3.3 幂函数-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

初高中衔接直通车·数学 3.3 寡函数 基础知识整合 1.寡函数的概念 是自变量, 一般地,函数 叫做寡函数,其中 是常数. 2.常见寡函数的图象与性质 霉函数 #77 图象 * R 定义域 [0,十) (-,0)U(0,+) R [0.十o0) [o,十oo) 值域 (-o,0)U(0.+) 奇偶性 奇函数 在[0.十o)上为增 在[o,十)上为 在(0,十)上为 单调性 函数,在(-,0] 在R上为增函数 在R上为增函数 增函数 在(一oo,0)上为 上为 定点 新知自王探究 探究点一 寡函数的概念 m^{2-2m-2-1, 所以n--1. 【典例1】(1)在函数y=x-,y=2x^{} __ 【答案】 y=(x+1)^{},y=3x中,幕函数的个数为( (1)B(2)-1 【方法总结】 B.1 A.0 1.只有形如一x“(其中 C.2 a为任意实数,x为自变量)的函数才是寡函 D.3 数,否则就不是暴函数. (2)霉函数f(x)-(m{}-2m-2)“+al} 2.判断一个函数是否为寡函数的依据是 在(0,十oo)上减函数,则n= 该函数是否为y一x*(a为常数)的形式,函数 【解析】 (1)根据幕函数定义可知,只有 的解析式为一个暴的形式,且(1)指数为常 数;(2)底数为自变量;(3)底数系数为1.形 y-x是幕函数. 如y=(3x)*,y=2x”,y=x+5..形式的函 (2)因为幕函数f(x)=(n②}-2m-2) 数都不是暴函数,反过来,若一个函数为寡函 在(0,十)上是减函数, 数,则该函数也必具有这一形式。 76 第二篇 高中知识预习 [对点训练] (2)因为函数在(0,十)上单调递减,所 已知f(x)=(m^{+2m)”{}m-1,n为何值 以3m-9 0,解得m 3,又m-N,所以 m-1,2. 时,f(x)是(1)正比例函数?(2)反比例函 因为函数的图象关于y轴对称,所以 数?(3)二次函数?(4)幕函数 3n一9为偶数,故n一1,则原不等式可化为 (a+3)-+}<(5-2a)-. 因为y-x在(-oo,0),(0,十)上单 调递减,所以a+3>5-2a>0,或5-2a$ 探究点二 寡函数的图象和性质 【答案】 (1)B 【典例2】(1)如图 C 所示,图中的曲线是寡函 【方法总结】寡函数的性质 数y一x”在第一象限的图 (1)在区间(0,十o)上都有定义,并且图 象,已知n取士2,士四 象都通过点(1,1). (2)若a>0,则寡函数的图象通过原点, 个值,则对应于C,C。,C,C.的n依次为 并且在区间[0,十o)上是增函数,当0a 1 _ _ 时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右; 当a1时,在第一象限内为抛物线形,且开 口向上. 1. (3)若a<0,则暴函数在区间(0,十) C.-#2 上是减函数,在第一象限内为双曲线形,当 从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地 逼近y轴;当x趋于十时,图象在x轴上 方无限地逼近x轴. (2)已知幕函数y=x-*(mN)的图 象关于v轴对称,且在(0,十)上单调递减, [对点训练] 则满足(a十3)-*<(5一2a)*的a的取值范 寡函数y=-3m-4(mz)的图象如图所 围为 ( 示,则n的值为 ) 【解析】(1)根据暴函数y一x”的性 质,在第一象限内的图象,当n0时,n 越大,y一x”递增速度越快,故C 的 曲线越陆峭,所以曲线C。的n=一 A.-1<m4 B.0或2 线C。的n--2. C.1或3 D.0,1,2或3 77 初高中衔接直通车·数学 探究点三 幕函数单调性的应用 比较,直到比较出所有数的大小,若中介值法 【典例3】(1)设a-(){},6一(1)} 不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而 比较出各数的大小, c=(2),则a,,c的大小关系是 _~ B.c>a>b A.a>b>c [对点训练] C.a<b<c D.b>c>a 寡函数f(x)=x*,满足x>1时f(x)>1; 【解析】 构造函数v=x,x0,由该 则a满足条件 ( ) 函数在定义域内单调递增,知1>a→b;又 A.a>1 B.0<a<1 c-2→1,知a c.故c>a>b. C.a>0 【答案】B D.g>0且g去1 (2)已知寡函数f(x)=x,若f(a十1) [归纳小结] f(10一2a),则a的取值范围是 【解析】:f(x)-x--(x>o),易 1.霉函数y三x*的底数是自变量,指数是 常数. 知f(x)在(0,十oo)上为减函数,又f(a十1) 2.幕函数在第一象限内指数变化规律 f(10-2a). 在第一象限内直线x一1的右侧,图象从 a十1>0, a>-1, .{10-2a>0, 上到下,相应的指数由大变小;在直线x 解得a<5, 1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大 a+1>10-2a a>3. 变小. .3a<5. 3.简单霉函数的性质 【答案】(3,5) (1)所有寡函数在(0,十)上都有定义,并且 【方法总结】 比较寡值大小的方法 当自变量为1时,函数值为1,即f(1)=1. (1)若指数相同,则利用寡函数的单调性 (2)如果a>0,幕函数在[0,十)上有意 比较大小. 义,且是增函数. (2)若指数不同,可采用中介值法或估值 (3)如果。<0,幕函数在x三0处无意义, 法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1 在(0,十)上是减函数 学习效一黑-临一测-G A基础巩固练 3.寡函数f(x)=x3-(mEN)在(0,+o) ( ) 1.下列函数是寡函数的是 上是减函数,且f(一x)三f(x),则m可 能为 ( B.y-{ A.y-5 ) A.0 B.1 C.2 C.y-5x D.3 D.y-(x十1)3 4.函数一x}的图象是 ( 2.有下列寡函数:①y=x;②y=x^{};③y= _~ ###7#4## x;④y=xr^{};=x,其中在定义域内为$ ( 增函数的个数为 _ A.2 B.3 C.4 D.5 B A D C 78 第二篇 高中知识预习 $$.已知m=(a^{}+3)-,n=3-,则$ 10.函数y=(n-1)x””为幕函数,则该函 A.m二n 数为 (填序号). B.m<n ①奇函数;②偶函数;③增函数;④减 C.m-n 函数. D.n与n的大小不确定 11.若(3-2m)}>(m+1),则实数m的取 6.下列命题,不正确的是 ~ ) 值范围为 A.霉函数y一x是奇函数 12.(1)求函数的单调区间和函数图 B.暴函数y一x*是偶函数 1 C.寡函数y二x既是奇函数又是偶函数 象的对称中心; D.y一x既不是奇函数,又不是偶函数 7.寡函数f(x)的图象过点(3,③),则f(x) 和函数图象的对称中心;若此函数是由某 的解析式是 个寡函数平移得到,求a,b满足的条件 8.设x(0,1)时,=x^*(ER)的图象 (提示:将函数的表达式化为部分分式,即 在直线y一x的上方,则,的取值范围是 -的形式) B能力提升练 9.如图所示,曲线C 与 C。分别是函数y一x” 和y一x”在第一象限 内的图象,则下列结论 正确的是 ) A.n<n<0 B.m<0 C.n>n>0 D.m>n>0 3.4 函数的应用 新知自王探究 探究点一 一次函数模型 【解析】 由题意知,普通自行车存放 【典例1】 某自行车存车处在某一天总 辆次时,电动自行车存放(4000一x)辆次,则 共存放车辆4000辆次,存车费为电动自行车 y=(4000-x)x0.3+0.2x=-0.1x+ 1200,0x4000. 0.3元/辆,普通自行车0.2元/辆,若该天普 【答案】C 通自行车存放:辆次,存车费总收入为y 【方法总结】 ( 元,则v与x的函数关系式为 ) 一次函数模型的特点和求解方法 A.=0.2x(0x4000) (1)一次函数模型的突出特点是其图象 B.-0.5x(0x4000) 是一条直线, C.y=-0.1x+1200(0x4000) (2)解一次函数模型时,注意待定系数法 D.y=0.1x+1200(0x4000) 的应用,主要步骤是设元、列式、求解 79初高中衔接直通车·数学 x>0时，xf(x)>0→f(x)>0→x2-4x>0→x>4, 则f(x一1)关于(1,0)对称，进而可得y=f(x一1)+1 当x<0时，xf(x)>0→f(x)<0→-x(x+4)<0→x 图象关于(1,1)对称，故y=f(x一1)+1图象的对称 一4， 中心为(1,1). 所以不等式xf(x)>0的解集为（一o∞，一4）U(4,十∞). 3.3幂函数 7.解析：由于f(x)是奇函数，所以图象关于原点成中心对 [基础知识整合] 称，画出f(x)在定义城范国内的图象如图所示，易得 1.y=xxa2.