第15章 轴对称 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

第十五章 轴对称 知识梳理导图 轴对称 有关概念 等边对等角 轴对称图形9 等腰 性质 三线合一 经过线段中点并且垂直 三角形 定义 于这条线段的直线 定义 判定 等 等角对等边 线段垂直平分线上的点与这 性 线段的垂 轴 腰 三条边都相等，三个 条线段两个端，点的距离相等。质 直平分线 性质内角都相等且每一个 与线段两个端点距离 称 角 等边 内角都等于60° 相等的，点在这条线段 形 三角形 的垂直平分线上 判定 定义 作线段的垂直平分线 三个角都相等的三角 判定形是等边三角形 原命题、逆命题、互逆命题、 逆定理、互逆定理 轴对称 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形 关于x轴对称的两个点的 含30°角 的直角 在直角三角形中，如果一 坐标特征：横坐标相等， 个锐角等于30°，那么它所对 纵坐标互为相反数 三角形 的性质 的直角边等于斜边的一半 关于y轴对称的两个点的 关于坐标轴 坐标特征：横坐标互为相反 对称的点的 实际 解决最短路径问题 数，纵坐标相等 坐标 问题 图案设计 重难疑点解法 分上分点个轴对称及其性质 对称图形解答， 例①(2025·淮安中考)下列交通标志中，属于轴 归纳总烤 本题考查了轴对称图形，熟练掌握其定义是解 对称图形的是( 题的关键， 上分点2线段的垂直平分线 例2(2026·云南昆明五华 B 区月考)如图，∠AOB内一点P, 点P1,P2分别是点P关于 OA,OB的对称点，P1P2交 OA于点M,交OB于点N,若 P1P2=5,则△PMN的周长是( A.3 B.4 C.5 D.6 名师启发根据如果一个图形沿一条直线折 名师启发由条件P与P1关于OA对称，可 叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴 以得到OA为线段PP1的垂直平分线，再根据线段 13 实验班提优训练数学八年级上MJY 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两 名师启发(1)根据“关于x轴对称的点，横坐 端点的距离相等可得MP=MP1,同理可得NP= 标相同，纵坐标互为相反数”列方程组来求解； NP2,由P1P2=P1M+MN+NP2=5,等量代换可 (2)根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐 求得三角形PMN的周长. 标互为相反数”列方程组求出a,b的值，然后代入代 归纳总结 数式进行计算. 本题考查轴对称的性质及线段垂直平分线的 性质，掌握对应，点所连的线段被对称轴垂直平分是 解题的关键， 例3(2025·河北石家庄期中)如图，在△ABC 中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交 BC于点E,且BD=DE, 连接AE, 个关键提醒 (1)求证：AB=EC; 解答本题的突破口是掌握好对称，点的坐标规 (2)若△ABC的周长 B D 律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互 为20cm,AC=9cm,求 为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐 DC长 标互为相反数！ 名师启发(1)根据线段垂直平分线的性质得 到AE=EC,AB=AE,再利用等量代换进行证明； 上分点4等腰三角形的性质与判定 (2)根据三角形的周长公式得到AB十BC+ 例5如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F AC=20,再根据AB=EC,BD=DE来计算可得 分别在边AB,BC,AC上，且BE=CF, 结果 BD=CE. (I)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=50°时，求∠DEF的 度数. B E 名师启发(1)利用“边角边”证明△BDE和 △CEF全等，可得DE=EF,再根据等腰三角形的定 义证明即可；(2)根据一线三等角模型计算即可. 归纳总结 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题 关键是掌握线段的垂直平分线上的，点到线段的两个 端，点的距离相等这个性质。 上分点3平面直角坐标系中的轴对称 例4(2025·甘肃武威凉州区期中改编)已知点 ☆方法技巧 A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b). 掌握等腰三角形的判定与性质、三角形的内角 (1)若点A,B关于x轴对称，求a,b的值； 和定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键。 (2)若点A,B关于y轴对称，求(4a十b)2的值. 14 第十五章 分上分点5等边三角形的性质与判定 归纳总给 本题考查了“手拉手模型”：它是由两个共顶点 例6(2025·山东临沂沂南期末)如图，在△ABC 且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的 中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且 同时，始终存在一对全等三角形.我们把这种模型 AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于 称为“手拉手模型” 点E,F (1)求证：△ABD是等边三角形； 上分点6最短路径 (2)求证：BE=AF. 例7(2025·福建泉州南安期末)如图，在△ABC 中，AD是△ABC的角平分线，点E,F分别是AD, AB上的动点，若∠BAC=50°，当BE+EF的值最小 时，∠AEB的度数为( 名师启发(1)由等腰三角形的性质和已知条 件得出∠BAD=∠DAC=号×120°=60，再由 AD=AB,即可得出结论； A.105°B.115°C.120°D.1309 (2)由△ABD是等边三角形，得出BD=AD, 名师启发过点B作BB'⊥AD于点G,交 ∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF,由 AC于点B',过点B'作BF'⊥AB于点F',与AD交 ASA证明△BDE≌△ADF,得出BE=AF, 于点E',连接BE',可证得△ABG≌△AB'G(ASA), 所以∠EB'G=∠EBG,由“直角三角形两锐角互 余”可得∠AB'F'=40°=∠ABE,所以∠BE'F'= 50°，由此可得结论. 方法技巧 本题属于两动一定的将军饮马问题，解题过程 中涉及全等三角形的性质与判定、轴对称最值问 题、直角三角形的性质等知识，作出对称点，化曲 为直，利用垂线段最短解决问题， 易错易混辦析 )易错点]对于不确定的题干考虑不全面 解析当以AB为腰时，则以点A为圆心，AB 例(2025·四川泸州江阳区期中)如图，已知直 长为半径画圆，与PQ,MN交于3个点，当以点B为圆 心，AB长为半径画圆，与PQ,MN交于3个点，所以这 线PQ⊥MN于点O,点A,B分别在MN,PQ上， 样的点C共有6个 OA=3,OB=4,在直线MN或直线PQ上找一点C, 使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则这样的点 C有(). P A.3个 B.5个 C.6个 D.7个 15 实验班提优训练数学八年级上MJY 答案C 舞析归纳 本题考虑问题要全面，不能只考虑以A为顶 B !点的等腰三角形，同时也必须考虑以B为顶点的 -10123 等腰三角形、 (第4题) 巩固特训 A.4个 B.5个C.7个 D.8个 1.(2025·西安灞桥区一模)如图，M,N为4×4方格纸 动点类题型或涉及三角形分类 中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点 )易错点2 的问题考虑不全面 P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则 点P的个数为( 例2如图(1)所示，在边长为6cm的等边三角 形ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿 线段AB向点B运动.设点P的运动时间为t(s),t> 0.当t= 时，△PAC是直角三角形；如图 (2),若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A 运动，且动点P,Q均以1cm/s的速度同时出发.那 (第1题) 么当t= 时，△PAQ是直角三角形 A.3 B.4 C.5 D.6 2.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点 A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等 腰三角形，则这样的点P共有( (1) (2) ·A(2,3) 解析过点C作CD⊥AB于点D,如图(1) 所示： (第2题) (1) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 '△ABC是等边三角形，且边长为6cm, 3.(2025·湖北荆门期末)定义：等腰三角形的底边长与 ∴.AB=AC=BC=6cm,∠A=∠ACB=60°. 腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比” 点P在边AB上运动， 若等腰三角形ABC的周长为13cm,AB=5cm, .∴.∠ACP<∠ACB=60°， 则它的“优美比”为( ∴.当△PAC是直角三角形时，只能是 ∠APC=90° A.4 CD⊥AB于点D,AC=BC, c号 号 D. AD-BD-7AB-3 cm,ZADC-90, 4.如图，平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1, ∴.当点P与点D重合时，△PAC是直角三 0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P 角形， 在坐标轴上，则这样的点P有(). 