2.2 基本不等式-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

初高中衔接直通车·数学 2.2基本不等式 基础知识整合G运可 1.两个不等式 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 不等式 内容 等号成立条件 不小于它们的几何平均数 2.基本不等式与最值 当且仅当 a+b 重要不等式 时 已知x,y都是正数， 2ab(a,b∈R) 取“=” (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y 时，和.x十y有最小值2√P; √ab 当且仅当 (2)如果和x十y等于定值S,那么当x=y 基本不等式 at 时 2 (a>0,b>0) 取“=” 时，积xy有最大值S. 生中叫做正数ab的算术平均数6叫敏 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等 式求最值时，必须有①x,y>0,②和（积） 正数a,b的几何平均数， 为定值，③存在取等号的条件， 新知自主探究c3。 ◆◆◆ 探究点一基本不等式的简单应用 (2)因为0<a<1,0<b<1,a≠b, 【奥例】①已知m=a+2a>2 所以a+b<2,a2+b2>2ab,而a2+b2 (a+b)=a(a-1)+b(b-1). n=2-b(b≠0)，则m,n之间的大小关系是 因为0<a<1,0<b<1, 所以a(a一1)<0，b(b-1)<0, 所以a2+b2-(a+b)<0, (2)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a十 即a2+b2<a+b,所以2最大. b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是 【答案】(1)m>n(2)2 【解析】(1)因为a>2,所以a一2>0， 【方法总结】 又周为m=a十。己2=(a-2)十。是 -2+2. 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注 所以m≥2 (a-2)·1。+2=4, 意观察其形式（和与积），同时要注意结合函 a-2 数的性质（单调性） 由b≠0，得b≠0，所以2-b2<2,n= (2)利用基本不等式时，一定要注意条件 2-b<4,综上可知m>n. 是否满足a>0,b>0. 44 第二篇高中知识预习 1 [对点训练] 当且仅当5-4x=。=4x,即x=1时，等 号成立. 已知a,b,c都是非负实数，试比较a+b+ √+cZ+√c2+a与2(a+b+c)的大小. 故)=4红-2十写的最大值为1. (2)解法-由x+3y=5xy可得+ 5y 1，所以3x+4=(3x+4+) 5x 昌++影+>3+号-5 5y 5x 5 5 当且仅当5-2，即x=1y=号时等 5y5.x 号成立，所以3x十4y的最小值是5. 解法二由x+3y=5xy,得x=5y' 3y 因为>0，y>0,所以>号，所以3江十 4y= 兴+w 13(-++4w 探究点二利用基本不等式求最值、范围 5-】 【典例2】1)若x<号则fx)=4r 13+9. 5 +(）+ 2十4x-5的最大值为 (2)若正数x,y满足x十3y=5.xy,则 3x十4y的最小值为 当且仅当y=号时等号成立， 【解析】()国为x<名， 所以(3x十4y)mim=5. 【答案】(1)1(2)5 所以5-4x>0, 【方法总结】 则)=红-2+己-（5-4r+ 利用基本不等式求最值的方法 5)+3≤-25-4写+3 利用基本不等式解决条件最值的关键是 -2+3=1. 构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： 45 初高中衔接直通车·数学 (1)常用构造定值条件的技巧变换：①加 【解析】(1)x+2y=(x+2y)· 项变换：②拆项变换：③统一变元；①平方后 (层+}）=2++号+2≥8，当1仅当= 利用基本不等式· (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函 工，即4y=x时等号成立. 数最值. 由x十2y>m2+2m恒成立， 【易错警示】使用基本不等式求最值， 可知m2+2m<8,m2+2m-8<0, 解得-4<m<2. “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. (2)因为x>0,a>0. 【提醒】1.利用基本不等式求最值，一 所以f(x)=4x+a≥24.x·a=4a, 定要注意应用条件： 2.尽量避免多次使用基本不等式，若必 当且仅当4r=,即4r=a时f(x)取 须多次使用，一定要保证等号成立的条件 得最小值，因为x=3,所以a=4×32=36. 【答案】(1)D(2)36 一致. 【方法总结】 [对点训练] 求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定 函数y= +2(x>1)的最小值为 x-1 相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题 时，往往将已知不等式看作关于参数的不等 探究点三 利用基本不等式求参数的值、 式，体现了主元与次元的转化. 