精品解析：河南省平顶山市汝州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024学年下学期期末质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 3. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是（ ） A. 摸到红球属于必然事件的布袋是④ B. 摸到红球属于不可能事件的布袋是① C. 摸到红球属于随机事件的布袋是②和③ D. 布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于问题：如图，已知，只用直尺和圆规判断是否为直角？小意同学的方法如图：在、上分别取、，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若测量得，则．则小意同学判断的依据是( ) A. 垂线段最短 B. 等腰三角形“三线合一” C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 7. 下面的三个问题中都有两个变量： ①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水； ②某手机话费收费标准为：每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，一个月应缴费用为y元； ③某弹簧的自然长度是，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加，弹簧长度y增加 其中，变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 0.610 0465 0.550 0492 0.506 0.498 0.501 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（　　） A. 0.46 B. 0.50 C. 0.55 D. 0.61 9. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. “明天的降水概率为80%”的含义有以下三种不同的解释： ① 明天80%的地区会下雨； ② 80%的人认为明天会下雨； ③ 明天下雨的可能性比较大； 你认为其中合理的解释是_________．(写出序号即可) 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是____． 14. 在和中，，，，若边和上的高都是3，，则______． 15. 如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为______． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 周末，小刚家开车到郊外春游，出发前汽车油箱内有一定量油．在行驶过程中，油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系如表，请根据表格回答下列问题： 行驶时间t/小时 0 1 2 3 4 5 油箱剩余油量y/升 （1）上述两个变量之间关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）汽车行驶前油箱里有______升汽油，汽车每小时耗油______升； （3）请写出y与t的关系式； （4）当汽车行驶小时，油箱中还剩余多少升油？ 17. 如图是某汽车标志图案的简化图形，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件解决问题． 如图，， （1）与平行吗？为什么？ （2）若，求的度数 18. 如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10个扇形，分别标有数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． （1）上述游戏规则公平吗？请你说说理由； （2）为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 19. 作图题： （1）如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）如图2，已知： ①请在图2的方框中，用尺规作一个，使（保留作图痕迹，不写作法）． ②根据①中的作图，判断的理由是______． 20. 如图，在中，，．使用尺规进如下作图：在和上分别截取，使，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边交于点D． （1）根据作图可知是的一条______线； （2）过点D作于点E．若，，求的长． 21. 发现规律：已知两个正整数，那么这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数． 特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和为： 即结果是偶数，所以“发现规律”中的结论在这个特例中成立 一般探究：假设这两个正整数为m，n，请说明“发现规律”中的结论正确 22. 如图，在中，高，交于点F，且， （1）判断，的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的长． 23. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以．请根据小明的方法思考，然后直接写出可能的长（写一个即可） 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，从而得到更多的相等的线段和相等的角． 【感悟方法】：如图2，是的中线，交于E，交于F，．请判断与的关系，并说明理由． 【深入探究】：如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年下学期期末质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 3. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 4. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是（ ） A. 摸到红球属于必然事件的布袋是④ B. 摸到红球属于不可能事件的布袋是① C. 摸到红球属于随机事件的布袋是②和③ D. 布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类、判断事件发生的可能性的大小，根据事件的分类办法分析即可得解. 【详解】解：A．摸到红球属于必然事件的布袋是④，故A正确，不符合题意； B．摸到红球属于不可能事件的布袋是①，故B正确，不符合题意； C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③，故C正确，不符合题意； D．布袋②中有1个红球，2个白球，布袋③中有2个红球，1个白球，因此布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性小，故D不正确，符合题意． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方和多项式除以单项式等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 对于问题：如图，已知，只用直尺和圆规判断是否为直角？小意同学的方法如图：在、上分别取、，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若测量得，则．则小意同学判断的依据是( ) A. 垂线段最短 B. 等腰三角形“三线合一” C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质等知识，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ， (等腰三角形的三线合一)， ． 故选：B． 7. 下面的三个问题中都有两个变量： ①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水； ②某手机话费收费标准为：每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，一个月应缴费用为y元； ③某弹簧的自然长度是，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加，弹簧长度y增加 其中，变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到问题的相应解决． 根据图象可知：两个变量之间的关系是，其中，①根据小时后，这个水池的蓄水量等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可；②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可；③根据弹簧长度等于自然长度加上伸长长度判断即可． 【详解】解：根据图象可知：两个变量之间的关系是，其中。 ①由题意得，，故变量与变量之间关系可以用如图所示的图象表示； ②由题意得，，故变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示； ③由题意得，，故变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示； 所以变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示的是①②③． 故选：D． 8. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（　　） A. 0.46 B. 0.50 C. 0.55 D. 0.61 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近， 则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50． 故选：B． 9. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图形的概念进行设计即可． 【详解】解：如图所示： 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念． 10. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查零指数幂公式和负整数指数幂公式等知识，运用相应的运算法则和公式计算即可． 【详解】解：原式， 故答案是：3． 12. “明天的降水概率为80%”的含义有以下三种不同的解释： ① 明天80%的地区会下雨； ② 80%的人认为明天会下雨； ③ 明天下雨的可能性比较大； 你认为其中合理的解释是_________．(写出序号即可) 【答案】③ 【解析】 【分析】利用概率的意义即可得出答案. 【详解】“明天的降水概率为80%”的含义是明天下雨的可能性比较大，故答案为③. 【点睛】本题考查了正确理解概率的意义. 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2度数是____． 【答案】40°． 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求出∠AED＝115°，再根据平行线的性质求出∠AED＝∠2+∠ACB，即可求出∠2的度数． 【详解】∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°， ∴∠AED＝145°﹣30°＝115°， ∵a∥b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝115°﹣75°＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是熟练运用相关性质准确进行推理计算. 14. 在和中，，，，若边和上的高都是3，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，可得，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵边和上的高都是3， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点D的同侧，在点的同侧时，如图， 同理可得：，； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， ∵，， ∴， ∴，即； 当在点D的同侧，在点的两侧时，如图， 同理可得：； 综上，的值为或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 周末，小刚家开车到郊外春游，出发前汽车油箱内有一定量的油．在行驶过程中，油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系如表，请根据表格回答下列问题： 行驶时间t/小时 0 1 2 3 4 5 油箱剩余油量y/升 （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）汽车行驶前油箱里有______升汽油，汽车每小时耗油______升； （3）请写出y与t的关系式； （4）当汽车行驶小时，油箱中还剩余多少升油？ 【答案】（1）行驶时间t是自变量，油箱剩余油量y是因变量 （2），5 （3） （4）升 【解析】 【分析】本题考查了自变量，因变量，函数表达式，函数值等知识．熟练掌握自变量，因变量，函数表达式，函数值是解题的关键． （1）由题意知，行驶时间t是自变量，油箱剩余油量y是因变量； （2）由表可知，汽车行驶前油箱里有升汽油，汽车每小时耗油5升； （3）由题意知，； （4）当时，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，行驶时间t是自变量，油箱剩余油量y是因变量； 【小问2详解】 解：由表可知，汽车行驶前油箱里有升汽油，汽车每小时耗油5升； 故答案为：，5； 小问3详解】 解：由题意知，； 【小问4详解】 解：当时，， ∴当汽车行驶小时，油箱中还剩余升油． 17. 如图是某汽车标志图案的简化图形，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件解决问题． 如图，， （1）与平行吗？为什么？ （2）若，求的度数 【答案】（1）平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判断与性质，灵活运用平行线的判断与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质证明，从而得到，继而得解； （2）利用平行线的性质得到，继而得解． 【小问1详解】 解：平行，理由如下： 因为 所以 因为 所以 所以 【小问2详解】 解：因为 所以 所以 18. 如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10个扇形，分别标有数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． （1）上述游戏规则公平吗？请你说说理由； （2）为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 【答案】（1）上述游戏规则不公平，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，游戏的公平性，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）分别求出指针所指的数字大于6的概率和指针所指的数字小于6的概率，即可得出答案； （2）设计游戏规则，使小明和小杰获胜的概率相等，即可得出答案 【小问1详解】 解：上述游戏规则不公平．理由如下： 因为转盘被等分成10个扇形，其中指针所指的数字大于6有4种可能，指针所指的数字小于6有5种可能 所以，P（小明获胜）， P（小杰获胜） 因为 所以上述游戏规则不公平； 【小问2详解】 解：规则：如果指针所指的数字不小于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜．（答案不唯一） 依据：转盘被等分成10个扇形，其中指针所指的数字不小于6有5种可能，指针所指的数字小于6有5种可能， 所以，P（小明获胜）， P（小杰获胜）， 因为， 所以上述游戏规则公平． 19. 作图题： （1）如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）如图2，已知： ①请在图2的方框中，用尺规作一个，使（保留作图痕迹，不写作法）． ②根据①中的作图，判断的理由是______． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作线段，全等三角形的判定等知识．熟练掌握作轴对称图形，作线段，全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）①作射线，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，以为圆心，的长为半径画弧，交以为圆心，的长为半径所画的弧于点，连接即可；②由作图可知，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所作； 【小问2详解】 ①解：如图2，即为所作； （2）由作图可知，， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在中，，．使用尺规进如下作图：在和上分别截取，使，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边交于点D． （1）根据作图可知是的一条______线； （2）过点D作于点E．若，，求的长． 【答案】（1）角平分 （2）3 【解析】 【分析】本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理； （1）根据尺规作图可知题中为尺规作角平分线即可求解； （2）根据角平分线性质定理可得，证明 ，得出，结合，即可得出，即可求解； 【小问1详解】 解：根据作图可得是的角平分线，即为的一条角平分线． 【小问2详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 发现规律：已知两个正整数，那么这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数． 特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和为： 即结果是偶数，所以“发现规律”中的结论在这个特例中成立 一般探究：假设这两个正整数为m，n，请说明“发现规律”中的结论正确 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式．利用完全平方公式可变形为，即可． 【详解】解： 因为m，n为正整数， 所以是正整数， 所以是偶数， 所以“发现规律”中的结论正确． 22. 如图，在中，高，交于点F，且， （1）判断，的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）运用同角的余角相等证明，从而运用证明，从而得解； （2）先证明得出，继而求出，再由得出，从而得解． 【小问1详解】 ，理由如下： 因为，， 所以， 所以，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以； 小问2详解】 因为平分， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 所以， 由（1）知， 所以． 23. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以．请根据小明的方法思考，然后直接写出可能的长（写一个即可） 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，从而得到更多的相等的线段和相等的角． 【感悟方法】：如图2，是的中线，交于E，交于F，．请判断与的关系，并说明理由． 【深入探究】：如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则的面积为______． 【答案】背景问题：3（填5也对）；感悟方法：，理由见解析；深入探究： 【解析】 【分析】本题考查了三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 背景问题：证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的三边关系即可求解； 感悟方法：延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出；即可证明； 深入探究：延长到，使得，连接．只要证明，可得，由，推出，可得，即，进而解答即可； 【详解】解：背景问题：在和中， ， ， ∴， ∵，， ， 即， ∵边的长度为奇数， ∴为3或5， 故答案为：3； 感悟方法：延长到，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 深入探究：延长到，使得，连接、． ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$