甘肃省普通高中2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题

2024年普通高中高一年级教学质量统一检测 数学试题 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 中 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占20%，必修第二册占80%。 國 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 如 1.已知集合A={x|1<x4<20},B={1,2,3),则A∩B= 啟 A. B.{2} T C.{2,3} D.1,2,3} 长 2复数&=牛的虚部为 A.1 B.2 C.i D.2i 3.已知直线l,m及平面a,B,且a⊥B,a∩β=l,下列命题正确的是 都 A.若m⊥，则m⊥a B.若m⊥a,则m⊥l C.若m∥a,则m∥l 南 D.若m∥l,则m∥a 4.某射击运动员射击5次的成绩如下表： 的 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 9环 9环 10环 8环 9环 下列结论正确的是 A.该射击运动员5次射击的平均环数为9.2 B.该射击运动员5次射击的平均环数为9.5 C.该射击运动员5次射击的环数的方差为1 D该射击运动员5次射击的环数的方差为号 赵 5.已知单位向量a,b满足(a+3b)·(a一2b)=- ，则a与b的夹角为 A.0 B受 c D 【☆高一数学第1页（共4页）☆】 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAL平面ABCD,PA= AB=3,AD=4,则该四棱锥外接球的表面积为 A.√34π B.2√34r C.34π D.136元 7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最 多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如 五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大 暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为 A号 B号 c D. 合 8已知si血(a-5)+cos(a-)=2w2cos亮sina,则sina-费)= A.0 B司 c号 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数中是偶函数的是 A.y=sin() By=√x C.y=2In x D.y=el=l 10.已知函数f(x)=sin(2x+平)+1，则 A.f(x)的最小正周期为π Bf)的图象关于直线z=受对称 Cf()的图象关于点(-君，1)中心对称 D.f(x)的最大值为1 11,有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割 而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2,则 A.该几何体的表面积为12√ B.该几何体的体积为4 C,直线HM与直线GN所成的角为餐 D二面角BEFH的余弦值为号 H 图1 图2 【☆高一数学第2页（共4页）☆】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上， 12.函数f(x)=2的值域为▲， 13已知正实数a,b满足a十b=9,则子+元的最小值为▲一 14.已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上，且AD经过圆O的圆心，BC=2,CD< AB,四边形ABCD的面积为3十√3，则AB=▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(1,2),b=(2,x). (1)若a⊥(a-b),求|b; (2)若向量c=(一3，-2)，a∥(b+c),求a与b夹角的余弦值. 16.(15分) 如图，在四棱锥D-ABCE中，平面ADE⊥平面ABCE,AB∥CE,AB=2CE,DA=DE,G为 AE的中点，点P在线段BD上，CP∥平面ADE. (1)证明：DG⊥AB. 2*器的位 17.(15分) 已知函数f(x)=Asin(r十p)(A>0,w>0,lpl<5)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； (②设e9为锐角：s血。=号ose十印=-2沿求代0的值 【☆高-数学第3页（共4页）☆】 18.(17分) 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战 赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何 1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则 每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰. 甲，乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲，乙答对每道趣味智力题的概率均为子。 甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若 前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立。 (1)求甲通过第一轮挑战赛的概率； (2)求乙通过第一轮挑战赛的概率， (3)求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率 务 学 怒 19.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin B十csin C=(2 csin B+a)sinA. 榴 (1)求角A. (2)已知a=2. 够 ①求△ABC面积的最大值； ②延长BC至D,使得CD=BC,连接AD,设△ACD外接圆的圆心为O,求d·AD的最 霄 小值. 【☆高-数学第4页（共4页）☆】2024年普通高中高一年级教学质量统一检测 数学试题参考答案 1.BA∩B=2}. 2.B=2士21=21，所以复数：的虚部为2. 