此时点P运动的路程为3cm. 16 第十五章 又点P运动的速度为1cm/s, 巩固特训 ∴.此时点P运动的时间t=3÷1=3(s). 5.如图，直线a,b交于点O,∠a=40°，点A是直线 ,动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段 a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位 AB向点B运动， 于直线a的上方，若以点O,A,B为顶点的三角形 ∴.AP=tcm 是等腰三角形，则∠OAB= ,动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿线段 CA向点A运动， ∴.CQ=tcm, ∴.AQ=AC-CQ=(6-t)cm. 0 A .∠A=60°， (第5题) ∴.当△PAQ是直角三角形时，有以下两种情况： 6.(2025·河南商丘民权期末)如图，△ABC是边长 ①当∠APQ=90°时，如图(2)所示： 为21cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B 两点出发，分别沿AB,BC方向匀速移动，其中点 P运动的速度是4cm/s,点Q运动的速度是 3cm/s,当点P到达点B时，P,Q两点都停止运 动，设运动时间为t(s),解答下列问题： (2) (1)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能 在Rt△PAQ中，∠AQP=90°-∠A=30°， 成为等边三角形？若能，请求出t,若不能，请说明 ∴AP=2AQ, 理由. (2)当t为何值时，△BPQ是直角三角形？ 4-6-t, 解得t=2; ②当∠AQP=90°时，如图(3)所示： (第6题) (3) 在Rt△PAQ中，∠APQ=90°-∠A=30°， AQ=2AP,6-1=之，解得1=4 综上所述，当t=2或4时，△PAQ是直角三 角形. 答案32或4 中归纳总烤 此题主要考查了等边三角形的性质及含有 30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形 的性质及含有30°角的直角三角形的性质是解决 问题的关键，忽略分类讨论是本题的易错点. 17 实验班提优训练数学八年级上MJY 素养考向提分 新情境 化举反日 例①(2025·福建福州台江区期末)小王准备在红 1.(2025·河北秦皇岛昌黎期末)如图，一艘海轮位于灯 旗街道旁建一个送奶站，向居民区A,B提供牛奶，要 塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海 使A,B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站 里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔 P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的 C的位置应该在( 居民区A 居民区A 距离为( 居民区B 居民区B 街道 街道 A B 居民区A 居民区B 709 居民区A (第1题) 街道 居民区B 街道 A.40海里 B.60海里 C D C.70海里 D.80海里 2.如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，某交警 解析如图，作点A关于街道的对称点A',连 执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查， 接A'B交街道所在直线于点C, 再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任 ..A'C=AC,.'.AC+BC=A'B. 务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形 在街道上任取除点C以外的一点C,连接A'C, 并说明作法， BC',AC', ∴.AC'+BC'=A'C'+BC'. ,在△A'C'B中，两边之和大于第三边， B ..A'C'+BC'>A'B, ..AC'+BC>AC++BC, 点C到两居民区的距离之和最小 (第2题) 居民区A 居民区B 街道 答案 传统文化 色点 例2(2025·湖南中考)武术是我国传统的体育 本题考查轴对称—最短路径问题，将折 项目.下列武术动作图形中，是轴对称图形的 线最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题 是( 会作对称，点是解此类问题的基础，要求学生能 熟练掌握并灵活应用.另外本题的解答还应用 了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于 第三边 大出 18 第十五章 (1) (2) 解析A.找不到一条直线，使图形沿这条直线 (第4题) 折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项不合 A.20° B.21° C.24 D.25 题意； 跨学科 B.