安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中素质测试数学试题

马鞍山市第二中学2023一2024学年度 第二学期期中素质测试 高一 数学 试题 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知直线a,b和平面a,ada,b∥a,则“a∥b"是“a/∥a"的() A。充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图所示,梯形「BCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,「D=2BC=2, B=1,则平面图形ABCD的面积为() A.2 B.22 C.3 D.35 3,长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的 表面积是() A.20W2元 B.252x C.50z D.200x 4.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知 AB=BC=CD=2,AB⊥BC,AC⊥CD,若DB=2AB+HAC,则1+H=() A.、 B.② c.2+1 D.2-1 2 2 2 2 5.在 ABC中,若asin B=√5 bcosA,且sinC=2 sin AcosB,那么 ABC一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 高一数学试题第1页(共4页) 6.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上 下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分),现有一个如图所示的曲池, A4垂直于底面,AA=5,底面扇环所对的圆心角为产,弧AD的长度是弧BC长度的3倍, CD=2,则下列说法正确的是() A.曲池的表面积为10+7 B.曲池的体积为1 3 C.曲池的表面积为20+14元 D.曲池的体积为15元 7.已知 4BC的外接圆圆心为0,且OAOC+OAOB=O4+OB.0C,1 OCHAB1,则向 量AB在向量BC上的投影向量为() A.BC C.-18c D.5BC 4 4 8.已知 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,√6(sinA-sinC)=sinB, a2=5c2+2 ac cos B,且 ABC的面积为5,则 ABC的周长为() A.6+26 B.4+15 C.√6+4 D.3+25 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.复数a+bi与c+d五的积是纯虚数,则需满足下列哪些条件() A.ac=bd B.ac≠bd C.be=-ad D.bc≠-ad 10.在 4BC中,AB=2,AC=3,∠A=60 ,D是BC边上靠近B的三等分点,则下列说法正 确的是() A而-c号 B.Su2 C.AD= 3 D.C=而-@ 高一数学试题第2页(共4页) 11.己知圆O半径为2,弦4AB=2,点C为圆0上任意一点,则下列说法正确的是() 0 A.BA-BO=2 B.AB.AC的最大值为6 C.OC-4B-40e [0.4] D.满足AB.AC=0的点C只有一个 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a,6满足1a=16=2,(a,b)=60,则a-b=_ 13.设复数:,52满足=2,-52=V5+i,则片+上 14.已知A,B,C,D是表面积为20x的球体表面上四点,若AB=4,AC=2,BC=2√5, 且三棱锥A-BCD的体积为2√3,则线段CD长度的最大值为一, 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图,在直三棱柱ABC-4BC中,AB⊥BC, AB=BC=BB=2,M,N,P分别为AB,AC,BC的中点, (I)求证:MN∥平面BCCB: (2)求三棱锥B-PMN的体积. 16.(15分已知复数:1=m+(4-m2)i(meR),33=2cos0+(2+3sin0)i(a,0eR),并 且4=5 (1)若:为虚数,求m的取值范围: (2)求入的取值范围. 高一数学试题第3页(共4页) 17.(15分)已知a,b,c分别是 ABC三个内角A,B,C的对边,且√3sinA+acosC=b+c, (1)求A: (2)若BC=4,将射线BA和CA分别绕点B,C顺时针旋转15,30,旋转后相交于点D(如 图所示),且∠DBC=30,求AD 18.(17分)如图,在 ABC中,己知AB=2,AC=6, ∠BAC=60P,M是BC中点,N是AC上靠近A的三等分 点,AM,BN相交于点P (1)AP=mAB+nAC,求m+n的值: (2)求∠MPW的余弦值 19.(17分)已知: ①任何一个复数:=a+bi都可以表示成r(cos0+isin)的形式.其中r是复数:的模,0是 以x轴的非负半轴为始边,向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数:=a+bi的 辐角,r(cos0+isin)叫做复数:=a+i的三角形式. ②方程x=1(n为正整数)有n个不同的复数根: (l)求证:r(cos0+isin5(cos0,+isin0,)=5cos0+0)+isin(0+a,】 2设@=2+ 1, i,求a4: (3)试求出所有满足方程x”=1的复数x的值所组成的集合. 