精品解析：安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控 高一年级数学试题卷 注意事项： 1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页. 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生、女生应分别抽取的人数为（ ） A. 75；75 B. 90；60 C. 60；90 D. 100；50 2. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题，真命题为（ ） A. 两两相交的三条直线确定一个平面 B. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 C. 若直线a，b与直线c所成角相等，则 D. 若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直 4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“x”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 7. 某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）.现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，则塔高约为（ ）（精确到，参考数据：） A B. C. D. 8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A. 事件M与事件N相互独立 B. 事件M与事件Y互为对立事件 C. 事件X与事件Y相互独立 D. 事件N与事件Y互斥事件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确是（ ） A. B. C. 是纯虚数 D. z在复平面内对应的点在第二象限 10. 安徽师范大学位于安徽省芜湖市，是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次，每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与标志的是（ ） A. 甲组：中位数为2，极差为5 B. 乙组：总体平均数为2，总体方差为3 C. 丙组：总体平均数为1，总体方差大于0 D. 丁组：总体平均数为2，众数为2 11. 已知正方体的体积为8，E是线段（不含端点）上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 不存在点E，使得直线平面 B. 对任意点E，直线都不垂直于平面 C. 过，，E的平面截该正方体所得的截面面积为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是_______. 13. 底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______. 14. 在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，. （1）求； （2）求. 16. 马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中a的值； （2）景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少? （3）若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点. （1）若，平面∥平面，求线段的长度． （2）证明：平面平面； （备注：用空间向量解答不给分） 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求A； （2）若D为上一点，平分，且，，求的面积. 19. 如图，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角为，M，N分别是和中点. （1）若，E是线段的中点，动点F在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点F的轨迹的长度. （2）若，P，Q分别为线段，上异于端点点，满足，记分别与，所成角为，，若，求的取值范围. （3）若，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控 高一年级数学试题卷 注意事项： 1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页. 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生、女生应分别抽取的人数为（ ） A. 75；75 B. 90；60 C. 60；90 D. 100；50 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例，列式计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得，样本中应抽取的男生有名， 样本中应抽取的男生有名. 故选：B. 2. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，知，为等腰直角三角形， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C 3. 下列四个命题，真命题为（ ） A. 两两相交的三条直线确定一个平面 B. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 C. 若直线a，b与直线c所成角相等，则 D. 若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直 【答案】D 【解析】 【分析】借助正方体中直线的位置关系判断选项A，C；根据空间中两条直线的位置关系判断选项B；根据线面垂直的性质定理和判定定理判断选项D. 【详解】对于A，当三条直线相交于同一点时，如正方体中，直线不能确定平面，故A错误； 对于B，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故B错误； 对于C，若直线a，b与直线c所成角相等，如正方体中，，但与不平行，故C错误； 对于D，若两条平行直线a，b中的一条a与一个平面垂直， 则对于平面中的相交直线有， 因为，所以，所以，故D正确； 故选：D. 4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：. 5. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出辅助线，得到或其补角为线与所成的角，求出，结合，利用余弦定理求出余弦值. 【详解】取的中点，连接， 因为E，F分别是，的中点， 所以，故或其补角为直线与所成的角， ， 又， 故， 故直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“x”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定定义逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，由图可得一班成绩比二班成绩集中，故A错误， 对于B，由图可得一班成绩的下四分位数是80，故B错误， 对于C，由图可得一班有异常值超过140分，故C正确， 对于D，由图可得一班的平均分低于二班的平均分，故D错误. 故选：C 7. 某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）.现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，则塔高约为（ ）（精确到，参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设塔高为，由题意可得，在中，余弦定理可得，求解即可. 【详解】设塔高为，由在点，测得塔顶的仰角分别为， 可得， 由，，可得， 在中，余弦定理可得， 所以，所以， 解得. 故选：B. 8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A. 事件M与事件N相互独立 B. 事件M与事件Y互为对立事件 C. 事件X与事件Y相互独立 D. 事件N与事件Y为互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥、相互独立事件乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： 一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以,,,, 因为事件与事件互斥，所以,又因为, 所以事件与事件不相互独立，故A错误； 由,所以事件与事件不互为对立事件，故B错误； ,故C错误； “甲、乙两人所选选项完全不同”与“甲、乙两人均未选择B选项”不能同时发生，事件与事件互斥,故D错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是纯虚数 D. z在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】先将复数化简成标准代数形式，后按照共轭复数概念，模长公式，纯虚数的概念和复数几何意义分别判断即可． 【详解】，则，故A错误；，故B正确； ，为纯虚数，故C正确；对于的点为，在第一象限，故D错误． 故选：BC. 10. 安徽师范大学位于安徽省芜湖市，是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次，每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与标志的是（ ） A. 甲组：中位数为2，极差为5 B. 乙组：总体平均数为2，总体方差为3 C. 丙组：总体平均数为1，总体方差大于0 D. 丁组：总体平均数为2，众数为2 【答案】AB 【解析】 【分析】设出最少的人数，利用极差和中位数的性质判断A，利用反证法判断B，举反例判断C，D即可. 【详解】对于A，设每次未参与的人数最少为，而中位数为2，故， 因为极差为5，所以，故符合情况，则A正确， 对于B，假设数据有1个数据为8，方差为，方差为， 故假设不成立，故此时符合情况，则B正确， 对于C，假设数据为，此时总体平均数为1，总体方差大于0， 但不满足每次未参与的人数不超过7人，故C错误， 对于D，假设数据，满足总体平均数为2，众数为2， 但不满足每次未参与的人数不超过7人，故D错误. 故选：AB 11. 已知正方体的体积为8，E是线段（不含端点）上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 不存在点E，使得直线平面 B. 对任意点E，直线都不垂直于平面 C. 过，，E的平面截该正方体所得的截面面积为 D. 最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】举特殊点结合线面平行的判定定理判断A，利用异面直线的夹角证明不垂直，进而证明线面不垂直判断B，作出辅助线找到截面，判断截面为矩形，再利用矩形的面积公式判断C，将空间图形展开为平面图形，找到三点共线时线段和最小，再利用勾股定理求出长度，判断D即可. 【详解】 如图，假设E是线段的中点，连接，， 因为正方体，所以，， 故四边形是平行四边形，故，即， 而面，面，故平面成立，故A错误， 连接，，因为正方体，所以，， 故四边形是平行四边形，可得， 所以与所成夹角即为与所成夹角，且设该夹角为， 连接，而正方体的体积为8，设其边长为， 故得，解得，由勾股定理得， ，，故得， 故是等边三角形，则，得到与所成夹角为， 所以不垂直，所以直线都不垂直于平面，故B正确， 前面我们已经连接，再连接，因为正方体， 所以，，所以面， 所以四边形平行四边形，所以四点共面， 故可得到过，，E的平面即为面， 故，所以四边形是矩形，由勾股定理得 其面积为，故截面面积为，则C正确， 我们把展开，得到如下平面图， 因为正方体，所以，， 可得是等腰直角三角形，故， 延长到，且作，连接与交于， 故得，，， 而，当且仅当共线时取等， 此时由勾股定理得，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是将空间图形展开为平面图形，然后得到共线时线段和最小，最后利用勾股定理得到所要求的长度即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合求出基本事件数，列举出符合条件的事件数，求解概率即可. 