找不到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直 例3 (2025·新疆中考)下列四种化学仪器的示 线两旁的部分能够互相重合，故此选项不合题意； 意图中，是轴对称图形的是() C.能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，故此选项符合题意； D.找不到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，故此选项不合题意. 答案C 的点 本题主要考查了轴对称图形的概念：如果 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直 线是它的对称轴 D 解析A,B,D选项中的图案都找不到一条直 反美 线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互 3.(2025·盐城中考)在非物质文化遗产展区，小明看到 相重合，不是轴对称图形，C选项中的图案是轴对称 如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形 图形 的是( 答案C ⊙点拔 本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对 称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合 B 释反日 5.(2025·广安中考)下列实验仪器的平面示意图中，是 轴对称图形的是( C D 4.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设 计图（蛙同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中 △ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜组件 为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点 P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP, DP,若∠ADQ=25°，则∠DCP的度数为(). 19 实验班提优训练数学八年级上MJY 新考法 音方法技巧 解决动点问题一般分为两个环节：(1)确定动点 例4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 的位置，在动态变化的过程中寻找可确定的因素（即 60°，AB=10cm,若点M从点B出发以2cm/s的速 可确定的量、可确定的位置)是突破问题的关键；利 度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向 用几何图形的性质或图形变换的性质使动，点和这些 点C运动，设M,N分别从点B,A同时出发，运动的 确定因素之间建立联系，从而确定或假定动点的位 时间为ts. 置，大多存在不同位置情况需进行分类讨论；(2)解 (1)用含t的式子表示线段AM,AN的长， 决问题：利用已经学过的等腰三角形的性质、全等三 (2)当t为何值时，△AMN是以MN为底边的 角形的性质和判定等知识来解决问题， 等腰三角形？ (3)当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN 反自 的长 6.(2025·山东淄博张店区期末)如图，已知△ABC,D 为边BC上一点（点D不与，点B,C重合）， (1)尺规作图：作直线MN,使得点A与点D关于 直线MN对称，直线MN交直线AC于点M,交 B 直线AB于点N;(保留作图痕迹，不要求写作法) 解析(1)根据点M和点N的运动速度分别 (2)在(1)的基础上，连接DM,AD,AD交MN于 表示出AM和AN即可； 点P.若已知AB+AC=16,SAARX=24,当MP= (2)根据等腰三角形的定义得出AM=AN,列式 NP时，请求出点D到直线AC的距离， 计算即可； (3)根据直角三角形中30°的角所对的直角边是 斜边的一半，列式计算即可. 答案(1)，AB=10cm, (第6题) .'.AM=AB-BM=(10-2t)cm,AN=t cm. (2),△AMN是以MN为底边的等腰三角形， AM=AN,即10-2t=t,解得t=3, 10 当：-时，△AMN是以MN为底边的等腰 三角形 (3)当MN⊥AC时，MN/BC ,∠C=90°，∠A=60°，.∠B=30°， 'AC-zAB-5 cm. .MN∥BC,∴.∠NMA=30°， AN-AM. 10-20,解得4=号， t=1 7.(2026·贵州遵义期末)[观察思考]在平面直角坐标 系中，若直线l上的所有点的横坐标均为a,则直 当1=时，MN/BC. 线l称直线x=a.如图，直线l上的点的横坐标均 为3，记为直线x=3.探索关于直线x=3对称的 此时cw5-名X1- 2(cm). 