） (3)某校有731名学生，至少有3名学生在同一天过生日。 （ ） (4) 把一个正方体一刀切成完全相同的两部分，切面一定是正方形。（ ） (5) 一个正方形的边长减少10%，那么面积减少19%。 (. ) 四、计算（共30分） 1、解方程。(3分） 2、列式计算。(3分） 一个数的比3.5的1.6倍少2.6，求这个数是多少。 3、能简算的要简算（共24分） (1) （2） (3) (4) （5） (6) 五、解决问题（第1题每小题5分，其余每小题6分，共35分） 1、如图，一个正方形的边长增加它的后，得到的新正方形的周长是48厘米，原正方形 的边长是多少厘米？ 2、一项工程，甲、乙合作要12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这项工作的。若这件工作由乙独做完需要几天？ 3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，为加强公民节水意识，合理利用水资源，某市规定的居民用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6立方米时（含6立方米），水费按 “基本单价”收费；超过6立方米时，超出的部分按“超出单价”收费。下面是张老师家 3月份、4月份的用水量及水费情况．如果他家5月份用水量是8立方米，请你算算孙老师家5月份的水费是多少元？ 4、一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成，已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息。如果两人合作，从2014年12月1日（周一）开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？ 5、哥哥和弟弟一共有900元钱，哥哥将比自己的20%多20元的钱给了弟弟，这时哥哥的钱比弟弟少。哥哥和弟弟原来各有多少元钱？ 6、李老师对他的一位学生说：“当我像你现在的年龄时，你才三岁。当你长到我现在的年龄时，我将是45岁”请你回答：张老师与这位学生现在各是多少岁？ 120 119 学科网（北京）股份有限公司 B卷（共20分） 每题5分，共20分 1、在北京召开的国际数学大会，大会的会徽如图所示，它是由四个相同的直角三角形 拼成的，直角三角形的两条直角边分别是2分米和3分米，大正方形的面积是______平方分米。 2、如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，AC和BE相交于F,如果三角形 EFC的面积是1平方厘米，则平行四边形ABCD的面积是________平方厘米。 3、修一条公路，单独修甲队20天修完，乙队30天修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完．乙队休息了_______天。 4、小明从家到学校上课，开始时以每分钟50米的速度走了2分钟，这时他想：若根据以往上学的经验，再按这个速度走下去，肯定要迟到8分钟．千是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟。小明家到学校的路程是＿＿米。 【答案】A卷 一、填空题（每小题2分，共20分） l、49, 25, 140, 1.4 2、70 3、125% 4、3,126 5、19; 3n+l 6、30 7、4030 8、 9、19 10、24cm 二、选择题（将正确答案的选项填在括号内）（每小题2分，共10分） B、C、A、C、D 三、判断题（在括号内，对的打“√”，错的打“”，每题1分，共5分） √ 四、计算（共30分） 1、 2、 3、能简算的要简算。（共24分） (1) 1098 (2) 98.1 (3) 0 学科网（北京）股份有限公司 (4) (5) (6)612.5 五、解决问题（第1题每小题5分，其余每小题6分，共35分） 1、 2、甲：（天） 乙：（天） 3、基本单价（不超过6立方米时）：（元／立方米） 超过单价：（元／立方米） 5月份的水费：（元） 4、甲一周工作6天，乙一周工作5天；甲乙每周完成：。 当工作到第五周最后一个工作日时刚好完成，此时周六乙休息。日期是12月27日。 5、此时哥哥与弟弟的价钱比是, 原来哥哥的钱：（元），弟弟：（元）。 6、张老师31岁，学生17岁。 B卷 1、13 2、12 3、2 4、4000 122 $$