精品解析：江苏省扬州市仪征市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末测试试题八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 3. 下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓜熟蒂落 C. 水涨船高 D. 旭日东升 4. 某校为了解八年级400名学生每周课外阅读时间，从八年级9个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 每个八年级学生每周课外阅读是个体 B. 抽取的50名学生每周课外阅读时间是样本 C. 该校400名八年级学生是总体 D. 样本容量是9 5. 在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，且于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 计算：______． 10. 对我国“天宫空间站梦天实验舱”的零部件检查应采用的调查方式为____．（填“普查”或“抽样调查”）． 11. 使分式的值为0，这时x=_____． 12. 若满足，则______． 13. 若关于x分式方程的解为正数，则k的取值范围是______． 14. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_______．（填“”“ ”或“＝”） 15. 如图，矩形的对角线、交于点O，点P是上的一点，连接并延长交于点Q，若，，则图中阴影部分的面积为____． 16. 定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为____． 17. 根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 18. 如图，正方形的边长为5，点E边上一点，，点F是边上的一个动点，连接，将点E绕着点F顺时针旋转到点G，连接，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20 先化简再求值：，其中． 21. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数是 ，通过计算补全条形统计图； （2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是 ； （3）该校共有学生900人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数． 22. 第一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4,估计袋中红球的个数. 23. 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，甲施工队单独修建该项工程比乙施工队单独修建该项工程提前4天完成．求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ 24. 已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图像上； 求值； 当时，直接写出的取值范围． 25. 矩形的顶点E，G分别在菱形的边、上，顶点F，H在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若E为中点，，求菱形的周长． 26. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： （1）根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； （2）猜想的结果，并证明你的猜想； （3）令，，，…，，且，求T的值． 27. 将一副三角板如图1摆放，，，，，将固定，绕着点C逆时针旋转α角度（），、分别交于点M、N． （1）如图1，当与重合时， ； （2）如图2，当时，求面积； （3）如图3，当是等腰三角形时，求α与的值． 28. 如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． （1）若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ （2）若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． （3）实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末测试试题八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列各数中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 3. 下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓜熟蒂落 C. 水涨船高 D. 旭日东升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，符合题意； B．瓜熟蒂落是必然事件，不符合题意； C．水涨船高是必然事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，不符合题意； 故选：A． 4. 某校为了解八年级400名学生每周课外阅读时间，从八年级9个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 每个八年级学生每周课外阅读是个体 B. 抽取的50名学生每周课外阅读时间是样本 C. 该校400名八年级学生是总体 D. 样本容量是9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．抽取的每个八年级学生每周课外阅读时间是个体，原说法错误，故本选项不合题意； B．抽取的抽取的50名学生每周课外阅读时间是样本，说法正确，故本选项符合题意； C．该校400名八年级学生每周课外阅读时间是总体，原说法错误，故本选项不合题意； D．样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意； 故选：B． 5. 在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，添加，则，此时，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，且于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两锐角互余．由旋转的性质可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 7. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解∶过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选∶D． 8. 将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平移后的双曲线的解析式为，联立解析式，利用根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的双曲线的解析式为：， 联立，整理，得：， 设两个交点的横坐标为， 则：， ∵交点的横坐标之和与的值无关， ∴每两个交点的横坐标之和均为， ∴这2024个交点的横坐标的和为； 故选C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 计算：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 10. 对我国“天宫空间站梦天实验舱”的零部件检查应采用的调查方式为____．（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查． 【解析】 【分析】因为“天宫空间站梦天实验舱”的零部件要求精准性非常高，必须普查． 【详解】解：“天宫空间站梦天实验舱”的零部件要求高精准，不能出现误差，必须普查． 故答案为：普查． 【点睛】本题考查了普查与抽样调查的适用范围；掌握两种调查方式的适用范围是解题的关键． 11. 使分式值为0，这时x=_____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 12. 若满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质可得，，即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，先求出分式方程的解，根据关于x的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且，即，， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 14. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_______．（填“”“ ”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知在每一象限内，y随x的增大而减小，根据性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，正确理解性质是解题的关键． 【详解】根据题意，得当时，函数自变量变大，其对应函数值减小，当时，自变量变大，函数值将变小， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线、交于点O，点P是上的一点，连接并延长交于点Q，若，，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，再根据平行线的性质可得，，证得，得，从而可得，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质及全等三角形的判定与性质得出是解题的关键． 16. 定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，根据已知条件中的新定义，把所求式子写成两个分式相减的形式，然后进行通分，从而进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 17. 