点的坐标规律如下： ，20 第十五章 横坐标之间 8. (2025·陕西榆林月考)[问题探究] 已知点 对称轴 对称点 的数量关系 (1)如图(1)，△ACB和△DCE均为等边三角形， A(1,1) 直线x=3 A'(5,1) 1+5=2×3 点A,D,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的 B(0,2) 直线x=3 B(6,2) 0+6=2X3 度数； C(-1,-2) 直线x=3C(7,-2) -1+7=2×3 [问题解决】 (2)如图(2)，四边形ABEC为某小区的平面示意 (1)[特例感知]根据以上图表，可知D(一2，一1) 图，AE,BC为两条人行通道（宽度不计），且 关于直线x=3对称的点D'的坐标为 △ABC区域为等腰直角三角形，∠ACB=90°，物 (2)[规律应用]结合以上规律完成下列问题： 业工作人员计划在人行通道AE上的点D,M两 ①点E(1,一2)关于直线x=2对称的点E的坐 处分别修建一个凉亭，并沿CM铺设一条鹅卵石 标为 路，根据设计要求，△CDE区域应为等腰直角三 ②若点F(1,3)关于直线x=b对称的点F'的坐标 角形，且∠DCE=90°，CM⊥DE于点M.为了精 为(7,3)，则b的值为 准预算，物业工作人员需要知道∠AEB的度数和 (3)[深入拓展]若点P(m,n)与点Q关于直线 CM,AE,BE这三条线段之间的数量关系，请你帮 x=c对称，求点Q的坐标.（用含有m,n,c的代 助物业工作人员计算出∠AEB的度数和CM, 数式表示) AE,BE这三条线段之间的数量关系， 2 45678元 (1 (2) (第8题) x=3 (第7题) 21(第2题) 由题意，得∠D=∠A=90°，∠ACB=∠DCE, AC=CD=40米，AD+DE=140米， ∴.△CAB≌△CDE(ASA),DE=60米， ∴.AB=DE=60米. 故小刚在点A处时，他与电线塔的距离为60米. 3.(1)(10一2t)[解析]点P从点B出发，以2cm/s的 速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为 ts时，BP=2tcm,则PC=(10-2t)cm. (2)存在.理由如下： ①如图(1)，当△ABP≌△QCP时，BA=CQ, PB=PC, D(O P (1) .PB=PC, BP-PC-BC-5 cm,5, 解得t=2.5. .'BA=CQ=6 cm, ∴.2.5v=6,解得v=2.4; ②如图(2)，当△ABP≌△PCQ时，BP=CQ, AB=PC. D (2) (第3题) .'AB=6 cm, ∴.PC=6cm, ∴.BP=10-6=4(cm), 即2t=4,解得t=2. .'CQ=BP=4 cm, .20=4, 解得v=2. 综上所述，当v=2.4或2时，△ABP与△PQC全 等 4.(1)当直线a运动到AB时，t=8÷1=8(秒)，.当 t=8时，移动全部停止， .当0<t≤4时，AP=2tcm; 当4<t≤8时，AP=(16-2t)cm. 综上，AP=2tcm(0<t≤4)或AP=(16-2t)cm (4<t≤8). (2)直线a与AB的距离为(8-t)cm, 当点P在直线a上时，8-t=2t或8-t=16-2t, 解得1一或8 故当：为或8时，点P在直线a上 (3)①当Rt△PAB≌Rt△PMN时，如图，PA= PM,AB-MN. M D (第4题) .'PA=2t cm,DM=t cm,.'.PM=(8-3t)cm, 2=8-3弘，解得4- ②当Rt△PAB≌Rt△NMP时，PA=MN,且AB= PM,即2t=4,且4=8一3t(需要同时满足)， 解得1=2且1=专，这种情况不成立 综上，当t= 时，△PAB与△PMN全等 第十五章轴对称 例1c 例2C[解析]，P与P1关于OA对称， ∴.OA为线段PP1的垂直平分线， ∴.MP=MP1, 同理，P与P2关于OB对称， .OB为线段PP2的垂直平分线， ..NP=NP2, 47 ..MP+MN+NP=P M+MN+NP2=PP2= 则△PMN的周长为5. 故选C. 例3(1).EF垂直平分AC,.AE=EC. AD⊥BC,BD=DE,∴.AD垂直平分BE, ∴.AB=AE,∴.AB=EC. (2).△ABC的周长为20cm, ∴.AB+BC+AC=20cm. .'AC=9 cm,.'.AB+BC=11 cm. .AB=EC,BD=DE, ∴DC=DE+BC-2BE+号EC+2EC BC+AB-(AB+BC)-5.5 cm. 例4(1)：点A,B关于x轴对称， 4w. (a=-8, 解得 b=-5. (2).点A,B关于y轴对称， ÷2a-b=-(26-10, 5+a=-a+b, a=-1, 解得 96=3, .(4a+b)2025=(-4+3)2025=-1. 例5(1)：AB=AC,∴∠B=∠C. 在△BDE和△CEF中， (BD=CE, ∠B=∠C, BE=CF, ∴.△BDE≌△CEF(SAS), ∴.DE=EF,△DEF是等腰三角形 (2).'△BDE≌△CEF, ∴.∠BDE=∠CEF, .∠BED十∠CEF=∠BED+∠BDE. :∠B+(∠BED+∠BDE)=180°， ∠DEF+(∠BED+∠CEF)=180°， ∴∠B=∠DEF. ,∠A=50°，AB=AC, ∠B=2×180°-50)=65， 》48 5, ∴.∠DEF=65° 例6(1)：AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠DAC-∠BAC. .