高一数学试题第4页(共4页) 马鞍山二中高一下学期期中检测 数学答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 2 3 4 5 6 8 答案 C C B D C C A 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD ABC AB 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.5 13.2514.32 11.【详解】A选项,圆0半径为2,弦AB=2,故 AB0为等边三角形, 取AB的中点D,连接OD,,则OD⊥AB, 由数量积公式及投影向量可得B4BO=BABD=2,A正确: B选项,过点O作OE平行于AB,交圆与点E, 过点E作EG⊥AB,交延长线于点G,连接EB, 则四边形OABE为菱形, 由投影向量可知,当点C与点E重合时,AB.AC取得最大值, 此时DG=AD+DG=1+2=3, 故AB.4C的最大值为4B4G=2 3=6,B正确: C选项,OC-AB-A0=OC+OM+BM, 因为四边形OABE为菱形,所以OA+BM=E,且E=2MA=25, 因为0C=2为定值, 故当0C与E平行且方向相同时,OC-4B-4O取得最大值,最大值为2+25, 当OC与平行且方向相反时,OC-B-A⊙取得最小值,最小值为25-2, G 故OC-AB-AO∈25-2,25+2,C错误: D选项,因为点C为圆O上任意一点,故当C,A重合时,ABAC=0, 又当AC⊥AB时,满足ABAC=0, 故满足ABAC=0的点C有2个,D错误 故选:AB 14.【详解】由球的表面积为20m,可得球的半径R=√5,AB=4,AC=2,BC=2√5, 六AB2=AC+BC2,∠ACB=T, > .s。e=2 25 2=23, 则a4BC外接圆的半径为2B=2 设D到平面c的距离为h,则x25=25, 解得h=3>√5,则点与平面ABC在球心的异侧. 设球心0到平面ABC的距离为d,则d=O0=√5-4=1, 设D在球的截面圆所在的平面为a,故球心到平面a的距离为2, 则截面圆的半径为√5-4=1 设D在平面ABC上的投影为E,当CE最长时CD最长, 则CE=2+1=3,故CD长度的最大值为√3+3=3互 故答案为:3√互 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) (1):直三棱柱ABC-AB,C中,M为AB的中点, 所以AW-48=B,且8MMB, 因为P,N分别BC,AC的中点, PNIAB.PN-748. ∴PN∥B,M,PN=BM, ∴.四边形BMNP为平行四边形,.MN/IBP, 又,MNc平面BCCB,BPc平面BCCB, 故MN11平面BCCB.5分 (2)因为直三棱柱ABC-AB,C,则平面ABC/1平面ABC, 因为Me平面AB,C,则点M到底面ABC的距离即为点B到底面ABC的距离, 又因为BB⊥底面ABC,则点B到底面ABC的距离即为BB长, 又因为N,P分别为AC,BC的中点,且AB⊥BC, 则mmma-k2 313分 16.(本小题满分15分) (1)m=2cos8e[-2,2小且m*士2m∈(-2,2)5分 (2)马= {4-m2=+36in0 m=2cos0 清去m可得2=4-4cos20-3sin0=4sim20-3sin0=4sin0-}-9 1610分 “-1ss血0s1,2e 1 ,7].15分 17.(本小题满分15分) (1)根据正弦定理,由√5csin4+acosC=b+c 5 sin CsinA+sin AcosC=sinB+sinC 3sin Csin A+sin AcosC=sin(a-A-C)+sinC 3sin Csin A+sin AcosC=sin(A+C)+sin C 3sin Csin A+sin AcosC=sin Acos C+cos Asin C+sin C 3sin Csin A=cos Asin C+sin C 因为Ce(0, ),所以sinC≠0, 所t以由5 sinCsinA=-osinC+sinC 5sinA=cosA+1 2sn4-g}1 sm4)1 62 因为Ae(0,,所以A-e5】 666 因此A-A= 66 36分 2)由D可知4-子由愿盒可知∠ABD-音∠4CD-名 6 而∠D8C-g所以∠ABC=∠4CB=g:-径∠BCD=径g 4 3412 12612 ∠BDC=-7尔。无, 6124 10分 BC AC 在 ABC中,由正弦定理可知: =4=4C=4C.46 3√2 3 22 在 DBC中,由正弦定理可知: BC=CD m sin 。4.CD-cD=22 6 22 在 DAC中,由余弦定理可知: AD=√AC2+CD2-2AC.CD cos.∠ACD= 2v6 3 15分 18.(本小题满分17分) (1)设AP=2AM,BP=2BN 则币==西+C,且币=丽+丽=丽+B丽=-丽+C 2 =1- 1 = 则52 2 -4 解得 ,故m+n= 2…8分 23 us. 4 (2)易知AM=B+}AC:N=-AB+}AC 2 则H+4C下:18丽H-丽+C2:m.丽=213分 所以cos∠AMPN=cos(aMBN=W.B丽.国 AM川8N13.17分 19.(本小题满分17分) (1)证明:r(cos8+isin5(cos8+isin,) =[cos cos,-sin,sin,+(cos sin,+sin,cos,)i] =rr[cos(0+)+isin(+.)] 5分 (2)依题意,0=-+5 22 2+isin =co 3 3 质以经马心0”w见im托一 3 3 3 322 10分 (3)i设x=cos0+isin0,则x=(cos0+isin0) =cos60+isin60=l, 因此sin60=0.cos60=l,60=2k,keZ,解得0=,keZ. 3 由终边相同的角的意义,取k=0,1,23,45,则对应的0依次为0,2年,元4,5红 33元33 因光对应的:做淡为时马宁片受; .17分