精品解析：江苏省扬州市江都区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测“嫦娥六号”探测器零件的质量 B. 检测一批灯的使用寿命 C. 检测广陵、邗江、江都三区的空气质量 D. 检测某品牌新能源汽车续航能力 3. “成语”是中华文化瑰宝，是中华文化的微缩景观，下列成语中描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 百步穿杨 D. 空中楼阁 4. 若分式的值为0，则的值为（　　） A. 1 B. C. 0 D. 5. 顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若＝3﹣a，则a的取值范围是（　　） A. a＜3 B. a≤3 C. a＞3 D. a≥3 8. 如图，反比例函数（，）的图像经过的对角线交点D，边在y轴上，且于点C，若的面积为3，则k的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 10. 在一个不透明盒子里装有若干个颜色不同的黑、白两种球，这些球除颜色外，其余均相同，小云做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，对试验结果进行统计后，小云得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 400 600 800 1000 1200 摸到白球的次数m 26 49 106 153 196 249 300 摸到白球的频率 0.260 0.245 0.265 0.255 0.245 0.249 0.250 请估计摸到白球的概率将会接近________；（精确到0.01） 11. 比较大小： ____．（填“、、或”） 12. 某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的总时间情况的调查，该调查中的样本容量是_________． 13. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 15. 若分式方程＝2＋的解为正数，则a的取值范围是__________． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的周长为_______． 17. 如图，在中，，，，点E、F分别在边、边上且，，连接，若M、N分别是、中点，延长与的延长线交于点G，则长为________． 18. 已知如图，，，过点C作轴，垂足为B（D在C上方），平分平分，直线交射线于点F．若反比例函数（）的图像经过点F，则k的值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或解方程： （1） （2） 20. 某学校计划在七年级开设“折扇”“刺绣”“剪纸”“陶艺”四门校本课程，要求人人参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出）请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为_____名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）“剪纸”课程所对应的扇形圆心角的度数为______°； （3）若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“陶艺”课程的学生有多少名？ 21. 先化简，然后请你在中选择一个你喜欢的整数代入求值． 22. 如图，平面直角坐标系中，、、． （1）以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形； （2）直接写出两点的坐标为______，______； （3）为轴上一点，当最大时，的坐标是_______． 23. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？ 24. 如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 25. 如图，边长为1的正方形与直角边为1的等腰拼成如图所示的四边形，P、Q分别为边上的两个动点（不与C、D、E重合），且，的延长线分别交于点M、F． （1）求证：①；②； （2）设，试问：是否存在这样t的值，使得和互相垂直平分，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 ，． （1）求两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P为y轴上的一个动点，Q为双曲线上一个动点，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出P点坐标． 27. 阅读材料：若a、b都是非负实数，则．当且仅当a＝b时，“＝”成立． 证明：∵ ，∴． ∴．当且仅当a＝b时，“＝”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：．当且仅当，即时，“＝”成立． ∴当时，函数取得最小值，． 问题解决： （1）若，只有当______时，有最小值_______； （2）求函数的最小值； （3）已知：如图， ，，P为双曲线上任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形形状． 28. 如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． （1）将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． （2）若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：观察图形可得，A、C、D选项中的图形都不能找到一个点，使图形旋转之后与原图形重合，只有B选项中的图形能找到一个点，使图形旋转之后与原图形重合， 故B选项中的图形是中心对称图形， 故选：B． 2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测“嫦娥六号”探测器零件的质量 B. 检测一批灯的使用寿命 C. 检测广陵、邗江、江都三区的空气质量 D. 检测某品牌新能源汽车续航能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】A. 检测“嫦娥六号”探测器零件的质量，采用全面调查； B. 检测一批灯的使用寿命，采用抽样调查； C. 检测广陵、邗江、江都三区的空气质量，采用抽样调查； D. 检测某品牌新能源汽车续航能力，采用抽样调查； 故选A． 3. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观，下列成语中描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 百步穿杨 D. 空中楼阁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】A. “守株待兔”是随机事件，不合题意； B. “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意； C. “百步穿杨”，是随机事件，不合题意； D. “空中楼阁”是不可能事件，符合题意； 故选：D． 4. 若分式的值为0，则的值为（　　） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得：， 故选：B． 5. 顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断． 【详解】∵新四边形正方形，且正方形各边相等，各角都是， 又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半， ∴原四边形的对角线应相等且垂直， ∴满足条件的原四边形可能是正方形， 故选D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，正方形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 6. 若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．由反比例函数，得到，反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上，， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 若＝3﹣a，则a的取值范围是（　　） A. a＜3 B. a≤3 C. a＞3 D. a≥3 【答案】B 【解析】 【分析】先把被开方式用公式变成平方式，利用二次根式的性质化简变，利用绝对值性质来确定符号求解即可． 【详解】解：∵，， ∴3﹣a≥0， ∴a≤3， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，会用二次根式的性质，化去根号变成绝对值，利用绝对值等式确定符号是解题关键． 8. 如图，反比例函数（，）的图像经过的对角线交点D，边在y轴上，且于点C，若的面积为3，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、平行四边形的性质等知识点，设点D的坐标为，从而可得 ，先根据三角形的面积公式可得的面积为，再根据平行四边形的性质可得的面积为，由此即可得出答案． 【详解】由函数图象可知，， 设点D的坐标为，则， ， ， 的面积为， 又平行四边形的面积是3， 的面积为平行四边形的面积的，即为， 则， 解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得，解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 在一个不透明的盒子里装有若干个颜色不同的黑、白两种球，这些球除颜色外，其余均相同，小云做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，对试验结果进行统计后，小云得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 400 600 800 1000 1200 摸到白球的次数m 26 49 106 153 196 249 300 摸到白球的频率 0.260 0.245 0.265 0.255 0.245 0.249 0.250 请估计摸到白球的概率将会接近________；（精确到0.01） 【答案】0.25 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.25左右，由此可估计摸到白球的概率为0.25． 【详解】解：随着的值越来越大，摸到白球的频率将会接近0.25， 故答案为：0.25 11. 比较大小： ____．（填“、、或”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较无理数大小，将两数平方后比较大小，可得答案． 【详解】解：，，， ． 故答案为：． 12. 某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的总时间情况的调查，该调查中的样本容量是_________． 【答案】50 【解析】 【分析】根据样本容量的意义：一个样本包括的个体数量叫做样本容量，即可解答． 【详解】解：从中随机抽取了50名学生进行调查， ∴样本容量是50， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了样本容量，熟练掌握相应数学概念是解题的关键． 13. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线所在的象限，得到，求解即可．掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ∴； 故答案为：． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 【答案】22.5° 【解析】 【详解】四边形ABCD是矩形， AC=BD，OA=OC，OB=OD， OA=OB═OC， ∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∠EAC=2∠CAD， ∠EAO=∠AOE， AE⊥BD， ∠AEO=90°， ∠AOE=45°， ∠OAB=∠OBA=67.5°， 即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°． 15. 若分式方程＝2＋的解为正数，则a的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：＝2＋， 方程两边都乘以 得：， 解得：， ∵分式方程＝2＋的解为正数， ∴且 ， 解得：且， 故填：且． 【点睛】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，能根据题意求出关于a的不等式是解此题的关键． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，再由直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，再利用菱形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质得出是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，点E、F分别在边、边上且，，连接，若M、N分别是、的中点，延长与的延长线交于点G，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过E作手H，根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到由 N是的中点，得出，进而证明，根据全等三角形的性质得到，求得，根据含30度角的直角三角形的性质得到，， 根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论， 【详解】解：连接，过E作手H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴, ∴，， ∴， ∴， 又∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 18. 已知如图，，，过点C作轴，垂足为B（D在C上方），平分平分，直线交射线于点F．若反比例函数（）的图像经过点F，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】在轴上取，连接，证得；求出直线的解析式，可进一步设出直线的解析式；由题意可推出是等腰直角三角形，根据即可求解． 【详解】解：在轴上取，连接，如图所示： 由题意得： ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为：， 将点代入可得： ∴ ∴直线的解析式为：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 设，则 即：， 解得：（舍） ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的求解，涉及了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、一次函数的解析式求解、勾股定理等知识点，综合性较强，正确作出辅助线，证三角形全等是解题关键. 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1）2； （2）无解． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及分式方程的求解，注意计算的准确性即可． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求解； （2）方程两边同时乘以即可求解； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程无解 20. 某学校计划在七年级开设“折扇”“刺绣”“剪纸”“陶艺”四门校本课程，要求人人参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出）请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为_____名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）“剪纸”课程所对应的扇形圆心角的度数为______°； （3）若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“陶艺”课程学生有多少名？ 【答案】（1）50；剪纸20，图形见解析； （2）144； （3）50人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体， 解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答. （1）根据折扇的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用总人数减去其它课程的人数，求出剪纸的人数，从而补全统计图； （2）用选择“剪纸”课程的学生数除以总人数，再乘以即可得出答案； （3）用七年级的总人数乘以选择“陶艺”课程的学生所占的百分比即可. 【小问1详解】 参加问卷调查的学生人数为： （名）, 剪纸的人数有：(名),补全统计图如下： 故答案为: ； 【小问2详解】 “剪纸”课程所对应的扇形圆心角的度数是 故答案为：； 【小问3详解】 根据题意得： （名）, 答：估计选择“陶艺”课程的学生有名. 21. 先化简，然后请你在中选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将除法变为乘法进行计算，再进行通分，利用同分母分式的减法法则计算，最后选一个合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， 当时，原式. 22. 如图，平面直角坐标系中，、、． （1）以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形； （2）直接写出两点的坐标为______，______； （3）为轴上一点，当最大时，的坐标是_______． 【答案】（1）见解析； （2）、； （3）． 【解析】 【分析】本题考查作图一旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）分别作出的对应点即可； （2）依据图象直接写出的坐标即可； （3）直线交轴于，点即为所求作，求出直线的解析式，可得结论. 【小问1详解】 如图, 即为所求作. 【小问2详解】 观察图象可知， 的坐标为的坐标为( 故答案为： 【小问3详解】 直线交轴于，点即为所求作. 设直线的解析式为代入得： 解得： ∴直线的解析式为 当时, 故答案为： 23. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？ 【答案】30元，40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程，注意分式方程要检验．根据用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可． 【详解】解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元， 依题意得：. 方程两边乘得 . 解得：， 检验：当时，. 所以，原分式方程的解为. ∴ 答：每盒豆沙粽的进价为30元，每盒肉粽的进价为40元． 24. 如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，得到，再利用得到，则四边形是平行四边形．再利用得到，即可证明四边形是矩形． （2）证明，，，利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中， 25. 如图，边长为1的正方形与直角边为1的等腰拼成如图所示的四边形，P、Q分别为边上的两个动点（不与C、D、E重合），且，的延长线分别交于点M、F． （1）求证：①；②； （2）设，试问：是否存在这样t的值，使得和互相垂直平分，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）①证明即可；②全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得到，即可； （2）连接，，当和互相垂直平分时，四边形为菱形，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵正方形， ∴， ∵等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 存在：连接，， 当和互相垂直平分时，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即：， ∴； 当时：则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，满足题意． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 ，． （1）求两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P为y轴上的一个动点，Q为双曲线上一个动点，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出P点坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）分三种情况讨论：若以为边，若以为边，若以为边，即可求解． 【小问1详解】 解：把点 代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得： ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，， ∴关于x的不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， 若以为边， ，解得：， 此时点P的坐标为； 若以为边， ，解得：， 此时点P的坐标为； 若以为边， ，解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或 27. 阅读材料：若a、b都是非负实数，则．当且仅当a＝b时，“＝”成立． 证明：∵ ，∴． ∴．当且仅当a＝b时，“＝”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：．当且仅当，即时，“＝”成立． ∴当时，函数取得最小值，． 问题解决： （1）若，只有当______时，有最小值_______； （2）求函数的最小值； （3）已知：如图， ，，P为双曲线上任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形形状． 【答案】（1）3；1； （2）4； （3）最小值24，菱形． 【解析】 【分析】本题考查材料理解和反比例函数综合题． （1）根据题目中的例子可以求得所求式子的最小值； （2）现将所求式子变形，然后根据题目中的例子即可求得所求式子的最小值． （3）设P坐标为：，由，可得，利用上述方法求解可得面积的最小值，再求得点的坐标，即可证明该四边形为菱形． 【小问1详解】 解：∵ 当且仅当即时，“”成立， ∴， ∴当，有最小值； 【小问2详解】 原式= = ， 当且仅当时，“”成立， ∴当时，原代数式得最小值为4． 【小问3详解】 解：设P的坐标为：， ∵ ，， 则，，， 则 ∴当且仅当，即时，四边形面积有最小值，最小值是24； ∴点P的坐标为：， ∴，D， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 28. 如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． （1）将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求长． （2）若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 【答案】（1）①；②画图见解析；4或24； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据矩形和翻折的性质可知，，利用勾股定理可求得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；②当中时，根据矩形和翻折的性质可得到点、、三点共线，由即可得到；当中时，可推出点、、三点共线，利用勾股定理可得，从而得到，再利用勾股定理即可解得； （2）在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，根据翻折的性质和矩形的性质，可证明四边形是平行四边形，从而推出，再通过证明，，得到，最后利用，可求得最小值，即得到最小值． 【小问1详解】 解：①四边形是矩形 ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 解得： 的长为； ②当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 根据翻折的性质，， ， 点、、三点共线 当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 又 点、、三点共线 根据翻折的性质，， 解得： 的长为4或24； 【小问2详解】 解：在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，如图所示， 根据翻折的性质，，，，， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 又， ， ，即 又， ， ，即 当、、三点共线时，最短，即 的最小值为 的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，两点之间距离最短，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$