∠BAC=120°， “∠BAD=∠DAC-2×120°-60 'AD=AB,∴.△ABD是等边三角形 (2),△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD. ∠EDF=60°，∴∠ADB=∠EDF, ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, ∴.∠BDE=∠ADF 在△BDE与△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60°， BD=AD, ∠BDE=∠ADF, ∴.△BDE≌△ADF(ASA), .'.BE=AF. 例7B[解析]如图，过点B作BB⊥AD于点G, 交AC于点B',过点B作B'F'⊥AB于点F',与AD 交于点E',连接BE',此时BE十EF的值最小 B ,AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠B'AD=25°， .∠AE'F'=65. ,BB'⊥AD,.∠AGB=∠AGB'=90°. .AG=AG,∴.△ABG≌△AB'G(ASA), ∴.BG=B'G,∠ABG=∠AB'G, ∴AD垂直平分BB',.BE=B'E, ∴.∠EB'G=∠E'BG,∴∠AB'E'=∠ABE'. ∠BAC=50°，∠AB'F'=40, .∠ABE=40°，.∠BEF'=50°， ∴.∠AE'B=115°.故选B. 巩固特划 1.C[解析]如图， (第1题) 分三种情况： 当MP=MN时，以点M为圆心，MN长为半径 作圆，则点P1,P2即为所求； 当NP=NM时，以点N为圆心，NM长为半径 作圆，则点P3即为所求； 当PM=PN时，作线段MN的垂直平分线，则点 P4,P,即为所求， 综上所述，若△MNP为等腰三角形，则点P的个 数为5.故选C 2.D[解析]如图所示，满足条件的点P共有8个. A(2,3) (第2题) 故选D. 3.C[解析]分两种情况： 当等腰三角形的腰长为5cm时， .等腰三角形的周长为13cm,∴.等腰三角形的底 边长=13-5-5=3(cm), ∴这个等腰三角形的“优美比”为， 当等腰三角形的底边长为5cm时， 等腰三角形的周长为13cm, :等腰三角形的腰长=13,5=4(cm, 2 “这个等腰三角形的“优美比”k为是. 综上所述，它的“优美比为号或。 故选C. 4.C[解析]如图， (第4题) 以A为圆心，AB长为半径画圆，与x轴有1个交 点（除点B以外）； 以B为圆心，AB长为半径画圆，与x轴有2个交 点，与y轴有2个交点； 作AB的垂直平分线，与x轴、y轴各有1个交点， ∴这样的点P有7个.故选C 易错警示本题作图时应注意以，点A为圆心，AB 长为半径的圆与y轴没有交点，故本题只有7个 点满足条件. 5.40°或70°或100°[解析]如图，要使△OAB为等 腰三角形，分三种情况讨论： B,6 B B Ka 0 A (第5题) ①当OB1=AB1时，∠OAB1=∠a=40°； ②当QA=AB2时，∠OAB2=180°-2X40°=100°； ③当0A=0B,时，∠0AB,=∠0B,A=号× (180°-40)=70°. 综上所述，∠OAB的度数是40°或70或100°. 6.(1)能.理由如下： △ABC为等边三角形，∴∠B=60°. 根据题意，得AP=4tcm,BQ=3tcm, .BP=(21-4t)cm. ,当BP=BQ时，△BPQ为等边三角形， .21一4t=3t,整理，得7t=21,解得t=3, 49 ∴当t=3时，△BPQ是等边三角形 (2)'.'AP=4t cm,BQ=3t cm, .∴.BP=(21-4t)cm, 当∠BQP=90时， ∠B=60°，∠BPQ=90°-60°=30°， ∴BQ-号BP,即3a-2(21-40, 解得一引 当∠BPQ=90时，同理BP= 2BQ, 1 即21-4t=2×3t,整理，得11=42， 解得：一-吕 综上所述，当：器或（行时，△BPQ是直角三 角形 超e反9 1.D[解析]由题意，得MN=2×40=80(海里). ∠M=70°，∠N=40°， .∠NPM=180°-70°-40°=70°， ∴.∠NPM=∠M, ∴.NP=MN=8O海里.故选D. 2.如图，分别作A,B关于公路m,n的对称点A', B',连接A'B'分别交m,n于M,N两点，连接 AM,BN,则A→M→N→B即为最短路线. M (第2题) 3.B[解析]A,C,D选项中的图案都不能找到这样 的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿这条直 线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴 对称图形.故选B. 4.A[解析].点P与点A关于直线DQ对称， ，50 ∠ADQ=25°， ∴.∠PDQ=∠ADQ=25°，AD=DP. :△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三 角形， ∠CDB=∠ADB=45°，CD=AD, ∴.∠CDP=∠CDB+∠ADB+∠PDQ+ ∠ADQ=140°. .AD-DP,CD-AD, ∴CD=DP,即△DCP是等腰三角形， ÷∠DCP-=2×180°-∠CDP)=20 故选A. 5.D 6.