精品解析：云南省曲靖市麒麟区2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年度下学期教学质量监测 高二年级数学试题卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷､草稿纸上作答无效.选择题作答必须用2B铅笔填涂. 2.考试结束后，请将答题卡交给监考教师. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 57 B. 56 C. 36 D. 35 6. 已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相交 D. 直线与圆相离 7. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 与相等 8. 已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 不存在零点 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期是 D. 在区间上单调递减 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求曲线在点处的切线的倾斜角为__________. 13. 抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是__________. 14. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程. 15. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若的面积，求的周长. 16. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 8 4 12 不喜欢运动 2 36 38 合计 10 40 50 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ （2）现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为男学生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 17. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）设函数，讨论函数的零点个数. 18. 如图，在四棱锥中，底面满足，平面平面，，点是的中点. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期教学质量监测 高二年级数学试题卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷､草稿纸上作答无效.选择题作答必须用2B铅笔填涂. 2.考试结束后，请将答题卡交给监考教师. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数即可求出对应点的坐标. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据一元一次不等式的解法解集合B，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 故选：A 3. 已知表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将直线和平面放入特殊图形中证明充分性，否定必要性即可. 【详解】 如图，在长方体中，取为平面，取为平面， 由，设取为直线，面，面，则， ，所以，，所以； 反之，若，设取为直线，满足，但与不垂直， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边同时平方可得，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：D 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 57 B. 56 C. 36 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】展开式中含项的系数为1， 展开式中含项的系数为， 展开式中含项的系数为， 展开式中含项的系数为， 展开式中含项的系数为， 展开式中含项的系数为， 所以展开式中含项的系数为 . 故选：B 6. 已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相交 D. 直线与圆相离 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 7. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 与相等 【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有基本事件，再结合互斥事件、对立事件的意义及古典概型逐项判断即得. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)， 对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误； 对于C，，C正确； 对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误． 故选：C 8. 已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 不存在零点 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，令，可得， 因为，所以，所以A不符合题意； 对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合， 所以函数不是奇函数，所以B符合题意； 对于C中，由，令，可得， 即，解得或， 所以函数没有零点，所以C不符合题意； 对于D中，由， 令，可得，所以，即， 所以D不符合题意. 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期是 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数，借助正弦函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A，是偶函数，A正确； 对于B，，的图象关于点对称，B正确； 对于C，的最小正周期是，C错误； 对于D，当时，，又正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，D正确. 故选：ABD 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，平均数中位数众数，A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误. 故选：AC 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性,则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求曲线在点处的切线的倾斜角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，求出即可. 【详解】易知点在曲线上， 设，则，所以， 设曲线在处的切线的倾斜角为， 则，解得. 故答案为： 13. 抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为. 故答案为： 14. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】解：因为，且，所以， 所以数列为等比数列，则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 所以 故答案为: 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程. 15. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若的面积，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，借助二倍角的正弦求解即可. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出角，再利用正弦定理求出即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，于是，解得， 所以. 【小问2详解】 由及余弦定理，得，则， 而，解得，由（1）知，， 由正弦定理得，则， 所以的周长为. 16. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 8 4 12 不喜欢运动 2 36 38 合计 10 40 50 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ （2）现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为男学生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）能认为学生的性别与是否喜欢运动有关联； （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论； （2）的取值可能为，根据超几何分布求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 ， 所以能认为学生的性别与是否喜欢运动有关联； 【小问2详解】 的取值可能为，则 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）设函数，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）单调性见解析；极大值为1，无极小值 （2）当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. 【解析】 【分析】（1）根据，即可得出的单调性，结合极值的概念即可求解； （2）将原问题转化为直线与函数图象的交点个数，由（1）可得的单调性，作出图形，结合图形即可求解. 【小问1详解】 ，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，且，无极小值. 【小问2详解】 由题意知， 要求函数的零点个数，即求方程的根的个数， 即求直线与函数图象的交点个数. 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，当时， 如图， 由图可知当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. 18. 如图，在四棱锥中，底面满足，平面平面，，点是的中点. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点,连接,因点是的中点，则有, 又，，故得,即四边形为平行四边形， 则,又平面，平面,故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点,连接，证明即可推出线面平行； （2）先证明平面，再利用三棱锥体积公式求解； （3）通过建系写出相关点坐标，求得两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，因,则, 又因平面平面，平面平面,则平面, 于是四棱锥的体积为. 【小问3详解】 分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 因,平面平面，平面平面, 平面,故有平面，则平面的一个法向量可取为， 由,则得，, 设平面的一个法向量为，则有：， 故可取， 设平面与平面所成角为，则， 故. 即平面与平面所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间几何体有关的体积和二面角求法，属于较难题. 解题的关键在于要求体积必先选定底面，使底面上的高线易求；对于难找二面角的平面角的问题，一般利用建立空间直角坐标系，求出平面的法向量求解. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【小问1详解】 依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $