广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题

湛江市 2023—2024学年度第二学期期末调研考试 高二数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 湛江市 2023—2024学年度第二学期期末调研考试 高二数学 说明：本卷满分 150分．考试用时 120分钟． 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．过  2,0 和  0,2 两点的直线的斜率是 A．1 B． 1 C． π 4 D． 3π 4 2．用最小二乘法得到一组数据  , ( 1,2,3,4,5,6)i ix y i  的线性回归方程为 ˆ 2 3y x  ，若 6 1 30i i x   ，则 6 1 i i y   A．11 B．13 C．63 D．78 3．若圆 2 2: ( ) ( 4 ) 4C x a y a    被直线 : 3 2 0l x y   平分，则 a  A． 1 2 B．1 C． 3 2 D． 2 4．函数  y f x 的导函数  y f x  的图像如图所示， 以下命题正确的是 A．  y f x 在 0x  处的切线的斜率大于 0 B．  1f  是函数的极值 C．  y f x 在区间  3,1 上不单调 D．  1f  是函数的最小值 5．某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取 25名女生，25名男生调查，结果形 成以下 2×2列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间 喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计 20 30 50 湛江市 2023—2024学年度第二学期期末调研考试 高二数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 参考数据及公式如下： ))()()(( )( 22 dbcadcba bcadnK    )( 0 2 kKP  050.0 010.0 001.0 0k 841.3 635.6 828.10 A. 不能根据小概率的 0.05  的 2 独立性检验认为两者有关 B. 根据小概率的 0.01  的 2 独立性检验认为两者有关 C. 根据小概率的 0.001  的 2 独立性检验认为两者有关 D. 根据小概率的 0.05  的 2 独立性检验认为两者无关 6．学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙 2 名同学每人从中选一种或两种，且两人之间 不会互相影响，则不同的选法种数为 A． 20 B． 25 C． 225 D． 450 7．如图，在三棱锥 P ABC 中， 2, 90 ,PA PB PC APB     ， 60BPC APC    M 为BC的中点，Q为 AM 的中点， 则线段 PQ的长度为 A． 2 B． 5 2 C． 3 2 D． 6 2 8．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设 na 是由正数组成的等方差数列，且方公差为 2， 5 3a  ，则数列 1 2{ } n na a  的前 24项和为 A． 3 2 2 B．3 C．3 2 D．6 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知等比数列 na 的公比为q，前 n项和为 nS ，若 1 3 4 65, 135a a a a    ，则 A． 1 1 4 a  B． 3q  C． 11 3 4 n na   D．  1 3 14 n nS   10．已知甲口袋中装有 3个红球，1个白球，乙口袋中装有 2个红球，1个白球，这些球只 有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出 1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出 1个球. 记 从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件 1A、 2A ，从乙口袋中取出的球是红球为事件 B， 则下列结论正确的是 A．  1 3 4 P A  B．  2 14P B A  C．  1 9 16 P AB  D．  2 211P A B  湛江市 2023—2024学年度第二学期期末调研考试 高二数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P是线段 1AD 上的点，点 E是线段 1CC 上的一点，则下列说法正确的是 A．存在点 E，使得 1A E 平面 1 1AB D B．当点 E为线段 1CC 的中点时，点 1B 到平面 1AED 的距离为 2 C．点 E到直线 1BD 的距离的最小值为 2 2 D．当点 E为棱 1CC 的中点，存在点 P，使得平面 PBD与平面 EBD所成角为 4  三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，满分 15分． 12． 6 2x x        展开式中 2x 项的系数为_________． 13．已知   2exf x m x  ，若  f x 为奇函数，则m  _________． 14．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F ，过点 1F的直线与双曲 线的左、右两支分别交于 A，B两点，若 2 22sin 3sinABF BAF   ， 2 1cos 8 ABF   ，则 C 的离心率为________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 5 85S  ，且 6 17a a ． （1）求 na 和 nS ； （2）设 1 5 n n n b a a   ，求数列 nb 前 n项和 nT ． 16.（15分） 四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD是正方形， 2PA AB  ，点 E是 棱 PC上一点． （1）求证: 平面 PAC 平面 BDE； （2）当 E为 PC中点时， 求二面角 A BE D  的正弦值． 湛江市 2023—2024学年度第二学期期末调研考试 高二数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 17.（15分） 已知椭圆 C: 2 2 1 4 x y  的左右焦点为 1F， 2F ， M为椭圆 C上一点. （1）若点M的坐标为   1, 0m m  ，求 1 2FMF△ 的面积； （2）若点M的坐标为  0 0,x y ，且 1 2FMF 是钝角，求横坐标 0x 的范围. 18．（17分） 学校师生参与志愿活动，高二（1）班某小组有男生 4人，女生 2人，现从中随机选取 2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为 X ，求 X 的分布列及期望  E X ； （3）若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择，每名 女生至多从中选择 2项活动，且选择参加 1项或 2项的可能性均为 1 2 ；每名男生至少从中选 择参加 2项活动，且选择参加 2项或 3项的可能性也均为 1 2 ，每人每参加 1项活动可获得 3 个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y ，求Y 的期望  E Y . 19．（ 17分） 已知函数 ( ) ( )e ( )xf x x a x a   R， ． （1）若曲线 ( )y f x 在 (0, (0))f 处的切线为 x轴，求a的值； （2）在（1）的条件下，判断函数 ( )f x 的单调性； （3）若 1 是函数  2 21( ) 1 e 1 2 xg x x ax x x          的极大值点，求a的取值范围． 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试 高二数学参考答案与评分标准 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 题号 6 答案 D A D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 题号 9 11 答案 BD ACD ABD 11. 解:对A选项,以DA,DC,DD所在的直线分别为x轴,y轴,:轴,建系如图: 则根据题意可得D(0.0.0).D(0.0.2).4(2.0.2).B(2.2.2).A(2.0.0). 设E(0.2.a)(0<a<2),所以AD =(-2.0.2),AB.=(0.2.2),4E=(-2.2.a-2); 假设存在点E,使得AE1平面ABD. 则AD.AE=4+2(a-2)=0,ABA.E=4+2(a-2)=0 解得a=0,所以存在点E,使得4E1平面ABD,此时点E与点C重合,故A正确; 对于B,点E为线段CC的中点时,F(0.2,1).AE=(-2.2.1).4D=(-2.0.2) [AD--2x+2-0 设平面AED的法向量为=(x,y,z),则{ 取x-2,则=(2.1.2). AE.i=-2x+2v+z=0 AB.=(0.2.2).故点B到平面AED的距离为 3 对C选项.E(0.2.a)(0<a<2),BE=(-2.0.a)BD=(-2,-2.2). 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 1 页(共 7 页) 点直线,#40#( 故当a=1时,即点E为CC中点时,此时点E到直线BD的距离的最小值为、2,故C错误; 对D选项,点E为线段CC的中点时,E(0.2.1).DE=(0.2.1).DB=(2.2.0). [DEa-2y+2.=0 设平面EBD的法向量为ā=(t,y,z),则 DB·a=2x+2v=0 取x=1,则ā=(1.-1.2) 设P(x.0.2-t)(0 x 2)DP=(t.0.2-x).DB=(2.2.0) [DP.6-x+(2-x):.-0 设平面PBD的法向量为=(x,y,2),则 ,取x-2-x,则5=(2-x.x-2,-x) lDB6-2r.+2y=0 2-x-x+2-2x2 则]loā- 4+62 2或4~6V2 ,由于0x2, 4+6V2 所以x- ,故D正确. 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分. 12.30 13.0 14.2v2 14. 解:△ABF,中,设AF=1,由正弦定理得 sin乙ABF. sin乙BAF. (4-)##)# 在△ABF.中,cos乙ABF.= ##_ 解得t-4a, ####)### 又cos/FBF.: 1,解得c -8a*,所以离心率e-f-22. 8 a 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 2 页(共 7 页) 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解:(1)设a.的公差为d 因为S二 _. 又三 7.7.....1....-.-.2....-..6.. ....................................分 所以..-....-...1...)....-1. .........................................4分 n(a+a.)n(5+6n-1) -32..........................................分 ) -(60-160--0) (2)=5 .........................................................分 .....................................................分 6n-7 6n-1 6n-1 6n+5 ..........................................................................................13分 6r+5 16.(15分) (1)证....面..D是正方形....... .......................................................1分 .PA1平面ABCD,BD一平面ABCD. .P. .... ............................................................................................分 又BD1AC,PAOAC=A,PA.AC-平面PAC. :BD1平面PAC,又BD一平面BDE, ...........................................分. .平面..............................................................................................5分 2 (2)如图建立空间直角坐标系. ..................................... P 则A(0.0.0),B(2.0.0).D(0.2.0),C(2.2.0),P(0.0.2),E(1.1.1) ....................................分 _.....:C 所以4B(2.0.0). BE=(.-1.1.1), bD-(.-2.2.0)...............8分 B 1) f.AB-2r=0 设平面ABE的法向量为i=(x,y,2),则 .取i.(0..-1)...................1.. i.BE--x+y+z=0 设平面DBE的法向量为画=(a,b.c),则 f.BD--2a+2-0 取=(1,1.0), ............................ l:BE--a+b+c-0' 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 3 页(共 7 页) 设二面角A-BE-D为,由图可知二面角A-BE-D为锐二面角, ............................................分 lial 1 所以cosθ- ........................................分 2 2 17.(15分) # 因为a=2,=1,所以c=-b=,F(-3.o),(3.) ...........................................4分 (2)如图: 因为点.在..所以-.2x.2.............-7分 EM+MFR-1F.f 由余弦定理得cos乙FMF,= 2|FM×MF. (x。+V3)+}+(1-)+-12 ..........................................................................10分 2|FMxMF 因为乙FMF,是钝角,所以 ($+)}+(×。-3){}+-12<0 6之x。< 26 4 3 3 t的范围为2V ##2# 3 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 4 页(共 7 页) 18.(17分) 解:..)设“有女生参加活动”为事件A,“恰有一名女生参加活动”为事件.,.............................1分 则P(48)_CC-8 P(A)= CC+C-3. ..........................................................................................................分 5 #{(B))- 8 所以P(BA)= P(A) 39 ............................................................................4分 7 _CC(k0.2), (2)依题意知x服从超几何分布,且P(X=)- C ................................................6分 所以x的分布列为 0 一1 5 (3)设一名女生参加活动可获得工时数为X,.名男生参加活动可获得工时数为X。..................10分 则X..所有可能取值为..6...的所有可能取值为6..................................................11分 19 P(X-3)-P(X=6)= ,, P(X=6)-P(X.=9)- 有x.女生参加活动..男生有..x.参加活........................................................14分. .........................................................................5分. 即两................................................................................17分 湛江市2023一2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 5 页 (共 7 页 19. 解:.(..已知..x)三(.-...-1. .........................................................................1分 则f(0)=(-a+1)e*-1=-a. 由于曲线v三f(x)在(0./(0)处的切线为x轴. 所以-.-............................................................................................分 (2)当a=0时,f(x)=(x+1e*-1,令h(x)=(x+1)e-1 则h'(....... .......................................................................................3分 当x-2时,ii(x)c0,f(x)单调递减,当x>-2时,(x)>0,f(x)单调递增, 又当x-2时,f(x)<0恒成立,/(-2)=-}-1,f(0)=e*-1=0. 所以当x.时.x).x.时..f.x)....................................................................5分 所以..x)在.-.0)上单调递减.在.....)上单调递增............................................................6分 (3)由已知 g'(x)=(x2-ax+1+2x-a)e-(x+1)=(x+1)(x-a+1)e*-1]. ...................................................7. 令v(x)=(x-a+)e*-1,则v(x)-(x-a+2)e, 当x<a-2时,v(x)<0,vx)单调递减,当x>a-2时,v(x)>0,v(x)单调递增; 又当x<a-2时,v(x)<0恒成立,且v(a-2)=-“~}-1<0, 当x→+xo时,v(x)>0,即v(x)在(a-2,+)上有且只有一个零点,设为x。, 当x。-1. 即.-1).-.-..-.+美...-1.0. ...一. .................................11分 此时若g(x)<0,解得x.<x<-1,g(x)在(x.-1)上单调递减 若g'(x)>0,解得x<x×.或x>-1,gx)在(-xo,x。).(-1.+x)上单调递增 此时.............意........................................1.分 当x。>-1,即v(-1)=(-1-a+De-1<0,解得a>-e, 此时若g(x)<0,解得-1<x<x。,g(x)在(-1.x。)上单调递减 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 6 页(共 7 页) 若g(x)>0,解得x<-1或x>x,g(x)在(-0.-1).(x。,+o)上单调递增 此时g(x)在-1处取极大值,符合-1是g(x)的极大值点 ............................................. 当x.=-1时,即v(-1)=(-1-a+1)e-1=0,解得a=-e, 此时.....恒........值.点.....................................................................16分 综上所.......范...............................................17.分. 注:如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试高二数学参考答案及评分标准 第 7 页(共 7 页)