精品解析：四川省眉山市仁寿县铧强中学和眉天实验中学2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试卷

仁寿县铧强中学和眉天实验中学高二期末联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 3. 已知函数的导函数为，且满足，则 A. B. C. D. 4. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为 A. -1 B. C. D. 1 5. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上有极大值 D. 是函数的极小值点 6. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A. 16种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 7. 函数的定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数定义域为，部分对应值如下表所示： 0 2 4 5 1 2 0 2 1 的导函数的图象如图所示． 下列关于函数的结论正确的有（ ） A. 函数的极大值点有2个 B. 函数在上单调递减 C. 若时，的最大值是2，则的最大值为4 D. 当时，函数有4个零点 11. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是的极值点 C. 存在零点 D. 在上单调递减 12. 定义方程的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，有下列函数：其中只有一个“新不动点”的函数有（ ） A. g（x）=x•2x， B. g（x）=﹣ex﹣2x， C. g（x）=lnx， D. g（x）=sinx+2cosx. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上． 13. 设是函数的导函数，若，则______． 14. 若函数的单调减区间是,则实数的值为__________． 15. 某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 16. 若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限． （1）求的坐标； （2）若直线，且l也过切点，求直线l的方程． 18. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾； (2)全体站成一排，女生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生互不相邻． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围． 20. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 21. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若存在，使，求的取值范围． 22. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿县铧强中学和眉天实验中学高二期末联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，然后再通过求导，令导函数小于0，求出x的范围，跟定义域求交集即可完成求解. 【详解】，定义域为，其导数，在区间上，，函数单调递减. 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导计算出，再由导数的定义得即可求解. 【详解】∵，∴， ∴． 故选：B． 3. 已知函数的导函数为，且满足，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，函数，则， 令，则，解得，即， 令，则，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为 A. -1 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】切线的斜率为，令，故切点为，代入曲线方程得. 5. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上有极大值 D. 是函数的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，再结合极大值和极小值点的定义即可得解. 【详解】根据导函数图象知，当时，，当 时， ， 当时，，故AB正确； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，即函数在上有极大值，故C正确； 函数的极小值点为，故D错误. 故选：D. 6. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A. 16种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得． 【详解】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列， 故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种. 故选：B. 7. 函数的定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得再定义域上单调递增，又，即可得到时，；时，；再分类讨论分别计算最后取并集即可； 【详解】解：由题意可知在单调递增，又，时，；时，； 对于，当时，不等式成立， 当时，，不等式不成立； 当时，，且， 不等式成立不等式的解集 故选：. 8. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式分别求导即可. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BCD . 10. 已知函数定义域为，部分对应值如下表所示： 0 2 4 5 1 2 0 2 1 的导函数的图象如图所示． 下列关于函数的结论正确的有（ ） A. 函数的极大值点有2个 B. 函数在上单调递减 C. 若时，的最大值是2，则的最大值为4 D. 当时，函数有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据到函数的图象可得函数的单调区间，根据极值点的定义即可判断AB；结合函数的单调性即可判断C；结合函数的大致图象即可判断D. 【详解】由题图可知，函数 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有两个极大值点，一个极小值点，故AB正确； 对于C ，结合题表及函数的单调性可得， 在上的最大值为2，则，故C错误； 对于D，求函数的零点个数， 即求函数和的图象的交点个数， 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，当时，函数 和 的图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD. 11. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是的极值点 C. 存在零点 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，即可判断C；求导，令，即可判断A；根据导数及极值点的定义即可判断BD. 【详解】函数 的定义域为， 对于C，对任意的，，C错误； 对于A，， 且， 所以函数在上为减函数，故AD正确，B错误. 故选：AD . 12. 定义方程的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，有下列函数：其中只有一个“新不动点”的函数有（ ） A. g（x）=x•2x， B. g（x）=﹣ex﹣2x， C. g（x）=lnx， D. g（x）=sinx+2cosx. 【答案】ABC 【解析】 【分析】可求出导函数g′（x），然后判断方程g（x）=g′（x）的实数根的个数，只有一个实数根的便只有一个“新不动点”，有多个实数根的便有多个“新不动点”，这样即可找出正确的选项. 【详解】解：对于A，g′（x）=2x+x•2x•ln2，解x•2x=2x+x•2x•ln2，解得：， ∴g（x）只有一个“新不动点”，故A正确； 对于B，g′（x）=﹣ex﹣2，解﹣ex﹣2=﹣ex﹣2x，得：x=1， ∴g（x）只有一个“新不动点”，故B正确； 对于C，，根据y=lnx和的图象可看出只有一个实数根， ∴g（x）只有一个“新不动点”，故C正确； 对于D，g′（x）=cosx﹣2sinx，由sinx+2cosx=cosx﹣2sinx，得：3sinx=﹣cosx， ∴， 根据y=tanx和y的图象可看出方程有无数个解， ∴g（x）有无数个“新不动点”，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上． 13. 设是函数的导函数，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入计算即可. 【详解】因为 ，所以， 所以. 故答案为：2 14. 若函数的单调减区间是,则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得是方程 的根， ，解得：． 点睛：本题考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道基础题． 15. 某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 【答案】1344 【解析】 【分析】 分四种情况讨论即可 【详解】解：数学排在第一节时有： 数学排在第二节时有： 数学排在第三节时有： 数学排在第四节时有： 所以共有1344种 故答案为：1344 【点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题. 16. 若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案． 【详解】由题意可得：函数 f（x）＝x3﹣3x， 所以f′（x）＝3x2﹣3． 令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1； 在上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增， 因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f（1）， 1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2， 又结合函数的性质可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0， 联立解得：﹣2≤a＜1． 故答案为[﹣2，1）． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限． （1）求的坐标； （2）若直线，且l也过切点，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设点，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答. （2）求出直线l的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答. 【小问1详解】 由求导得：，设切点，而点在第三象限，即， 依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上， 所以切点的坐标为. 【小问2详解】 直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为， 又l过切点，于是得直线l的方程为，即， 所以直线l的方程为：. 18. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾； (2)全体站成一排，女生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生互不相邻． 【答案】（1）3600（2）576（3）1440 【解析】 【详解】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法． (2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法． (3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种方法． 点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用求得的单调区间； （2）由在区间恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】（1）当a＝﹣3时，函数f（x）＝x﹣﹣4lnx（x＞0）， ＝1+﹣＝＝， 由＞0，可得0＜x＜1或x＞3， 由＜0，可得1＜x＜3， 所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞）；递减区间为（1，3）； （2）＝1﹣﹣＝，x＞0， f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 即为≥0在区间（0，+∞）上恒成立， 即a≤x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在区间（0，+∞）上恒成立， 由（x2﹣4x）min＝﹣4，得a≤﹣4， 即a∈. 20. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5） （2）当时，函数为增函数；当，函数为减函数.当时该蓄水池的体积最大 【解析】 【分析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值. 【详解】（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元 ∴蓄水池的总建造成本为元 所以即 ∴ ∴ 又由可得 故函数的定义域为 （2）由（1）中， 可得（） 令，则 ∴当时，，函数为增函数 当，函数为减函数 所以当时该蓄水池的体积最大 考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数. 21. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若存在，使，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （2）对进行讨论，分，和，当，利用函数值的符号即可求解；当和，设，利用导数与函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 22. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，且，证明：. 【答案】（1）当时，在上无极值；当时，在上的极小值为，无极大值. （2）当时，， 由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点， 又，为函数零点，所以，要证，只需证. ∵ ，又 ∵，∴， 令，则， ∴在上是增函数，∴，∴， ∴，即得证. 【解析】 【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值； （2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，在上是减函数，所以在上无极值； 当时，若，，在上是减函数. 当，，在上是增函数， 故当时，在上的极小值为， 无极大值. （2）略 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $