精品解析：浙江省艮山中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

2024高一下灵山中学期中考 高中数学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知球的体积为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则（ ） A. B. C D. 4. 平面向量与的夹角为，，则等于（ ） A B. C. 4 D. 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 如图梯形是一平面图形的斜二侧直观图，若，，，，则四边形的面积是 A. 10 B. 5 C. D. 7. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交 C. 在平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行 D. 既不平行又不相交的两条直线是异面直线 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知平面向量，，则与共线 B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2 C. 已知复数满足，则 D. 已知复数，满足，则 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，若多空，第-空3分，第二空2分，共15分. 12. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则_________，_________． 13. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，M为边BC的中点，则______，AM的最大值为______. 14. 如图，在四棱锥中，，，过AB的平面分别交PD，PC于点E，F，且，记四棱锥的体积为，几何体ABCDEF的体积为，则___________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数何值时，与垂直? 16. 如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是的中点，，垂足分别是，，，若将三角形绕所在直线旋转180度，求阴影部分形成的几何体的体积和表面积. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答后面的问题：①；②；③的面积（注意：若多选作答，只按首选给分）求： （1）求C； （2）若的面积为，求a，b． 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． （1）当时，求的值； （2）在（1）条件下，若，求； （3）求的最小值. 19. 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点. （1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值； （2）设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024高一下灵山中学期中考 高中数学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由虚部定义可得结果. 【详解】由虚部定义可知：的虚部为. 故选：A. 2. 已知球的体积为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求得体积和表面积公式求解. 【详解】根据题意，，所以， 则该球的表面积为. 故选：C 3. 如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】由题意知， 所以 ． 故选：D． 4. 平面向量与的夹角为，，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平方，再代入条件求解即可 【详解】 故选：A. 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果. 【详解】在中，， ，即， 则为直角三角形， 故选：B. 6. 如图梯形是一平面图形的斜二侧直观图，若，，，，则四边形的面积是 A. 10 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法的原则，可得四边形中，，，且，， 所以四边形的面积是. 故选：B. 7. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】四面体的所有棱长都为的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解. 【详解】因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球， 故正方体的棱长为，外接球半径为， 所以. 故选：C. 8. 在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出最小值，然后利用三角形面积公式计算. 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：， 两边平方得：，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 则的最小值为，此时C最大，且， 则的面积， 故选:A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.关键在于熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求得cosC关于的表达式，并使用基本不等式求得cosC的最小值. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交 C. 在平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行 D. 既不平行又不相交的两条直线是异面直线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间线面关系逐项判断. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 如上图，，则直线可确定平面， 且，则，由于， 所以也与直线相交，设交点为，则，所以，B正确； 在平面内有两条相交直线和平面平行，那么这两个平面平行，C错误； 空间两直线有三种位置关系：相交、平行或异面，D正确. 故选：BD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知平面向量，，则与共线 B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2 C. 已知复数满足，则 D. 已知复数，满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可判断A；利用投影向量的定义可判断B；设，根据复数模的概念以及共轭复数的定义、复数的乘法运算计算可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，，因为，则与不共线，故选项A错误； 对于B，因为在上的投影向量为，所以，又因为，所以，故选项B正确； 对于C，设，因为，所以，即，所以，故选项C正确； 对于D，令，，则，但，故选项D错误， 故选：BC. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，若多空，第-空3分，第二空2分，共15分. 12. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据是实系数一元二次方程的根，将代入方程，利用复数相等求解. 【详解】因为是实系数一元二次方程的根， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：； 13. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，M为边BC的中点，则______，AM的最大值为______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知，可求；再利用余弦定理得，结合平面向量，两边平方可求AM最大值. 【详解】根据余弦定理，得， 化简得， 由又余弦定理，，则， 且，即，当且仅当时等号成立， 因为为边中点，所以， 两边平方得， 即， 所以AM的最大值为. 故答案为：， 14. 如图，在四棱锥中，，，过AB的平面分别交PD，PC于点E，F，且，记四棱锥的体积为，几何体ABCDEF的体积为，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由线面平行的判定可得面PCD，根据线面平行的性质有，进而可得，即有、、，连接BE，BD，根据相关棱锥的体积比与线段比关系求. 【详解】由，面，面，故面PCD， 又面面，面，则， 所以，则，又，可得， 如图，连接BE，BD，三棱锥P-ABE和三棱锥P-BEF的底面共面，即高相等， 所以它们体积的比值等于底面积的比值， 综上，，故. 三棱锥B-PAE和三棱锥B-DAE的底面共面，它们体积的比值等于底面积的比值， 由，则，故，所以. 三棱锥P-ABD和三棱锥P-BCD的底面共面，它们体积的比值等于底面积的比值， 所以，则， 设四棱锥P-ABCD的体积为V，则. 由，，则. 由，则， 所以，，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求值. （2）当实数为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为、、三点共线， 所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 又与垂直， ，解得． 16. 如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是的中点，，垂足分别是，，，若将三角形绕所在直线旋转180度，求阴影部分形成的几何体的体积和表面积. 【答案】体积为；表面积为. 【解析】 【分析】由题意知，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为，旋转体的体积为圆锥的体积减去圆柱的体积，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面､侧面，圆柱的侧面，结合题中的数据，代入圆柱和圆锥的侧面积公式和底面积公式及体积公式进行求解即可. 【详解】解：由圆锥与圆柱的定义可知， 将绕旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱， 且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为， 阴影部分形成的几何体的体积： 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面， ，，， 故所求几何体的表面积为：． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答后面的问题：①；②；③的面积（注意：若多选作答，只按首选给分）求： （1）求C； （2）若的面积为，求a，b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①：根据余弦定理求解即可；选条件②：根据正弦定理结合三角恒等变化化简即可；选条件③：根据三角形面积公式与余弦定理化简求解即可 （2）根面积公式与余弦定理可得，再根据余弦定理可得从而求解即可 【小问1详解】 选条件①：由已知可得 ∴ ∴由余弦定理可得 ∵∴ 选条件②：由已知及正弦定理可得 ∴ ∴ ∵，∴， ∴. 选条件③：由已知可得 ∵，∴ ∴， ∴由余弦定理可得， ∴； 【小问2详解】 由，用余弦定理得到，， 的面积为，则， 则，联立，解得. 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上一个动点． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）求的最小值. 【答案】（1）2 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，当时，利用向量数量积的坐标运算，求得. （2）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值. （3）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值. 【小问1详解】 以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 当时，,，， 因此， 【小问2详解】 设，即点P坐标为， 则，， ， 当时，，即， 小问3详解】 设、，又， 则， ，当时取到等号， 因此的最小值为3. 19. 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点. （1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值； （2）设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？ 【答案】（1）； （2）的长度至少分米. 【解析】 【分析】（1）根据题意在中运用余弦定理以及基本不等式求解即可； （2）过作，垂足为，设，则，由余弦定理求出，进而求出，得出，并求其最大值，再由恒等式得出的最小值即可. 【小问1详解】 设两颗粒子在点相撞，在中， 由余弦定理得， 即， ， ， 即，， 当且仅当时，等号成立， 所以两颗粒子运动路程和的最大值为； 【小问2详解】 过作，垂足为， 设，则， 由余弦定理可得， ，，， ， 当即时，即取得最大值， 易知恒成立， ， 的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $