2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（一）

2024年广西初中学业水平考试数学模拟试卷(一) (考试时间：120分钟，满分：120分) 姓名________　　班级________　　分数________ 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进 30 t 粮食记为“＋30”，则“－30”表示（A） A．运出30 t粮食 B．亏损30 t粮食 C．卖掉30 t粮食 D．吃掉30 t粮食 2．我国建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A） 3．若分式 有意义，则x应满足的条件是（C） A．x≠1 B．x≥－2 C．x≠－2 D．x＜－2 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（C） A．56° B．33° C．28° D．23° 5．不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为（B） 6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x(单位：环)及方差s2(单位：环2)如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 9 8 9 9 s2 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（D） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2的度数为（A） A．15° B．25° C．35° D．45° 8．下列计算中正确的是（B） A．a3＋a4＝a7 B．a4÷a3＝a C．3a4·2a3＝6a12 D．(a－2)2＝a2－4 9．将抛物线y＝－(x＋1)2－1平移后得到抛物线y＝－x2，下列平移方法中正确的是（C） A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 10．如图是一扇圆弧形门，这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（B） A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m 11．2021年至2023年某地区居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程中正确的是（A） A．5.76(1＋x)2＝6.58 B．5.76(1＋x2)＝6.58 C．5.76(1＋2x)＝6.58 D．5.76x2＝6.58 12．如图，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点C在反比例函数y＝－(x＞0)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为C，交y轴于点A，则△ABC的面积为（B） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 13．化简：＝12. 14．分解因式：5x4－5x2＝5x2(x＋1)(x－1)． 15．一次函数y＝(2a＋3)x＋2的值随x值的增大而减小，则常数a的取值范围是a＜－. 16．从－，－1，1，2，5中任取一数作为a，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上的概率为. 17．人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为2 m，当α＝50° 时，人字梯顶端离地面的高度AD是1.5m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，则EF的最小值为2. 三、解答题(本大题共8小题，共72分) 19．(6分)计算：(－3)×(－4)＋42÷(9－13)． 解：原式＝12＋16÷(－4)＝12－4＝8. 20．(6分)解分式方程：－1＝. 解：方程两边同乘3(x－1)，去分母，得3x－3(x－1)＝2x， 去括号，得3x－3x＋3＝2x，移项，合并同类项，得2x＝3， 系数化为1，得x＝1.5，检验：当x＝1.5时，x－1≠0， ∴原分式方程的解为x＝1.5. 21．(10分)如图，BD为▱ABCD的对角线． (1)作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接BE，DF.求证：四边形BEDF为菱形． (1)解：直线EF即为所求(作图如图所示)． (2)证明：∵EF垂直平分BD， ∴DO＝BO，BE＝DE，BF＝DF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO， ∴△DEO≌△BFO(AAS)， ∴DE＝BF，∴BE＝DE＝DF＝BF， ∴四边形BEDF是菱形． 22．(10分)某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析．下面给出了部分信息： 甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2， 3．1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 a 3.2 0.29 乙品种 3.16 3.3 b 0.15 乙品种：如图所示． 根据所给信息，完成下列问题： (1)填空：a＝3.2，b＝3.5； (2)若乙品种种植300棵，估计产量不低于3.16 kg的有180棵； (3)请从某一个方面简要说明哪个品种更好．　 解：(3)∵两个品种的平均数均为3.16，甲品种的方差为0.29，而乙品种为0.15， ∴乙品种更好，产量稳定． 23．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC. (1)求证：AC平分∠BAE； (2)若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径． (1)证明：连接OC，则OC⊥DC. ∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠ACO. ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE. (2)解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵AE⊥DC，由(1)得∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE. ∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝.∴＝＝，∴BC＝. ∴AB＝，∴OA＝.即⊙O的半径为 . 24．(10分)有这样一道作业题： 如图，有一块三角形余料ABC，边长BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．则加工成的正方形零件的边长是48mm. (1)如果所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两边长又分别为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 解：(1)设PQ＝x mm，则PN＝2x mm.∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC，∴＝，代入x，解得x＝，则2x＝. 故这个矩形零件的两边长分别为 mm， mm. (2)设PQ＝y mm，由△APN∽△ABC，得＝，即＝， ∴PN＝(80－y)，∴S矩形PQMN＝y·(80－y)＝－(y－40)2＋2 400. ∵－＜0，∴当y＝40时，S矩形PQMN取最大值，则PN＝60 mm. ∴达到这个最大值的矩形零件的两条边长分别为60 mm，40 mm. 25．(10分)【综合与实践】【知识背景】杠杆原理在生活中被广泛应用(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂)，小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”(如图①)． 【动手操作】制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度1 cm)，确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2 cm 的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5 kg 的金属物体作为秤砣． (1)【规律发现】如图①中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为x kg，OB的长为y cm.则y关于x的函数解析式为y＝4x，若0＜y＜48，则x的取值范围为0＜x＜12； 　 ① ② ③ (2)【拓展探究】调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图②.设重物的质量为x kg，OB的长为y cm，则y关于x的函数解析式为y＝，请完成下表，并在如图③所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … 4 2 1 0.5 0.25 … 解：(2)作函数图象如图③所示． 