精品解析：北京市朝阳区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟满分150分） 本试卷共6页，150分.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解指数不等式求出集合，解不等式求出集合，然后即可求出结果. 【详解】故， 故, . 故选：B. 2. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，利用指数函数的性质判断B，利用幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：若，满足，但是，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递减，当时，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，当时，故C正确； 对于D：当时，故D错误. 故选：C 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：，则在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B：，则在，上单调递减，故B错误； 对于C：，则在上单调递减，故C错误； 对于D：，则在上单调递增，故D正确. 故选：D 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及对数函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D 5. 从20名学生中随机选出2名学生代表，则甲学生被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出20名学生中随机选出2名学生的方法数，再求出甲学生被选中的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从20名学生中随机选出2名学生代表有种方法， 其中“甲学生被选中”有种方法， 所以甲学生被选中的概率是. 故选：A. 6. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的特征，直接求出结果. 【详解】依题意，第8行的第7个数是. 故选：C 7. “”是“在上恒成立”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断 【详解】在上恒成立， 即在上恒成立，，当且仅当时，取等号； 故 “”是“”的充要条件， 故选：C. 8. 某兴趣小组组织A，B，C三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 27种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲，再安排剩余两项冠军，由分步乘法计数原理和组合知识得到答案. 【详解】先从A，B，C三项冠军挑选一项冠军安排给甲，有种， 剩余两项冠军可以给乙，也可以给丙，有种情况， 综上，甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有种. 故选：B 9. 某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ） A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【详解】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 10. 已知函数.设，是函数图象上不同的两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令函数，求得，得到在上单调递增，且，即结合，即，即可求解. 【详解】若有一个大于或等于1，则， 若， 令函数 ， 可得， 所以函数在上单调递增，所以， 即当时，，即 又由，即， 所以，可得，所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数表达式可得，解不等式即可. 【详解】由，则， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 已知的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可 【详解】由基本不等式得. 故答案为：1 13. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，进而可求出常数项. 【详解】因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64， 所以，得， 所以， 则其展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：6，. 14. 袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则________.（用数字作答） 【答案】 ①. 10 ②. ##0.3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即可；再求出3个球中最小号码是2的个数即可求出概率. 【详解】任取3球的不同取法种数是； . 故答案为：10； 15. 已知定义在的偶函数，若，都有，且，使得，则________.（写出满足条件的一个的解析式） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意写出符合要求的解析式即可. 【详解】因为函数是偶函数向上平移一个单位得到的， 所以函数是偶函数，且满足，，， 故函数的一个解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象关于直线对称； ③恒成立； ④函数有且只有一个零点. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，先由得，再研究其单调性；对于②，求出，判断是否成立即可；对于③，去绝对值符号化简解析式分段分析即可得解；对于④，令，去绝对值符号分段求解零点即可得解. 【详解】由题， 对于①，因为当时， ， 函数在上单调递增，故①正确； 对于②，因为， 所以直线不是函数的对称轴，故②错误； 对于③，当时，， ，， 所以恒成立，故③正确； 对于④，令，即， 当时，，整理得，，（舍去）， 时，，整理得，无解， 综上，函数有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：去绝对值符号，分和两段讨论分析即可求解. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知非空集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合、，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意可得，又，可得，求出集合，再根据集合的包含关系得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得或， 所以或， 当时， 所以. 【小问2详解】 若，则，又非空集合，则， 所以，又或， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 18. 已知函数，且. （1）求函数的单调区间； （2）若函数的极小值为，求a的值. 【答案】（1）答案见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先进行求导运算，再根据导数情况对进行分类讨论导数正负即可得到函数的单调性. （2）由（1）的单调性可得函数的极小值，进而可求出a的值. 【小问1详解】 由题函数定义域为，， 所以当时，若，；，； 故此时函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，若，；，； 故此时函数在和上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为和. 【小问2详解】 由（1）当时，函数的极小值为， ，符合； 当时，函数的极小值为， ，符合. 故a的值为或. 19. 某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，下表记录了随机抽取的上一年的10个工作日两个车间生产的零件个数： 甲车间 62 63 43 74 73 70 59 70 43 66 乙车间 39 45 50 36 23 20 23 38 51 39 （1）从记录的这10个工作日中随机抽取1天，求甲车间生产的零件个数小于50的概率； （2）用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3天（假设每次抽取的结果互不影响），记X为乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数，求X的分布列和数学期望； （3）从记录的这10个工作日中随机抽取1天，用“ξ=0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40，a）内，用“ξ=1”表示甲车间生产的零件个数在区间[a，80]内.