【详解】首先，我们把编号为1的红球记为，编号为2的红球记为， 编号为1的黑球记为，编号为2的黑球记为， 则基本事件总数为种，符合条件的有，共4种， 且设概率为，则. 故答案为： 13. 底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的高，设出外接球的半径，从而列出方程，求出半径，得到外接球的表面积. 【详解】设圆锥的高为，则， 设外接球的半径为，则，解得， 故圆锥的外接球的表面积为. 故答案为： 14. 在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作于，是的高，由题意可得，，进而利用基本不等式可求得最小值. 【详解】在中，，，所以， 取的中点，连接，过点作于，是的高， 由的面积为，所以，所以， 由，所以可得，所以， 由题意可得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即且与重合时取等号. 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，，进而利用向量的数量积的坐标运算可求数量积； （2）由（1）可得，进而利用向量的模的坐标运算公式可求. 【小问1详解】 因为， 由于， ， 因此； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 16. 马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中a的值； （2）景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少? （3）若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率. 【答案】（1） （2）88 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图的长方形面积之和为1计算即可； （2）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应的分数即可； （3）根据古典概型的概率公式，结合列举法可解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 设收到纪念品的游客评分不低于x分 因为，对应的频率分别为0.15，0.1 所以，解得 故收到纪念品的游客评分不低于88. 【小问3详解】 有人，分别记为a，b 有人，分别记为1，2，3，4，5，6 记事件A为“在评分在中随机抽两人，至少一人评分在”，则 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点. （1）若，平面∥平面，求线段的长度． （2）证明：平面平面； （备注：用空间向量解答不给分） 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由，可求得，由面面平行的性质可得，则F为线段上的中点，从而可求得线段的长度； （2）由平面，得，再结合底面为正方形和线面垂直的判定定理可得平面，则，则等腰三角形的性质得，则得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 解：连接，因为底面，底面，所以， 所以， 因为底面是正方形，，所以, 所以，因为，所以， 由平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥，又E为线段的中点，得F为线段上的中点， 所以； 【小问2详解】 证明：因为平面，平面，所以， 又底面是正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，E为线段的中点，所以， 又，，平面，得平面， 因为平面，所以平面平面. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求A； （2）若D为上一点，平分，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用二倍角公式将化为，再边角互化，三角恒等变换化解即可； （2）用等面积法和用余弦定理结合即可求解． 【小问1详解】 因为 由正弦定理得 化简得 又因为 所以 由于，所以 则，即 【小问2详解】 如图所示， 因为 所以，即 由余弦定理知.即 所以，解得或（舍去） 所以． 19. 如图，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角为，M，N分别是和中点. （1）若，E是线段的中点，动点F在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点F的轨迹的长度. （2）若，P，Q分别为线段，上异于端点的点，满足，记分别与，所成角为，，若，求的取值范围. （3）若，求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，故只需找出过点且与直线垂直的平面即可得，结合题目所给条件，取，的中点为F，O，连接，，结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得平面，即可得动点F的轨迹的长度； （2）在线段上取点结合等角定理得到，，结合三角形大边对大角计算即可得； （3）作于点S，作于点T，连接，结合题目条件，借助二面角定义可得即为二面角的平面角，从而可通过正切定义计算即可得. 【小问1详解】 在梯形中，由，，， 则，又，故， 则四边形是正方形， 则在三棱锥中有，，， ，平面，所以平面， 二面角的平面角即为， 分别取，的中点为F，O，连接，，则，平面， 平面，所以平面，同理平面， 由于，，平面，故平面平面， 平面，故点F的轨迹为三角形， 因此点F的轨迹长度为： ； 【小问2详解】 在线段取点R使得，则，， 由于平面，平面，所以，即， 易得，，且，若，则， 即，即，又，得； 【小问3详解】 作于点S，作于点T，连， 由，得是边长为的等边三角形，则S为的中点，且， 由S为的中点，易得， 由平面，平面，得，又，， 得平面，又，得，又，， 得平面，则即为二面角的平面角， 故其正切值为. 【点睛】关键点点睛：（1）中关键点在于找出过点且与直线垂直的平面即可得；（2）中关键点在于线段上取点结合等角定理得到，；（3）中关键点在于借助二面角定义找到二面角的平面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$