广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

汕尾市 2023—2024 学年度第二学期高中二年级教学质量监测 数 学 本试题共 4 页, 考试时间 120 分钟, 满分 150 分 注意事项: 1. 答题前, 考生先将自己的信息填写清楚、准确, 将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题时请按要求用笔, 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 ,则 的虚部为 A. 1 B. 2 C. D. 0 2. 已知 是三角形一内角,若 ,则 A. B. C. D. 3. 集合 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设 是空间中的一个平面, 是三条不同的直线,则下列说法正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 5. 在 的展开式中, 的系数是 A. -80 B. -60 C. 60 D. 80 6. 某地区有 20000 名考生参加了高三第二次调研考试. 经过数据分析,数学成绩 近似服从正态分布 ,则数学成绩位于 内的人数约为 参考数据: A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 7. 某校高二年级开展课外实践活动, 数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度. 如图,为测量石像 的高度,在距离平台 1.2 米高的 处测得石像顶的仰角为 ; 后退 18 米到达距离平台 1.2 米高的 处测得石像顶的仰角为 ,则石像的高度为 米. A. B. C. D. 8. 是直线 上的一动点,过点 作圆 的两条切线, 切点分别为 ,则四边形 面积的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分; 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 函数 的图象在点 处的切线平行于直线 ,则点 的坐标可以为 A. B. C. D. 10. ,若 在 上的投影向量为 ,则 A. B. C. D. 11. 端午节期间,某城市举行龙舟比赛,龙舟比赛途经 桥、 桥、 桥、 桥及 桥,活动期间在 5 座桥边各设置 1 个志愿者服务点. 现有 5 名志愿者参加其中三座桥一 桥、 桥及 桥的服务,要求这三个服务点都有人参加,记事件 为 “甲在 桥服务点”,事件 为 “乙和丙分到一起”,则 A. 事件 与事件 相互独立 B. C. D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知 是等比数列,若 ,则 . 13. 已知双曲线 的对称中心是原点,对称轴是坐标轴,若 轴上一点 到双曲线 的渐近线距离为 ,则 的离心率为 . 14. 若函数 有两个零点,则实数 的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知数列 是公差为 2 的等差数列,且 成等比数列. (1) 求数列 的通项公式; (2) 已知数列 的前 项和为 ,求使不等式 成立的 的最小值. 16. (15 分) 已知动点 到直线 的距离比到点 的距离多 个单位长度,设动点 的轨迹为 . (1) 求 的方程; (2) 已知过点 的直线 交 于 两点,且 ( 为坐标原点) 的面积为32,求 的方程. 17. (15 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为矩形, 平面 为 的中点. (1) 证明: 平面 . (2) 若平面 与平面 的夹角为 ,求 的长. 18. (17 分) 某市某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量 (单位: 克), 质量的分组区间为 , . 由此得到样本的频率分布直方图如图. (1) 根据频率分布直方图, 求样本中质量超过 505 克的产品数量; (2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 为质量超过 505 克的产品数量,求 的分布列; (3) 从该流水线上任取 2 件产品,设 为质量超过 505 克的产品数量,求 的分布列. 19. (17 分) 已知函数 ( 为正实数). (1) 讨论函数 极值点的个数. (2) 若 有两个不同的极值点 . (i) 证明: . (ii) 设 恰有三个不同的零点 . 若 ,且 ,证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $$汕尾市2023一2024学年度第二学期高中二年级教学质量监测 答案及评分标准（参考）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 2 3 6 8 答案 D A B C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC AD ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.2或2 14.(0,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)因为a1,a,a4成等比数列， 所以a5=a,a4. …2分 因为数列{a。是公差为2的等差数列， …3分 所以(a1+4)2=a(a1+6), …4分 解得1=-8，…5分 所以an=-8+(n-1）×2=2n-10.…6分 (2)由(1)可得，S.=m,+nn-》4=-8n+n2》×2=n2-9n.…8分 2 2 由5，>a,可得，n2-9n>2n-10,…10分 解得n<1或n>10.… 12分 又n∈N°，所以n的最小值为1L.…13分 16.(15分) 解：(1)因为动点P到直线x=-4的距离比到点M(2,0)的距离多2个单位长度， 所以动点P到直线x=-2的距离和到点M(2,0)的距离相等， …2分 所以E是以M(2,0)为焦点，直线x=-2为准线的抛物线， 4分 所以E的方程为y2=8x.…6分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 易知直线1的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=y+4.…7分 高二·数学答案及评分标准（参考）第1页（共4页） 联立方程得 =8x, 消去x得y2-8y-32=0,…9分 x=y+4 所以为+为=81，当y2=-32,…10分 所以Saaw=20N-=2(+)产-4房=16VF+2=32,…1B分 解得1=±2， …14分 所以直线l的方程为x+√2y-4=0或x-2y-4=0.…15分 17.(15分) 解：(I)如图，连接BD交AC于点O,连接OE,…1分 因为O为BD的中点，E为PD的中点， 所以PB∥OE …2分 又OEC平面AEC,PB￠平面AEC, …4分 所以PB∥平面AEC. …5分 (2)因为PA⊥平面ABCD,AD,ABC平面ABCD, 所以PA⊥AD,PA⊥AB.… …6分 又AB⊥AD,所以PA,AD,AB两两互相垂直，所以以A为原点，AB,AD,AP所在直线 分别为x轴，y轴，x轴，建立空间坐标系如图所示 设AB=a,则A(0,0,0),C(a,3,0),P(0,0,1),D(0,√3,0) o,,》 …7分 所以d=(a,,0),正=0.9》 …8分 显然m=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量. …9分 n·A元=0， ax+3y=0. 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,),则 即 n.A尼=0， 1 …10分 2+2=0, 令z=5,得n= ,-1,3 …12分 因为平面DAE与平面AEC的夹角为60°， 高二·数学答案及评分标准（参考）第2页（共4页） 所以cos(m,n)|= m·n 13分 3 4+ 解得a=或a=-多（舍去）.即AB=多 15分 18.(17分) 解：(1)样本中质量超过505克的产品的频率为 5×0.05+5×0.01=0.3. …2分 所以样本中质量超过505克的产品数量为40×0.3=12（件）.…3分 (2)样本中质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28 件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布 …5分 因为x0)是急 P(X=1)= Cl2Cs28 65 …8分 所以X的分布列为 X 0 1 y 1 P 63 28 130 6 130 44444年44g 10分 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品， 该产品的质量超过505克的概率为长=3 40-10 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克 的件数y的可能取值为0,1,2，且Y-2,高) …11分 Py=)=C(高1-，k=0.1,2。 …12分 所以P(y=0)=G×-8 13分 3 P(y=1)=Cg×0×10-50 721 …14分 PY=2)=x(高 100 15分 高二·数学答案及评分标准（参考）第3页（共4页） 所以Y的分布列为 0 1 2 49 21 9 100 5 100 … 17分 19.(17分) x2 ,x>0,a>0,设g(x)=-x2+ax-1.·1分 因为g(x)的图象开口向下，△=a2-4,所以当0<a≤2时，g(x)≤0恒成立，即∫(x)≤0， 所以(x)在(0，+0)上单调递减，无极值点。…2分 当a>2时，令g)=0.解得=0±4.且0+40,1=层4>0.…3分 2 2 2 所以∫(x)在 --4,a+4上单调递增，在0，号 --4 和 2 2 2 a+va2-4 ,+0上单调递减，此时(x)有两个极值点， …4分 综上，当0<a≤2时，f(x)无极值点；当a>2时，f代x)有两个极值点 …5分 (2)()证明：由题意及(1)可知a>2,且xx2=1. …6分 又因为/付）=a恤-士+=-l+=-到，…8分 所以)+)=x)+/）=0. …9分 (i)证明：由(1)知，a>2,41<x1<2=1<x2<4, 由f代6)+f八3)=0及(i)知113=1，所以1l3=1.…10分 若证m+t,24n<e,即证m+n<e,不妨设n=ml,则t=”>l. m 由a1-hm)=n1-ha)得，hm=1- 要证m+n<e,只需证(1+t)m<e,再两边取对数得ln(1+t)+lnm<1, 即hn(1+)+1-0<1,即证血0+D<号 1-1 …13分 ,3-ln(1+s) 令h()=血+，se(0,+o,则'(s)=+s 2 再令p(=+,-lh(1+8),则p'(o)0++。0+7<0, 1 所以p(s)在(0，+0)上单调递减. 又p(s)<p(0)=0,则h(s)在(0.+o）上单调递减.…16分 由te(1,+o),得t-1∈(0，+0)，且t>t-1, 所以)<4(：-），即hD<告综上，厦+4n<e …17分 高二·数学答案及评分标准（参考）第4页（共4页）