强化专题01　函数基本性质的综合问题（11大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

强化专题01　函数基本性质的综合问题 【方法技巧】 方法一．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小． (2)求最值． (3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数． ①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较． ②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调． ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 方法二．利用定义判断或证明函数单调性的步骤 方法三．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 4．利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 【题型目录】 题型一：根据单调性求参数 题型二：用定义法证明单调性 题型三、利用函数的奇偶性、单调性比较大小 题型四、利用奇函数、偶函数的图象解不等式 题型五、利用函数的奇偶性、单调性解不等式 题型六：由函数的奇偶性求解析式 题型七：由函数的奇偶性求参数 题型八、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数 题型九：函数的恒（能）成立问题 题型十：抽象函数问题 题型十一、函数性质的综合应用 【例题详解】 题型一：根据单调性求参数 1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：用定义法证明单调性 4．（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 6．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 (1)求的定义域，并判断其奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 题型三、利用函数的奇偶性、单调性比较大小 7．（23-24高一上·陕西渭南·期末）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 题型四、利用奇函数、偶函数的图象解不等式 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型五、利用函数的奇偶性、单调性解不等式 13．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型六：由函数的奇偶性求解析式 16．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 17．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 18．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 题型七：由函数的奇偶性求参数 19．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 20．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 21．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 . 题型八、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数 22．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 23．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 24．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 题型九：函数的恒（能）成立问题 25．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 26．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 27．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，，对任意，存在、，使得，则实数的取值范围是 . 题型十：抽象函数问题 28．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 29．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． (1)证明：； (2)证明：在单调递减； (3)解关于的不等式：． 30．（21-22高一上·四川·阶段练习）设为定义在R上的增函数，且，对任意都有． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，解不等式． 题型十一、函数性质的综合应用 31．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 32．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若在定义域上是增函数，解关于的不等式. 33．（23-24高一上·海南·期末）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【专项训练】 一、单选题 34．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列函数的最小值为2的是（     ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 36．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   37．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 二、多选题 42．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数的定义域为，、都有，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是偶函数 43．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于原点对称 B．的值域是 C．若，则 D．是增函数 44．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 45．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 三、填空题 46．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 47．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 48．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 49．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 50．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)证明：的奇偶性； (2)证明：在区间上的单调性，并求在区间上的值域． 51．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 52．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 53．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 54．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 55．（23-24高一上·江苏无锡·期末）设函数， (1)当时，判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化专题01　函数基本性质的综合问题 【方法技巧】 方法一．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小． (2)求最值． (3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数． ①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较． ②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调． ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 方法二．利用定义判断或证明函数单调性的步骤 方法三．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 4．利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 【题型目录】 题型一：根据单调性求参数 题型二：用定义法证明单调性 题型三、利用函数的奇偶性、单调性比较大小 题型四、利用奇函数、偶函数的图象解不等式 题型五、利用函数的奇偶性、单调性解不等式 题型六：由函数的奇偶性求解析式 题型七：由函数的奇偶性求参数 题型八、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数 题型九：函数的恒（能）成立问题 题型十：抽象函数问题 题型十一、函数性质的综合应用 【例题详解】 题型一：根据单调性求参数 1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意只需，由此对比选项即可得解. 【详解】由题意当时，单调递减，当时，单调递增， 若函数在定义域上是减函数，只需， 解得，对比选项可知的值可以是. 故选：D. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 题型二：用定义法证明单调性 4．（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】利用单调性的定义证明，先对函数变形，然后任取，设，再对函数值作差，化简后判断符号，即可得结论. 【详解】函数在上单调递减，证明如下： 函数， 任取，设， 则， 因为，， 所以， 故，即， 故函数在上单调递减. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 6．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 (1)求的定义域，并判断其奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1)，奇函数； (2)在单调递增，证明见解析 【分析】（1）使函数解析式有意义可求函数的定义域，再利用函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性. （2）化简函数的解析式，判断函数的单调性，利用单调性的定义进行证明. 【详解】（1）要使函数有意义，可得，解得且， 故函数的定义域为， 故 ∴，又定义域关于原点对称.故为奇函数. （2）时，，判断：在单调递增， 下用定义法证之：任取，且， 由得，，， 故，即，故在单调递增. 题型三、利用函数的奇偶性、单调性比较大小 7．（23-24高一上·陕西渭南·期末）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、对称性、单调性来确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 任意，当时都有， 所以在区间上单调递减， ， 所以， D选项正确. 故选：D 8．（23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 故选：C 9．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较函数值的大小. 【详解】若，由，可知，， 所以函数在单调递减， 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 即. 故选：A 题型四、利用奇函数、偶函数的图象解不等式 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 11．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增，， 因为， 当，即时，，即， 所以，即，解得，故； 当，即时，，即， 所以，即或，解得或，故； 综上：或. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解. 12．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A. 题型五、利用函数的奇偶性、单调性解不等式 13．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 14．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案． 【详解】 根据题意，设，， 是定义在,,上的奇函数，即， 故，函数为偶函数， 由题意当时，有，函数在上为减函数， 又由为偶函数，则在上为增函数， 又由，则，同时， 或， 必有或，即的取值范围为. 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式. 15．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案. 【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且，所以可以画出的草图如下：    由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或， 故选：D. 题型六：由函数的奇偶性求解析式 16．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 【答案】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 18．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 题型七：由函数的奇偶性求参数 19．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 20．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可. 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 21．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出m值. 【详解】依题意，，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 当时，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 题型八、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数 22．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【详解】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 23．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据函数图象分类讨论取得最大值时的情况，进而求解即可. 【详解】当时，，草图如下， 所以， 可得，解得； 当时，，草图如下， 所以， 可得，解得（舍）. 故答案为： 24．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值. 【详解】函数的对称轴为直线，因为 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 综上，实数的值是. 故答案为：. 题型九：函数的恒（能）成立问题 25．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 26．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为,则求出的最大值即可;,根据单调性求出的最小值即可. 【详解】, 因为的对称轴为,所以当时,, 则; , 因为的对称轴为,所以当时,为增函数, 则当时,, 即. 故答案为：;. 27．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，，对任意，存在、，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数在区间上的最大值和最小值，以及函数在上的最大值和最小值，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 则， 因为，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 又因为，，故， 因为任意，存在、，使得， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十：抽象函数问题 28．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 29．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． (1)证明：； (2)证明：在单调递减； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证； （2）利用定义法证明函数单调性， （3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式. 【详解】（1）当时，成立， 当时，成立， 当时，，且， 所以，所以， 解得， 综上所述，当时，. （2）由（1）得当时，， 任取，，且， 则，，，， 所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减； （3）由（2）得函数在上单调递减， 又， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 30．（21-22高一上·四川·阶段练习）设为定义在R上的增函数，且，对任意都有． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，解不等式． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）令得，即证； （2）根据，应用抽象函数性质即可证明； （3）由题得，可得，再利用函数单调性可得. 【详解】（1）令 . （2）∵ ∴， 即． （3）， ∴， ∴， 为定义在R上的增函数， 即 ∴不等式的解集为． 题型十一、函数性质的综合应用 31．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 32．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若在定义域上是增函数，解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得及，即可解出参数； （2）根据条件写出不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，所以，又，所以， 所以，经检验，此时， 所以函数为奇函数，满足题意， 所以的解析式为. （2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数， 又在定义域上是增函数， 所以由， 可得， 所以，所以， 所以不等式的解集为. 