请写出一个实数a的值使得方差D(ξ)取到最大值.（结论不需要证明） 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）66 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）先求概率，再根据二项分布分别写出概率及分布列最后求出数学期望即可； （3）设概率，再求数学期望求出方差，最后应用二次函数最值即可求参. 【小问1详解】 设这10个工作日中随机抽取1天甲车间生产的零件个数小于50为事件A,只有43，43小于50， 所以； 【小问2详解】 乙车间生产零件的个数超过甲车间的个数有2个，乙车间生产零件的个数不超过甲车间的个数有8个，所以 X可取, , , , , X的分布列为 0 1 2 3 P . 【小问3详解】 可取, , 当时 ，取到最大值. 20. 设函数的图象在点处的切线方程为.若函数满足（为函数的定义域），当时恒成立，则称为函数的“点”，已知. （1）若直线l斜率， （i）求及直线l的方程； （ii）记，讨论函数的单调性； （2）求证：函数有且只有一个“T点”. 【答案】（1）（i）；，（ii）在上单调递减 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切点和切线方程，求导，分析函数的单调性即可. （2）先把“点”定义转化为：当时，；当时，.再借助（1）的结论分析“点”及其个数. 【小问1详解】 （i）由题意：，， 由，得：. 所以切点为 所以切线方程为：即. （ii），， 所以恒成立， 所以，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，恒成立等价于： 当时，；当时，. 因为，，， 所以在点处的切线方程为：即 设 所以 当时，， 当时，，单调递增，则，与“点”定义矛盾，不合题意. 当时，令. 当时，由（1）得：，且在上单调递减. 当时，，，所以； 当时，，，所以. 所以当时，恒成立，故为函数的一个“点”. 当时，则当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 则存在，使得，这与“点”的定义矛盾. 同理，当和时也不合题意. 所以函数有且只有一个“点”. 【点睛】关键点点睛：函数“点”的定义可转化为：当时，；当时，. 21. 已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. （1）判断是否是的4元基子集，说明理由； （2）设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； （3）若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 【答案】（1）是，理由见解析， （2）不是，理由见解析， （3）15 【解析】 【分析】（1）根据4元基子集的定义即可验证求解， （2）根据4元基子集的定义举反例即可说明， （3）先用反证法证明不符要求，即可得，设，由于0可以表示为中若干个元素之和, 根据对称性只证明整数，均可表示为中若干个元素之和,，即可根据①②两种情况求解即可. 【小问1详解】 由于， 因为且， 所以是的4元基子集 【小问2详解】 P不一定是的7元基子集，理由如下： ， 取，则，故4不能写成中若干个元素之和， 所以不是的7元基子集 【小问3详解】 当时，考虑的元子集， 当时，中的元素均不是正数， 此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和， 当时，中所有的正元素之和为， 故不能写成中若干个元素之和, 所以， 设，则, 任取的15元子集，因为，所以或存在使得, 所以0可以表示为中若干个元素之和, 由对称性，只需要证明整数，均可表示为中若干个元素之和, 设， 因为中至多包含11个非正数，所以， 下面证明这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, ①若中存在不小于的数，设其中最小的一个为， 则，所以中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, ②若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中，小于的最大数为， 则，所以，解得， 设是在中的补集， 则对于任意的，均有， 即中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, 设,， 因为元素个数，中的元素个数，又, 所以，即不为空集，， 设，则可表示为中若干个不同元素之和, 所以可表示为中若干个不同元素之和, 综上可得：最小值为15 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟满分150分） 本试卷共6页，150分.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 从20名学生中随机选出2名学生代表，则甲学生被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 6. “杨辉三角”是数学史上一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 7. “”是“在上恒成立”（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某兴趣小组组织A，B，C三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 27种 9. 某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ） A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时 10. 已知函数.设，是函数图象上不同的两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域为_________． 12. 已知的最大值为___． 13. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 14. 袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则________.（用数字作答） 15. 已知定义在的偶函数，若，都有，且，使得，则________.（写出满足条件的一个的解析式） 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象关于直线对称； ③恒成立； ④函数有且只有一个零点. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知非空集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数，且. （1）求函数的单调区间； （2）若函数的极小值为，求a的值. 19. 某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，下表记录了随机抽取的上一年的10个工作日两个车间生产的零件个数： 甲车间 62 63 43 74 73 70 59 70 43 66 乙车间 39 45 50 36 23 20 23 38 51 39 （1）从记录的这10个工作日中随机抽取1天，求甲车间生产的零件个数小于50的概率； （2）用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3天（假设每次抽取的结果互不影响），记X为乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数，求X的分布列和数学期望； （3）从记录的这10个工作日中随机抽取1天，用“ξ=0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40，a）内，用“ξ=1”表示甲车间生产的零件个数在区间[a，80]内.请写出一个实数a的值使得方差D(ξ)取到最大值.（结论不需要证明） 20. 设函数的图象在点处的切线方程为.若函数满足（为函数的定义域），当时恒成立，则称为函数的“点”，已知. （1）若直线l斜率为， （i）求及直线l的方程； （ii）记，讨论函数的单调性； （2）求证：函数有且只有一个“T点”. 21. 已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. （1）判断是否是的4元基子集，说明理由； （2）设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； （3）若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$