专题11 函数的单调性与最大（小）值-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题11 函数的单调性与最大（小）值 考点一 通过函数图像求单调区间 考点二 函数单调性的证明 考点三 利用单调性解不等式 考点四 求函数的最大（小）值 一、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为A，区间 如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是减函数. 注：(1)属于定义域A内某个区间上； (2)任意两个自变量且； (3)都有； (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 二、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 注：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 三、证明函数单调性的步骤 (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 四、函数单调性的判断方法 (1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。 (2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。 (3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。 (4)记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 五、函数的最值 1.最大值定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有； ②，使得. 那么，称M是函数的最大值． 2.最小值定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有； ②，使得. 那么，称M是函数的最小值． 六、利用函数单调性求函数最值 （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值。 （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值。 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值。 （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是。 （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是。 【常用结论】 1．正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 2．一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. 4．二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 【题型一 通过函数图像求单调区间】 策略方法 (1)根据函数图象写函数的单调区间时,应根据图象的“上升”或“下降”写出单调区间. (2)如果函数f(x)存在两个或两个以上具有相同单调性的单调区间,那么这些区间不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 二、解答题 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数a的值； (3)直接写出的单调区间. 【题型二 函数单调性的证明】 策略方法 利用定义证明或判断函数单调性的一般步骤 一、解答题 1．（22-23高一·全国·随堂练习）证明：函数在定义域R上是增函数． 2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 4．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【题型三 利用单调性解不等式】 策略方法 在求解抽象函数不等式时,利用函数单调性将“f”去掉,使其转化为具体的不等式,此时应特别注意函数的定义域. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数，则满足的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型四 求函数的最大（小）值】 策略方法 1.利用图象求函数最值的方法 (1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点. (3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 2.利用单调性求函数最值的方法 (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·山东潍坊·期中）下列函数值域为的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是减函数 B．， C．若，则的取值范围是 D．在区间上的最大值为0 三、解答题 7．（22-23高一·全国·课堂例题）求下列函数的最小值： (1)； (2)，. 8．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 9．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知函数，且． (1)求； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题11 函数的单调性与最大（小）值 考点一 通过函数图像求单调区间 考点二 函数单调性的证明 考点三 利用单调性解不等式 考点四 求函数的最大（小）值 一、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为A，区间 如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是减函数. 注：(1)属于定义域A内某个区间上； (2)任意两个自变量且； (3)都有； (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 二、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 注：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 三、证明函数单调性的步骤 (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 四、函数单调性的判断方法 (1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。 (2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。 (3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。 (4)记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 五、函数的最值 1.最大值定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有； ②，使得. 那么，称M是函数的最大值． 2.最小值定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有； ②，使得. 那么，称M是函数的最小值． 六、利用函数单调性求函数最值 （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值。 （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值。 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值。 （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是。 （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是。 【常用结论】 1．正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 2．一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. 4．二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 【题型一 通过函数图像求单调区间】 策略方法 (1)根据函数图象写函数的单调区间时,应根据图象的“上升”或“下降”写出单调区间. (2)如果函数f(x)存在两个或两个以上具有相同单调性的单调区间,那么这些区间不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C 二、解答题 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)图象见解析，函数的增区间为：和. 【分析】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【详解】（1）设函数为，所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    函数的增区间为：和. 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数a的值； (3)直接写出的单调区间. 【答案】(1) (2) (3)单调递增区间，单调递减区间， 【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可； （2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值； （3）画出函数图像即可直接写出单调区间． 【详解】（1）根据分段函数解析式可得， 易知；所以 　 即. （2）①当时，， 解得，或（舍）. 　 ②当时，，解得（舍）. 综上可得. 即实数a的值为 （3） 画出函数图像如图所示： 所以，单调递增区间，单调递减区间， 【题型二 函数单调性的证明】 策略方法 利用定义证明或判断函数单调性的一般步骤 一、解答题 1．（22-23高一·全国·随堂练习）证明：函数在定义域R上是增函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用定义法即可证明其单调性. 【详解】证明：任取，且， 则 因为，所以，所以， 所以函数在定义域上是增函数. 2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用具体函数定义域的求法求解即可； （2）先判断的单调性，再利用函数单调性的定义法，结合作差法即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】在上单调递增，证明见解析. 【分析】根据单调性定义，令并应用作差法比较的大小，即可证. 【详解】在上单调递增，证明如下， 令，则， 由，故，所以，即. 所以在上单调递增. 4．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】 在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 【题型三 利用单调性解不等式】 策略方法 在求解抽象函数不等式时,利用函数单调性将“f”去掉,使其转化为具体的不等式,此时应特别注意函数的定义域. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集. 【详解】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为， 故选：A． 2．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由函数单调递增得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】 因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得. 故选：D. 3．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数，则满足的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 则， 故无解； 当时，， 故无解； 当时，要使，有两种情况， 第一种情况，，即时， 此时由于函数在上单调递增， 则，解得； 第二种情况，，即时， 此时， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：根据分段函数解析式，找到临界点，从而分，和三种情况讨论，是解决本题的关键. 4．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性的定义求解即可. 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 5．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式. 【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，    若，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：A 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，即可判断的单调性，不等式，即为，结合函数的单调性解得即可. 【详解】设，则，且， 因为对任意的实数且，，则， 即，所以在上是增函数， 所以不等式，即为，即，所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：B. 【题型四 求函数的最大（小）值】 策略方法 1.利用图象求函数最值的方法 (1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点. (3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 2.利用单调性求函数最值的方法 (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求解． 【详解】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 二、多选题 5．（23-24高一上·山东潍坊·期中）下列函数值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次函数的性质，可直接判断；根据，可判断；对于，函数解析式分离常数后即可求出值域，进而可判断；根据基本初等函数的单调性可判断. 【详解】因为函数的值域为,故错误； 因为， 故函数的值域为，故正确； 因为， 故函数的值域为，则错误； 因为函数在上均单调递增， 所以当时，有最小值， 故函数的值域为，故正确， 故选： 6．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是减函数 B．， C．若，则的取值范围是 D．在区间上的最大值为0 【答案】ACD 【分析】由题意，作图，根据其单调性，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 由图像知在定义域上单调递减，所以A正确； 因为，所以 又因为函数是减函数，所以，所以B不正确； 因为函数是减函数，所以，解得：，所以C正确； 由图像可知D正确. 故选：D. 三、解答题 7．（22-23高一·全国·课堂例题）求下列函数的最小值： (1)； (2)，. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据二次函数性质可求得最小值； （2）根据反比例函数单调性可求得最小值. 【详解】（1）， 当时，函数取得最小值，. （2）在上单调递减， 当时，函数取得最小值，. 8．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明； （2）根据函数在区间上的单调性，代入求值，即得答案. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 函数，任取，设， 则， 因为，，则， 故，即， 故函数在上单调递减； （2）由（1）知函数在上单调递减， 故. 9．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知函数，且． (1)求； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据列方程来求得. （2）根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）得， ， 在上单调递增， 所以最大值为，最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$