1-i 3.B若m⊥a,则m⊥l,B正确. 4.D该射击运动员5次射击的平均环数为9+9十10+8+9=9， 5 5次射击的环数的方差2=号[(9-9)2+(9一9)+(9-10)+(9-8)+(9一9)门=号 5.C因为a+3b)·(a-2b)=a2-6b+a·b=-号，所以a·b=号 osa.b=8i治-， 所以a与b的夹角为季 6.C将四棱锥P-ABCD补全成长方体，则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球，外接 球的半径为号×√3+3十不=，表面积为34 7.A样本空间2={（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， (小满，芒种)，（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种， 大暑)，（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}，共有15个样本点，其中任取2个节气，这 2个节气都在同一个月的样本点有3个，所以这2个节气都在同一个月的概率为5，则这2 个节气不在同一个月的概率为1一号-青 &.A因为sin(a-晋)+cos(a-F)=2sin(a-+平)=√2sin(a+无》 =V2 sin as无+V2 cos asin无-22cos0sina, 所以w2 cos asin无-√2cos无sina,即cos无sina-cos asin无=sin(a-无)=0. 9.ABDy=sin(+受)=cosx,y=VFy=e“是偶函数. 10.ABC)r的最小正周期为，最大值为2，其图象的对称中心为（一吾+经，1，k∈Z,对称 轴为直线x=吾+经k∈乙 1.ABC因为AB=2,所以BE-.该儿何体的表面积为24××(2)=12,3，A正确， 【☆高一数学·参考答案第1页（共4页）☆】 该几何体的体积为2-12×号×号×2×，2×1=4，B正确。 因为HM∥BD,所以直线HM与直线GN所成的角即直线BD与直线DN所成的角，其大 小为.故直线HM与直线GN所成的角为三，C正确。 设EF的中点为O,连接OB,OH(图略)，∠BOH即为二面角BEF-H的平面角.OB=OH -os乙OH-OB2OBF-专，D错说 2OB·OH 12.[1,十o∞)函数f(x)=2的值域为[1，十o©). 1品号名+（号+六店-日号+的+易≥号+2√②·易）-名当且仅当=6 b=3时，等号成立. 14.2√2如图，连接OC,OB,则△OBC是等边三角形，∠BOC=60°.四边形 ABCD的面积为Sam+SAr+5a0s=2×2sin∠COD+7×2× sin∠B0C+7×2sn∠A0B=2(sin∠C0D+号+sim∠AOB)= 2 2红sn∠c0D+号+s(g-∠0oD]=2v5n(∠0oD+号+g=3+ V3,解得in(∠cOD+吾)= 2 因为∠COD∈(0，)，所以∠COD=否或∠COD=受.因为CD<AB,所以∠COD=石，则 ∠AOB=受，所以△OAB是等腰直角三角形，AB=√20A=22. 15.解：(1)因为a=(1,2),b=(2,x),所以a-b=(1,2-x).…1分 由a⊥(a-b),可得a·(a-b)=0,…3分 即-1×1+2(2-x)=0,解得x=号 ……4分 所以b=(2,多 …5分 故61-受 6分 (2)依题意得b十C=(-1x一2).…7分 因为a∥(b+c),所以x-2+2=0, 9分 解得x=0,则b=(2,0). 10分 a·b=2,a=5,lb1=2, 11分 所以cos(a,b)=86-5 a·b=5 【☆高一数学·参考答案第2页（共4页）☆】 所以▣与b夹角的余弦值为得 …13分 16.(1)证明：因为DA=DE,G为AE的中点，所以DG LAE.…1分 因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DGC平面ADE,所以DG⊥ 平面ABCE………3分 因为ABC平面ABCE,所以DG⊥AB. …5分 (2)解：设F为AB的中点，连接CF,PF.…7分 因为AB∥CE,CE=2AB=AF,所以四边形AFCE 是平行四边形，所以CF∥AE.…9分 因为CF庄平面ADE,AEC平面ADE,所以CF∥平面A ADE。 10分 因为CP∥平面ADE,CF∩CP=C,所以平面PFC∥平面ADE. 11分 因为PFC平面PFC,所以PF∥平面ADE.… …12分 因为平面ABD∩平面ADE=AD,PFC平面ABD,所以PF∥AD,…13分 以8那-.… 1.解：由图可得T=%=2X(受+.且w>0,解得。=1.… 2分 由f)=Asin(F+g)=0,g<受，解得9= 4分 由f(0)=Asin=1,A>0,解得A=√2. 6分 故f.x)=2sin(x+牙). 7分 (2)因为a,3为锐角，cos(a十3)<0，所以a+B为钝角， 8分 sin(a+B)=13 /10 50 .cos a=3 10分 sin B-sin(a+Ba)-sin(a+B)cos a-cos(a+)sin a-310 10 …12分 则cos3= 10 5………]3分 10 fg》=V2sin(g+)=sing叶cosg=2 5 15分 18.解：(1)甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为（宁）一256' 3分 甲通过第一轮挑战赛的概率为1一 】 255 256256 …5分 (2)乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为（子）严= 16 8分 【☆高一数学·参考答案第3页（共4页）☆】 乙通过第一轮挑战赛的概率为1一。号 10分 (③)甲，乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为票×品十点×号票 …17分 19.解：(1)由题意可得+c2=(2 csin B十a)a,即2十2-a=2 acsin B.…2分 因为b十c2-a2=2 bccos A,所以2 acsin B=2 becos A,…3分 即asin B=bcos A,所以sin Bsin A=sin Bcos A.…4分 又因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA=sinA,即tanA=1.…5分 又因为A∈(0，，所以A=平 …6分 (2)①因为b+c2一a2=2 occos A,所以+c2-4=√2bc≥2hc-4,解得b≤4+2√2，当且仅 当b=C时，等号成立，…8分 所以△ABC的面积S=besin A=2b≤1十2， 即△ABC面积的最大值为1+√2. 10分 ②设AD的中点为E. CO.AD=(CE+EO).AD=CE.AD+EO.AD=CE.AD 12分 =2Ci+市·(C+C市=2C市-C)=2C$-C)=(a-)=2-2. 14分 因为AB=22,所以6=22snB<22,当且仅当B=受时，等号成立，所以≤ b 8.…16分 故d.A市=2-2≥-2. 综上，C)·AD的最小值为一2. 17分 【☆高一数学·参考答案第4页（共4页）☆】