奇函数偶函数奇函数 f(x)<0的解集是(-2,0)U(2,5]. 非奇非偶函数减函数减函数减函数(1,1) [新知自主探究] 典例1对点训练 y=f几x) 解：(1)若f(x)为正比例函数， 5 划十2m=1 答案：(-2,0)U(2,5] (2)若f(x)为反比例函数， 8.解析：因为奇函数的定义域为[3a-4a], 所以3a-4十a=0,得4a=4,a=1. 则m士m--1·→m=-1 m2+2m≠0， 则f(.x)-x3+2h.x+1-h, 又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则=1， (3)若fx为二次函数，则m士m-12 m2+2m≠0， 即f(x)=x3+2.x,则f(a)=f(1)=1+2=3. 答案：3 m=1±g 2 9.D由题意可得a≤2，∴.-2≤a2. (4)若f(x)为暴函数，则m2+2m=1, 10.B因为f(x)为奇函数， 所以m=一1士√2 所以f(x)一f(-x)=2f(x)<0,即f(x)<0: 典例2对点训练 又f(1)=0,则f(一1)=0，f(x)大致图象如下， D暴函数不过原，点，且在第一象限内单调逆减，剩 -3m-4<0.解得-1<m<4,又m∈Z.则m=0,1,2, 3.又该函数关于y轴对称，则函数为偶函数.当m=0 或3时，y=x；当m=1或2时，y=x6,均满足 题意 102x 典例3对点训练 -19 -2 C当x>1时f(x)>1,即f(x)>f(1),f(x)=x为 增函数，则a>0. 所以当f(x)<0时，x∈(-∞，-1)U(0,1). [学习效果检测] 故选B 1.B函数y=5r是指数函数，不是幂函数：函数y=5x是 正比例函数，不是幂函数：函数y=(x十1)3的底数不是自 1山.解析：设g)=fx)+4=兰+，g(-x)=一是 变量x,不是暴函数；函数y=x5是暴函数. 2.B由暴函数性质知②③⑤在定义域内为增函数 bx=一g(x),g(x)是奇函数， 3.Bf(x)在(0，十∞)上是减函数. g(-2)=f(-2)+4=6,则g(2)=-g(-2)=-6,又 所以3m一5<0(m∈N),则m=0或m=1. g(2)=f(2)+4,所以f(2)=-10. 当m=0时，f(x)=x5是奇函数，不合题意。 故答案为一10. 当m=1时，f(x)=x一2是偶函数，满足题意，因此m=1. 答案：-10 12.解：(1)f(x)在（一1,0）上单调递增， 4.Ay=为偶画数，图象关于y轴对称，又专>1，在 证明：Vx1,x2∈（一1,0)，且x1<x2,则一x1>-x2, 第一象限内，图象为下凸递增的. 且-x1,-x2∈(0,1)， 5.B设f(x)=x-1,因为a2+3≥3>0，且f(x)=x-1在 ,函数f(x)在(0,1)上单调递增， (0,十c∞)上为减函数，所以f(a2+3)≤f(3),即m≤n. .f(-x1)>f(-x2), 6.C周为r1=-子所以A正确：(-2 :f(x)为奇函敦， x2,所以B正确：一x=x不恒成立，所以C不正确：y= .f(-x1)=-f(xr1),f(-x2)=-f(x2), x的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D .-f(r1)>-f(x2),即f(x1)<f(x2), 正确. .f(x)在(0,1)上单调递增. (2)f(.x)的最小值为-2. 7.解析：设fx)=,则有30=万=3→a= 理由如下：由题意可知，f(x)的最大值在x=1处取 答案：f(x)=x 得，即f(1)=2, 8.解析：结合幂函数的图象性质可知p<1. ∴.当x>0时，0<f(.x)≤2. 答案：p<1 设x<0,则一x>0,∴.0<f(-x)≤2， 9.A由图象可知，两函数在第一象限内递减，故<0，n f(x)为奇函数，.f（一x)=一f(x), 0.由曲线C1,C2的图象可知1m. .0-f(x)2,即-2f(x)<0, 10.解析：由y=(m一1).xm一m为幕函数，得m一1=1，即m= ,.「(x)的最小值为一2，且在x=一1时取得. 2,则该函数为y=2,故该函数为偶函数，在（一0∞，0）上 (3)函数y=f(x一1)十1图象的对称中心为(1.1). 是减函数，在(0，十∞)上是增函数 理由：由于f(x)为奇函数，所以图象关于(0,0)对称， 答案：② 118 参考答案 11.解析：考查幂函敏y=x,因为y=x寸在定义域[0， 所以a≤x≤12， 十o)上是增函数， 则矩形ABCD的面积为x(16-x). 3一2≥0， 当0<a≤8时，当且仅当x=8时，S=64: 所以(m+1≥0， 解得-1<m<号 当8<a<12时，S=a(16-a), 3一2m>m+1 故m的取值范国为[-1，号) 所以S=/64,0<a≤8， la(16-a),8<a<12. 分段画出函数图象可得其形状与选项C接近 答案：[-1，号) 4.By=0.2十0.1×([x]-3)([x]是不小于x的最小整 12.解：)y=号=1-名在(-，-1D和 数>0，◆x-[=10 (一1，十∞)上均单调递增，对称中心为（一1,1）. 则y=0.9. (2y=8-1+名a-6>0,在(-0，-b)和 5.A本题考查二次函数的应用.结合图形，可得 x十b (一b,十∞)上均单调递减，对称中心为（一b,1). 246,得=24-号 2016 若此函数是由某个琴函数平移，可得a一b=1. 所以a,b满足的条件为a一b=1. 矩移面软S=y=(24-号）-智+2 5 3.4函数的应用 所以当x= 24 =15时，S最大， [新知自主探究] 典例1对点训练 2x(-) B由题意知电阻R与温度t构成一次函数关系，即 R=2+0.0081. 北时)=24号×15=12， 典例2对点训练 6.BC设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15一x) C由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润是 辆，公司获利为L=一x2十21x十2(15-x)=一x2+19.x 生产件数与每件的利润的乘积，为y=[8十2(k一1)门· [60-3(k-1)]=-6k2+108k十378(1≤k≤10)，配方 +30=-(-号)+30+1g. 可得y=一6(k一9)2十864，所以当k=9时，获得利 所以当x=9或x=10时，L最大为120万元. 润最大 典例3对点训练 1.解折：由题意知，组装第A件产品所需时间为入15： 解析：由图象知是一个分段函 数，且各段均是直线，可用待 故组装第4件产品所需时间为=30，解得c=60.将c 定系数法求得， 2外 如图，设OA的表达式为y= =60代入C=15,得A=16. k1x,因为A(30,2),所以2= A 01020304050 30所以=所以y=清 1 答案：6016 8解析：由图知通话2分钟，需支付电话费3.6元：通话5 x(0x30), 分钟需支付电话费6元： 设BC的表达式为y=k2x十b, 当1≥3时，设y=t十b, 因为B(40,2),C(50.3). 所以 2=406:士：解得k2=0b=一2. 别有侣女解得=12山-0… 13=50k2+b. 所以y=1.21(1≥3). 所以y=10-2(40≤x≤60). 答案：3.66y=1.21(t≥3) 15,0≤≤30， 9.D设汽车经过1s行驶的路程为sm,则=，车与 综上可得y=2,30<x<40, 10x-2,40≤x≤60. 人的间距d=(6+25)-61=22-61+25=号4-6)2 十7.当t=6时，d取得最小值7. 5,0≤x≤30. 1 10.C由[4.5]=5，得f(t)=1.6×(0.5×[t]+1)=1.6 ×(0.5×5+1)=5.6.故选C 答案：y= 2,30x<40, 11.解析：设二次函数y=a(x一6)2十11，又图象过点(4,7)，所 01-2,40≤r≤60 1 以a=-1,即y=一(.x-6)2+11.令y≥0，解得6-√T≤ [学习效果检测] x≤6十√T,所以有营运利润的时间为2√1T年.又6< 1,B设函数解析式为y=kx+b(≠0)， 2√Π<7，所以有营运利润的时间不超过7年. 函数图象过点(1,800)，(2.1300)， 答案：7 对合法。9n年释你合0： 12.解：(1)因为某户该月用水x立方米， 按收费标准可知，当0<x≤20时，y=3x: 所以y=500x十300，当x=0时，y=300. 当20<x≤30时，y=20×3+4(x-20)=4x-20: 所以营销人员设有销售量时的收入是300元. 当x>30时，y=[20×3+4×(30-20)+7(x-30)]× 2.C1=2时，汽车行驶的路程为 L.2=8.4x-132. s=50×0.5+75×1+100×0.5=25+75十50=150(km). 3.x,0<x≤20， 3.C设AD长为x,则CD长为16-x. 所以y= 4x-20,20<x≤30， 又因为要将P点围在矩形ABCD内， 8.4.x-132,x>30. 119