2024年广东省惠州市知行学校九年级中考第三次模拟考试数学试卷

2024春惠州市知行学校初三年级 第三次模拟考试数学答案 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.的绝对值是（　C　） A. 5 B. C. D. 3.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(   A    ) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ B ） A. B. C. D. 4.诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ D ） A. 学 B. 以 C. 广 D. 才 5.一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ B ） A. 9和7.5 B. 6和8 C. 6和7 D. 6和7.5第6题图 6.如图，已知直线，，若，则的度数为（ D ） A. B. C. D. 7.已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ C ） A. B. C. D. 8.将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为(  C  ) A. B. C. D. 第9题图 9. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点D 作，垂足为F，则的长为（ D ） A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（　A　） 第10题图 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）第15题图 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是 ； 12. 因式分解： ； 13.对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为 m<1 ； 14. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为 ； 15. 如右图，CD是的直径，上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且，则的度数为 ；第16题图 16.如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 （k≠0，x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，D为AB的中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积是6，则k的值是 12 . 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （4分）（1）计算：； 解：（1） ； 18. （4分）解不等式组并在数轴上表示它们的解集． 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 在数轴上表示它们的解集如下： ∴不等式组的解集为． 19.（7分） 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为点． （1）实践与操作：过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：猜想与之间的数量关系，并说明理由． 解：如图． ． 理由：，， ， ． 四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． ． 四边形是平行四边形． 20.(7分)如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF． （1）求证：△COE≌△AOF； （2）当∠DEA＝2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB， ∴∠OCE＝∠OAF， ∵点O为对角线AC的中点， ∴CO＝AO， 在△COE和△AOF中， ， ∴△COE≌△AOF（ASA）； （2）四边形AECF为菱形，理由： ∵△COE≌△AOF， ∴CE＝AF， 又∵CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CD∥AB， ∴∠DEA＝∠BAE， 又∵∠DEA＝2∠CAB， ∴∠BAE＝2∠CAB， 即∠BAC＝∠EAC， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠CAE＝∠ACE， ∴AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 21.8分为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图1，图，请根据统计图中的信息回答下列问题： 本次调查的学生人数是______人； 图2中是______度，并将图1条形统计图补充完整； 老师想从学习效果较好的4位同学分别记为A、B、C、D，其中A为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率. 【解析】解：本次调查的学生人数是人， 故答案为：40； ， 自主学习的时间是小时的人数有：人， 故答案为：54； 补全统计图如下： 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中同时选中A的有4种， 同时选中A，B的概率是 22.（9分）某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资；这20辆货车恰好装完这批物资． 车型 出发地 A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 600 700 小货车 300 500 （1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ （2）已知这两种货车的运费如表： 要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．设从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为w元，求总运费w的最小值． 【解答】解：（1）设大货车有a辆、小货车有b辆， 根据题意得：， 解得：， 答：大货车有8辆，小货车有12辆； （2）设从A地出发的大货车有n辆，则从A地出发的小货车有（12﹣n）辆， 从B地出发的大货车有（8﹣n）辆，从B地出发的小货车有[12﹣（12﹣n）]＝n辆， 由题意得：w＝600n+300（12﹣n）+700（8﹣n）+500n＝100n+9200， ∴w随n的增大而增大， ∵从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），大货车一共8辆， ∴5≤n≤8， ∴当n＝5时，w有最小值，此时w＝100×5+9200＝9700， 答：总运费最小值为9700元． 23.（9分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口，途经某海域处时，港口的工作人员监测到点在南偏东方向上，另一港口的工作人员监测到点在正西方向上．已知港口在港口的北偏西方向，且、两地相距120海里． （1）求出此时点到港口的距离（计算结果保留根号）； （2）若该渔船从处沿方向向港口驶去，当到达点时，测得港口在的南偏东的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）． （1）此时点到港口的距离为海里；（2）此时该渔船的航行距离为海里． 【解析】（1）如图所示：延长，过点作延长线与点， 由题意可得：，海里， 则海里， ，即，（海里）， 即此时点到港口的距离为海里； （2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图： 由（1）得：CD=60海里，AC=40海里， ∵A'E∥CD，∴∠AA'E=∠ACD=30°，∴∠BA′A=45°， ∵∠BA'E=75°，∴∠ABA'=15°，∴∠2=15°=∠ABA'，即A′B平分∠CBA，∴A'E=A'N， 设AA′=x，则AE=AA'，A'N=A′E=AE=x， ∵∠1=60°-30°=30°，A'N⊥BC，∴A'C=2A'N=x， ∵A'C+AA'=AC，∴x+x=40，解得：x=60-20， ∴AA'=（60-20）海里， 答：此时渔船的航行距离为（60-20）海里． 24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是A（1，0），B（﹣4，0），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（1，0），B（﹣4，0）， ∴，解得：． ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2； （2）点D不在抛物线的对称轴上， 理由：如图1中， ∵A（1，0），B（4，0），C（0，2） ∵OA＝1，OC＝2，OB＝4 ∴， 又∵∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB． ∴∠ACO＝∠CBO． ∴∠ACO+∠BCO＝∠OBC+∠BCO＝90°， ∴AC⊥BC， ∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上， 延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1． 又∵∠ACO＝∠DCE， ∴△ACO≌△DCE（AAS）． ∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣． 故点D不在抛物线的对称轴上； （3）设过点B、C的直线表达式为y＝px+q， ∵C（0，2），B（﹣4，0）， ∴，解得：． ∴过点B、C的直线解析式为y＝x+2． 过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，）， 过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2， 设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），则点N坐标为（m，m+2）， ∴PN＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝， ∵PN∥AM， ∴△AQM∽△PQN． ∴． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即． ∴＝＝＝． ∵﹣＜0， ∴当m＝﹣2时，的最大值为，此时点P坐标为（﹣2，3）． 25．（12分）如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE． （1）当时， ①若＝130°，求∠C的度数； ②求证AB＝AP； （2）当AB＝15，BC＝20时 ①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长； ②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，求CP的取值范围． 【解答】（1）①解：连接BE，如图1所示： ∵BP是直径， ∴∠BEC＝90°， ∵＝130°， ∴＝50°， ∵＝， ∴＝100°， ∴∠CBE＝50°， ∴∠C＝40°； ②证明：∵＝， ∴∠CBP＝∠EBP， ∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°， ∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE， ∴∠APB＝∠ABP， ∴AP＝AB； （2）解：①由AB＝15，BC＝20， 由勾股定理得：AC＝＝＝25， ∵AB•BC＝AC•BE， 即×15×20＝×25×BE ∴BE＝12， 连接DP，如图1﹣1所示： ∵BP是直径， ∴∠PDB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴PD∥AB， ∴△DCP∽△BCA， ∴＝， ∴CP＝＝＝CD， △BDE是等腰三角形，分三种情况： 当BD＝BE时，BD＝BE＝12， ∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8， ∴CP＝CD＝×8＝10； 当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线， ∴CD＝BC＝10， ∴CP＝CD＝×10＝； 当DE＝BE时，作EH⊥BC，则H是BD中点，EH∥AB，如图1﹣2所示： AE＝＝＝9， ∴CE＝AC﹣AE＝25﹣9＝16，CH＝BC﹣BH＝20﹣BH， ∵EH∥AB， ∴＝， 即＝， 解得：BH＝， ∴BD＝2BH＝， ∴CD＝BC﹣BD＝20﹣＝， ∴CP＝CD＝×＝7； 综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7； ②当点Q落在∠CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示： 连接OD、OQ、OE、QE、BE， 由对称的性质得：DE垂直平分OQ， ∴OD＝QD，OE＝QE， ∵OD＝OE， ∴OD＝OE＝QD＝QE， ∴四边形ODQE是菱形， ∴PQ∥OE， ∵PB为直径， ∴∠PDB＝90°， ∴PD⊥BC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴PD∥AB， ∴OE∥AB， ∵OB＝OP， ∴PE＝AE＝9， ∴PC＝AC﹣PE﹣AE＝25﹣9﹣9＝7； 当点Q落在∠CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示： 连接OD、OQ、OE、QD， 同理得：四边形ODQE是菱形， ∴OD∥QE， 连接DF， ∵∠DBA＝90°， ∴DF是直径， ∴D、O、F三点共线， ∴DF∥AQ， ∴∠OFB＝∠A， ∵OB＝OF， ∴∠OFB＝∠OBF＝∠A， ∴PA＝PB， ∵∠OBF+∠CBP＝∠A+∠C＝90°， ∴∠CBP＝∠C， ∴PB＝PC＝PA， ∴PC＝AC＝12.5， ∴7＜CP＜12.5， 故答案为：7＜CP＜12.5． 【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和菱形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024春惠州市知行学校初三年级中考 第三次模拟考试数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.的绝对值是（　　） A. 5 B. C. D. 2.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(      ) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4.诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 学 B. 以 C. 广 D. 才 5.一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 9和7.5 B. 6和8 C. 6和7 D. 6和7.5第6题图 6.如图，已知直线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7.已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A. B. C. D. 8.将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 第9题图 9. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点D作 ，垂足为F，则的长为（ ） A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（　　） 第10题图 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是 ； 12. 因式分解： ；第15题图 13.对于双曲线y= , 当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为 ； 14. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为 ； 15. 如图，CD是的直径，上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且，则的度数为 ； 16.如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 （k≠0，x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，D为AB的中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积是6，则k的值是 .第16题图 三、解答题（共8小题，共72分） 17.（4分）计算：； 18.（4分）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集． 19.（7分） 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为点E． （1）实践与操作：过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：猜想与之间的数量关系，并说明理由． 20.(7分)如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF． （1）求证：△COE≌△AOF； （2）当∠DEA＝2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 21.8分为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图1，图2)，请根据统计图中的信息回答下列问题： 本次调查的学生人数是______人； 图2中是______度，并将图1条形统计图补充完整； 老师想从学习效果较好的4位同学分别记为A、B、C、D，其中A为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率. 22.（9分）某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资；这20辆货车恰好装完这批物资． 车型 出发地 A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 600 700 小货车 300 500 （1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ （2）已知这两种货车的运费如上表：要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．设从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为w元，求总运费w的最小值． 23.（9分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里． （1）求出此时点到港口的距离（计算结果保留根号）； （2）若该渔船从处沿方向向港口驶去，当到达点时， 测得港口B在的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距 离（计算结果保留根号）． 24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是A（1，0），B（﹣4，0），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标． 25．（12分）如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE． （1）当时，①若＝130°，求∠C的度数；②求证AB＝AP； （2）当AB＝15，BC＝20时 ①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长； ②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，求CP的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$