33．（23-24高一上·海南·期末）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）判断函数在单调递增，再由定义证明即可； （2）原题可转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出函数值域，建立不等式求解即可. 【详解】（1）若，则，在上单调递增. 证明如下： 设且， 则， 因为，所以， 即， 故在上单调递增. （2）对任意，总有，使得， 则在上的值域是在上值域的子集. 因为，所以在上单调递增， 当时，所以的值域为. 当时，在上单调递增，所以的值域为. 由，可得，解得； 当时，，满足题意； 当时，由在时，，由对勾函数性质可知， 只需且，解得. 综上可得，的取值范围. 【点睛】关键点点睛：首先在于对题意理解后，将问题转化为在上的值域是在上值域的子集是解题的第一个关键点，其次在研究值域时，需要分类讨论，结合函数单调性求出值域是第二个关键点. 【专项训练】 一、单选题 34．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列函数的最小值为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断A，利用函数求最值判断BCD . 【详解】对A： ，，当且仅当时取等号， 其最小值为2；故A正确； 对B：时，，其2不为最小值；故B错误； 对C：，当时等号成立，故C错误； 对D： ，当时等号成立，故D错误； 故选：A 35．（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可. 【详解】若，则恒成立，故符合题意； 若. ①当即时，，此时函数的定义域为， 所以恒成立，所以：符合题意； ②当即时，，此时函数的定义域为， 则，所以恒成立，所以：符合题意； ③当即时，函数的定义域为且 则取，则， 令，当时，，可以取得负值， 故不符合题意. 若，则函数定义域为且， 令，则. 当且时，，可以取得负值， 故不符合题意； 综上，，即的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立. 36．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性及特殊位置可判定选项. 【详解】易知，即为奇函数， 其函数图象关于原点中心对称，可排除C、D； 显然当时，恒成立，可排除B，即A正确. 故选：A 37．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 38．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 且对任意的，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减. 易得， 所以由得;由得， 故不等式的解集是. 故选:D. 39．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 40．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 41．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 【答案】A 【分析】由为偶函数，为奇函数的定义得出和的对称性，得出恒等式，利用条件分别求出和的解析式，即可得出答案. 【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故； 由函数为奇函数，则， 整理可得，即函数关于对称， 故； 由，可得， 所以， 故，解得， 所以，所以， 故选：A． 二、多选题 42．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数的定义域为，、都有，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是偶函数 【答案】BC 【分析】通过赋值法求出函数解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】令，得，则， 令，则，① 令，则， 即，② 联立①②可得，则，，A错B对， 函数为增函数，且为非奇非偶函数，C对D错. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对、进行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断. 43．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于原点对称 B．的值域是 C．若，则 D．是增函数 【答案】AB 【分析】首先得到函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，从而判断A，再根据函数的单调性判断B、D，利用作差法判断C. 【详解】函数的定义域为， 因为，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确； 当时，单调递增，，当时，，当时，，即此时函数值域为， 根据奇函数的对称性可知，函数的值域为，故B正确； 若，则，当且仅当时取等号，显然等号无法取得， 所以，所以， 则， 所以，故C错误； 因为，显然函数不单调，故D错误． 故选：AB． 44．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 45．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 三、填空题 46．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意确定为真命题，则只需，设，根据二次函数的性质求得在上的最大值，即可求得答案. 【详解】若是假命题，则为真命题，故， 只需， 设，则在上单调递减， 在上单调递增，其中， 故，所以,即实数的取值范围是, 故答案为: 47．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 48．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是合理赋值从而得到为奇函数，从而求出的值. 49．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 四、解答题 50．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)证明：的奇偶性； (2)证明：在区间上的单调性，并求在区间上的值域． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解，. 【分析】（1）根据解析式有意义求定义域，然后判断和的关系可证； （2）取值、作差、变形，然后根据的范围和大小关系判断的符号即可得证，再根据单调性求出值域即可. 【详解】（1）由解析式有意义可知，函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. （2），且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增. 由上知，在区间单调递增， 所以，即， 所以在区间上的值域为. 51．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）分别令，即可得出答案; （2）令可得：，得出，即可得出周期性； （3）结合（2）的结论，利用定义证明单调性即可. 【详解】（1）令，得，由于当时，因此 令，得，即，因此． （2）证明：令，得， 因此，所以 由周期性的定义可知，函数是以4为周期的周期函数． （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，有 由于，故,由（1）知， 因此，又， 因此 故，因此在上单调递减. 52．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 53．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 54．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 55．（23-24高一上·江苏无锡·期末）设函数， (1)当时，判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值． 【答案】(1)非奇非偶函数；理由见解析 (2) 【分析】由题意得当时，函数，且函数的定义域为，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案； 讨论去绝对值，然后讨论，以及对称轴与区间的位置关系，可求出与的关系式，然后分别求出的最大值，从而可求出所求． 【详解】（1）由题意得当时，函数，且函数的定义域为， ， ，， 是非奇非偶函数； （2）因为当时，若对任意的， 均有成立， 令， 当时，，对任意的恒成立， 即，解得，的最大值为； 当时，，， 对称轴为， ，则，不等号方向改变，即， 所以，则，的最大值为； 时，，即，所以，即，无解； 时，，所以，即， 即，所以无解； 当时，，， 对称轴为， ，则，即，无解； 时，，即，，，则， 则， ，的最大值为； 时，，，， 则且， ，则，的最大值为； 当时，， ，，， 即，则， 而， ，则， 令，， 则，即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以的最大值为 综上所述，对任意的，均有成立， 则的最大值为所有最大值中的最小值 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$