26．(10分)【探究与证明】 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：∠EMB(答案不唯一)； (2)【迁移探究】 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1) 中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. Ⅰ) 如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝15°，∠CBQ＝15°； Ⅱ)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 在(2) 的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝ 1 cm时，直接写出AP的长． 解：(2)Ⅱ)∠MBQ＝∠CBQ， 理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°. 由折叠的性质得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°.∴Rt△BCQ≌△Rt△BMQ(HL)， ∴∠MBQ＝∠CBQ. (3)AP的长为 cm或 cm. 2024版 掌控中考 数学 广西专版 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（一） (考试时间：120分钟，满分：120分) 姓名________　　班级________　　分数________ 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进 30 t 粮食记为“＋30”，则“－30”表示（ ） A．运出30 t粮食 B．亏损30 t粮食 C．卖掉30 t粮食 D．吃掉30 t粮食 2．我国建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 3．若分式 有意义，则x应满足的条件是（ ） A．x≠1 B．x≥－2 C．x≠－2 D．x＜－2 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ） A．56° B．33° C．28° D．23° 5．不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为（ ） 6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x(单位：环)及方差s2(单位：环2)如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 9 8 9 9 s2 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ） A．15° B．25° C．35° D．45° 8．下列计算中正确的是（ ） A．a3＋a4＝a7 B．a4÷a3＝a C．3a4·2a3＝6a12 D．(a－2)2＝a2－4 9．将抛物线y＝－(x＋1)2－1平移后得到抛物线y＝－x2，下列平移方法中正确的是（ ） A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 10．如图是一扇圆弧形门，这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ） A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m 11．2021年至2023年某地区居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程中正确的是（ ） A．5.76(1＋x)2＝6.58 B．5.76(1＋x2)＝6.58 C．5.76(1＋2x)＝6.58 D．5.76x2＝6.58 12．如图，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点C在反比例函数y＝－(x＞0)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为C，交y轴于点A，则△ABC的面积为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 13．化简：＝ . 14．分解因式：5x4－5x2＝ ． 15．一次函数y＝(2a＋3)x＋2的值随x值的增大而减小，则常数a的取值范围是 . 16．从－，－1，1，2，5中任取一数作为a，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上的概率为 . 17．人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为2 m，当α＝50° 时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，则EF的最小值为 . 三、解答题(本大题共8小题，共72分) 19．(6分)计算：(－3)×(－4)＋42÷(9－13)． 20．(6分)解分式方程：－1＝. 21．(10分)如图，BD为▱ABCD的对角线． (1)作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接BE，DF.求证：四边形BEDF为菱形． 22．(10分)某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析．下面给出了部分信息： 甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2， 3．1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 a 3.2 0.29 乙品种 3.16 3.3 b 0.15 乙品种：如图所示． 根据所给信息，完成下列问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)若乙品种种植300棵，估计产量不低于3.16 kg的有 棵； (3)请从某一个方面简要说明哪个品种更好．　 23．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC. (1)求证：AC平分∠BAE； (2)若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径． 24．(10分)有这样一道作业题： 如图，有一块三角形余料ABC，边长BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．则加工成的正方形零件的边长 是 mm. (1)如果所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两边长又分别为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 25．(10分)【综合与实践】【知识背景】杠杆原理在生活中被广泛应用(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂)，小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”(如图①)． 【动手操作】制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度1 cm)，确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2 cm 的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5 kg 的金属物体作为秤砣． (1)【规律发现】如图①中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为x kg，OB的长为y cm.则y关于x的函数解析式为 ，若0＜y＜48，则x的取值范围为 ； 　 ① ② ③ (2)【拓展探究】调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图②.设重物的质量为x kg，OB的长为y cm，则y关于x的函数解析式 为 ，请完成下表，并在如图③所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … … 26．(10分)【探究与证明】 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角： ； (2)【迁移探究】 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1) 中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. Ⅰ) 如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝ ，∠CBQ＝ ； Ⅱ)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 在(2) 的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝ 1 cm时，直接写出AP的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$