第二十二章 二次函数 练习题 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章《二次函数》练习题（含解答） 一、选择题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2． 将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， 所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 4 .二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0）， 则另一个交点的坐标为（   ） A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0） 5 . 已知，，在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6． 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形， 则点B的坐标是（   ） A．（-4，-3） B．（-3，-3） C．（-3，-4） D．（-4，-4） 7． 将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 得到的函数图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9． 二次函数的图像如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个. 10． 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动， 到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动， 到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2）， 则y关于x的函数图象是（   ） A．B．C．D． 二、填空题 11 .试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线， 其解析式为 ． 12．二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A、B两点，P为它的顶点，则S△PAB＝ ． 13． 如图，用总长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成长方形花圃， 设花圃的一边AB为x米，面积为S平方米，则S与x的函数关系式为 14． 二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）， 则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为 15． 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1； 将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；… 如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m = ． 16． 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴有两个交点，与y轴的交点坐标是（0，3）， 把它向下平移2个单位长度后，得到新的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，以下四个结论： ①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c=1，④a﹣b+c＞0中， 其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 17．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式． 18．抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点， 如果AB=2，求新抛物线的表达式． 19 .掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境， 实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示． 掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 20.一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件， 已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现， 该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？    21. 如图，某同学在练习打网球时发现，网球沿与地面成一定角度的方向飞出， 网球的飞行路线是一条拋物线，如果不考虑空气阻力， 网球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系， 根据要求解答下列问题：    (1)在飞行过程中，当网球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，网球从飞出到落地所用时间题多少？ (3)在飞行过程中，网球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 22． 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销． 据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元， 每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 23 .如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1， 图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标． 24．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式；     （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；     （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动， 另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动， 当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大， 试求出最大面积． 参考解答 一、选择题 1．A 2 .D 3．A 4 .C． 5 . D 6 .A 7 .D． 8．D 9. B 10 .C 二、填空题 11 .y=x2﹣4x+3或y=（x﹣2）2﹣1．（答案不唯一） 12．8 13 .S=﹣2x2+24x（7≤x＜12）． 14 . 15 .-1 16 .②③④ 三、解答题 17．解:∵抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0),(1,0)两点,与y轴的交点为(0,4)， ∴ ， 解得, ， 所以,抛物线的解析式为：y=−x²−x+4； 18.解:（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1， 所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2； ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）. （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1， 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2， 所以A（0，0），B（2，0）， 所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 19.（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：该男生在此项考试中不能得满分， 理由：令，则， 解得：，（舍去）， ， 该男生在此项考试中不能得满分． 20.解:（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 21 .（1）解：当时，， 解得，，， 答：在飞行过程中，当网球的飞行高度为时，飞行时间是或； （2）当时，， 解得，， ， 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是． （3）， 当时，取得最大值，此时，， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第时最大，最大高度是． 22.解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）] =（x﹣50）（﹣5x+550） =﹣5x2+800x﹣27500， ∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）； （2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500， ∵a=﹣5＜0， ∴抛物线开口向下． ∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80， ∴当x=80时，y最大值=4500； （3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000， 解得x1=70，x2=90． ∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元． 23.解:（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0）， ∴点A的坐标为（1，0）． 将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示． ∵点A，B关于直线x＝﹣1对称， ∴AM＝BM． ∵点B，C，M三点共线， ∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC． 设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0）， 将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d， 得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为y＝x+3． 当x＝﹣1时，y＝x+3＝2， ∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短． （3）设点P的坐标为（﹣1，m）， ∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4， PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10， BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18． 分三种情况考虑（如图2）： ①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2， ∴18+m2﹣6m+10＝m2+4， 解得：m＝4， ∴点P的坐标为（﹣1，4）； ②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2， ∴18+m2+4＝m2﹣6m+10， 解得：m＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）； ③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2， ∴m2+4+m2﹣6m+10＝18， 整理得：m2﹣3m﹣2＝0， 解得：m1＝，m2＝， ∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）． 综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为 （﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）． 24.解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3； （2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B（3，0）， ∴BC=3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，-3）； ③当BP=BC时， ∵OC=OB=3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）； （3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1， 当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1． 此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$