根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 设出反比例函数解析式，把，坐标代入可得函数解析式，再将代入即可求得结果． 【详解】解：∵在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比 ∴设压强与体积的表达式为， 将，代入得：，解得：， ∴， 当气舱容积为，即时，． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为5，点E边上一点，，点F是边上的一个动点，连接，将点E绕着点F顺时针旋转到点G，连接，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平方式的非负性等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用平方式的非负性求线段的最值问题是解答的关键． 过G作，分别交、于M，N，证明四边形是矩形，可得，，由旋转性质得，，证明得到，，设，则，，在中，利用勾股定理得到，利用平方式的非负性求得的最小值为即可求解． 【详解】解：过G作，分别交、于M，N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 则, ∵，当时取等号， ∴的最小值为， 即最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解分式方程： （1）先根据二次根式的性质化简，合并同类二次根式后，再进行乘法运算； （2）将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：（1）原式； （2）去分母，得：， 解得：， 检验：当时，分式方程无意义， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算除法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数是 ，通过计算补全条形统计图； （2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是 ； （3）该校共有学生900人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数． 【答案】（1）90人，见解析 （2） （3）240人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据在线答题的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；根据条形统计图中的数据，即可计算出在线听课的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）根据统计图中数据，可以计算出校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次调查的学生一共有90人， 在线听课的学生有：（人）， 补全的条形统计图如图所示； 故答案为：90人； 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意得：（人）， 即估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数有240人． 22. 第一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4,估计袋中红球的个数. 【答案】估计袋中红球8个． 【解析】 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 【详解】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：（个． 答：估计袋中红球8个． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 23. 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，甲施工队单独修建该项工程比乙施工队单独修建该项工程提前4天完成．求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ 【答案】甲施工队每天修，乙施工队每天修 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设乙施工队每天修，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙施工队每天修， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：甲施工队每天修，乙施工队每天修． 24. 已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2），；或． 【解析】 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 25. 矩形的顶点E，G分别在菱形的边、上，顶点F，H在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若E为中点，，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明． （1）根据矩形的性质得出，，进而利用AAS证明，利用全等三角形的性质解答即可； （2）连接，根据菱形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， 在菱形中，，， 为的中点， ， 由（1）知，， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ， 在矩形中，， ，即菱形的边长为4． ∴菱形的周长为． 26. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： （1）根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； （2）猜想的结果，并证明你的猜想； （3）令，，，…，，且，求T的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； 【小问2详解】 猜想，证明如下： ∵， ∴ ； 【小问3详解】 ∵， ∴ ． 27. 将一副三角板如图1摆放，，，，，将固定，绕着点C逆时针旋转α角度（），、分别交于点M、N． （1）如图1，当与重合时， ； （2）如图2，当时，求的面积； （3）如图3，当是等腰三角形时，求α与的值． 【答案】（1） （2） （3），；， 【解析】 【分析】（1）过点M作于点G，于点H，根据角平分线定理得到，运用勾股定理计算得到，最后根据三角形面积公式计算，即得答案； （2）过点M作于点F，先求出，再求出，进一步利用直角三角形的性质求出，即可计算的面积； （3）当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，可推得，即点M在的延长线上，不合题意，舍去； ②当时，易得，所以可得；利用面积法可求得，从而可得的长； ③当时，，可求得，从而可得；过点C作于点Q，过点M作于点F，易得，设，根据面积法可列方程，求出a的值，即可求得的长． 【小问1详解】 过点M作于点G，于点H， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ； 【小问2详解】 过点M作于点F， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的面积； 【小问3详解】 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 点M在的延长线上，不合题意，舍去； ②当时， 如图3，， ，； ，，，， ， 即， 解得， ； ③如图，当时，， ， ， ； 过点C作于点Q，过点M作于点F， ， ， 设，则， 由③知， ， ，， ， ， ， 又， ， 解得， ，不合题意，舍去， ， ； 综上所述，，；，． 【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，直角三角形的性质，角平分线定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，用公式法解一元二次方程等知识,运用分类讨论思想及面积法解答是解题的关键． 28. 如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． （1）若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ （2）若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． （3）实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 【答案】（1）①；②，，发现 （2）仍然成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及图像问题，坐标两点的距离公式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据题意利用待定系数法将点求出，再代入点，求出，所以点，将两点A、B分别代入一次函数即可得出答案； ②由①得出方程式可知点，，得，，发现． （2）根据题意将，点分别代入函数得，解得，即一次函数为，得到点，，进而得出，发现恒成立． （3）根据题意得出点E坐标，，所以，求出的一次函数，延长交于y轴于点M，即函数也是函数，求出点M坐标为，因为②中得出结论，即可得出中点N的坐标为，代入函数即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵两点A、B是与的交点， ∴将点A代入，解得，再代入点，解得， ∴， 将两点A、B分别代入得：，解得， 故答案为：． ②由①知一次函数为，即，， ∴，， j即． 【小问2详解】 解：②中的结论是否仍然成立，理由如下： 把点，点代入一次函数中得：，解得：， ∴一次函数解析式为：； 当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴ ∴，， ，仍然成立． 【小问3详解】 解：∵四边形矩形，点，， ∴， 如图2 延长交y轴于M，设直线得解析式为：， 则，解得：， ∴直线得解析式为：， 当时，， ∴， ∴的中点N的坐标为， 在②中对于任意两点，②中得结论都成立， ∴当反比例函数于矩形对角线有交点N时，k有最大值，此时． 故答案为：4.5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$