(1)如图，直线MN即为所求. B (第6题) (2)如图，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥ AC于点F, 由对称可知MN⊥AD. .MP=NP,∴.AM=AN, .∠PAM=∠PAN, ..DE=DF. :SMm=号AB·DE,Sm=)AC·DF, .1 1 SAAR=SMAWD+SAc-2(AB+AC)DF- XI6DF-8DF. S△ABC=24,.8DF=24,∴.DF=3, .点D到直线AC的距离为3. 7.(1)(8,一1)[解析]由题意，得关于直线x=3对 称的点纵坐标相同，横坐标和为2×3=6， .D(一2，一1)关于直线x=3对称的点D的坐标 为D'(6-(-2),-1),即(8，-1)， (2)①(3，一2)[解析]由规律可知，关于直线x= a对称的点纵坐标相同，横坐标和为2a, ∴.点E(1,一2)关于直线x=2对称的点E的坐 标为(4-1，-2)，即(3，-2). ②4[解析]，点F(1,3)关于直线x=b对称的 点F的坐标为(7,3)， ∴.1+7=2b,.b=4 (3)由规律可知，关于直线x=c对称的点纵坐标 相同，横坐标和为2c,∴.若点P(m,n)与点Q关于 直线x=c对称，则点Q的坐标为(2c一m,n). 8.(1).△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE. 在△ACD和△BCE中，AC=BC,∠ACD= ∠BCE,CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS), ∴.∠ADC=∠BEC ,△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60° ,点A,D,E在同一直线上， ∴.∠ADC=180°-∠CDE=120°， .∠BEC=120°， ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. (2),△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ..CA=CB,CD=CE,/ACB=/DCE=90°， .∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中，CA=CB,∠ACD= ∠BCE,CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC ,△DCE为等腰直角三角形， ∴.∠CDE=∠CED=45°. 点A,D,E在同一直线上 ∴.∠ADC=180°-∠CDE=135°， ∴.∠BEC=135°， ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. .CD=CE,CM⊥DE, ∴.DM=ME .∠DMC=90°，∠CDE=45°， ∴.∠DCM=45°=∠CDE, .'.DM=CM, ∴.AE=AD+DE=BE+2CM. 综上，∠AEB的度数为90°，CM,AE,BE这三条 线段之间的数量关系是AE=BE+2CM. 第十六章整式的乘法 例1D(1)25=(25)1=32,34=(34)1=811, 533=(53)11=1251,622=(62)1=361, 321<361<811<1251, .255<622<34<533 (2P=99-9X1)°_9X11°_119 9299×9g×9gwQ=1 990, .P-Q. 例2(1)绿化区域的面积为(5a+b)(2a+b)一 2(a+b)2=10a2+7ab+b2-2(a2+2ab+b2)= (8a2+3ab-b2)平方米. 故绿化区域的面积为(8a2+3ab-b2)平方米. (2)当a=3,b=2时，8a2+3ab-b2=8×32+3×3X 2-22=86(平方米). 故绿化区域的面积为86平方米。 例3(1)设n-2022=a,2026-n=b,则a十b= 4,a2+b2=(n-2022)2+(2026-n)2=4. ,(a+b)2=a2+2ab+b2,即16=4+2ab, ..ab=6, 即(n-2022)(2026-n)=6. (2),正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3, .'.DE=MF=x-1,EM=DF=x-3. 设x-1=a,x-3=b, ∴.a-b=x-1-(x-3)=2. ,长方形EMFD的面积是24， ∴.EM·MF=(x-3)(x-1)=ab=24, ∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab=22+4×24=100. .a+b>0,∴.a+b=10, ∴.S阴影部分=S正方形MNPF一S正方形GHDF =(x-1)2-(x-3)2=a2-b2 =(a+b)(a-b)=10×2=20. 巩固特训 1.2(m+n)102.-2.7X10103.a8 4.(1)-11[解析].x2+x一1=0， .x2=-x+1, .(x+4)(x-3)=x2+x-12 =-x+1+x-12=-11. 51