范围 (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存 【典例3】(1)若两个正实数x,y满足 在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上 恒成立台f(x)mn>A; 2+1=1,并且x+2y>m2+2m恒成立，则 若f(x)在区间D上存在最大值，则不 x y 等式f(x)<B在区间D上恒成立台 实数m的取值范围是 f(r)mx<B. A.(-∞，-2)U[4,+∞) [对点训练] B.(-o∞，-4]U[2,+∞) C.(-2,4) 已知不等式(x+)(子十号)≥9对任意的 D.(-4,2) 正实数x,y恒成立，则正实数a的最小 值为 (2)已知函数f(.x)=4x+a(.x>0,a>0) A.2 B.4 在x=3时取得最小值，则a= C.6 D.8 46 第二篇高中知识预习 学习效果检测G3 A基础巩固练 8.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地， 1.若a,6都是正数，则(1+)·(1+)的 则矩形场地的最大面积是 m2. B能力提升练 最小值为 ( 9.(多选题)下列式子，正确的有 A.7 B.8 C.9 D.10 A.a2+1>2a +≥2 B. 2.若0≤x≤6，则f(x)=Jx(8一x)的最大 C.atb=2 值为 ”√ab AS 10.(多选题)已知a>0,b>0,a+2b=1,下 B.4 列说法正确的是 c D.5 Aa日 Bd+46≥司 3.若f)=+己2>2)在x=n处取得 Cah+6<号 D。品 最小值，则n ( 11.设a>0,b>0,给出下列不等式： A号 B.3 ①a2+1>a:@(a+b+6）≥4： D.4 ③(a+b(0+2）≥4：④a2+9>6a. 4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 其中恒成立的是 (填序号). 2m、形状为直角三角形的框架，在下列四 12.某公司设计了如图所 种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费 示的一块绿化景观地 最少)的是 ( 带，两条平行线段的两 A.6.5m B.6.8m 端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景 C.7 m D.7.2m 观地带的内圈周长为400m,当平行线段 当>1时：不等式十≥a+1恒成 的长设计为多少时，中间矩形区域的面 积最大？ 立，则实数a的取值范围是 ( A.{aa≤2 B.{aa≥2 C.{ala≥3} D.{aa≤3 6.若a>0,b>0,且a十b=4,则下列不等式 恒成立的是 () Aasi B+1 C.Jab≥2 D.a2+b≥8 7.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值 为 47初高中衔接直通车·数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 7.解析:由a^{}+a<0得a<-^②},所以a<0且a→-1,所 以a<-a②<a?<-a. 2.1 等式性质与不等式性质 答案:a<-a?<a?<-a [基础知识整合] 8.解析:对于①,若a>0,a>b,则a>b>0或0>a>,所 $$ $$=$$<$a-b>0$a-b-0$$a-bo$$$$$ 3.(1)ba ba (2)a>c a>c (3)a+c>b+c (4)ac>bc acbe (5)a+c>b十d (6)ac>bd -1.d=-3,则a-c-3,b-d-4.所以a-c>b-d不 (7)a“>b 成立,②错误;对于③,对于正数a,b,n,若ab,则am [新知自主探究] <bm,所以ab+am ab+bm,即a(b+m)<b(a+m). 典例1 对点训练 #。③正确 (1)解析:矩形菜园靠墙一边长为xm,则另一边长为 30-m,即(15-)m, 综上,正确的命题序号是①③. 2 答案:①③ (0<:<18. 9.C 因为x>y>z,x十y十z=0. 根据已知得 {(15-)216. 所以3xx十y+-0,3<x+y十z-0. 所以x>0,<0. (0<x<18, {x0,可得xy>xx. 答案: 所以由 (15-)>216 y:, 10.A (2)解:/)2.5%, c-ba-c(c-b)(a-c) 2.3%. - 典例2 对点训练 (c-b)(a-c) (1)A c-b-4-4a+a2=(2-a)?>0. __0 “.a<b<c.c-b>0,a-c0,a-b<0. 所以c二b,将题中两式作差得2-2十2a^{2},即b-1 2. 因为1+?-a-(a-){}3→o.,所以1+^{→a, 11.解析:解法-:a6o..0~11. 所以b-1+a?>a.所以cb>a. (2)解析:把/,看成变量, 则m^pn,mqn,即得mpqn 答案:m<qn :abo..a-b>0,ab>o.1+ab>0. [学习效果检测] .(a-)(1+ab)# 0,则a+→+. 1.BC 因为每个矩形模板需要5张A薄板,每个菱形模 ab 板需要3张A薄板,每个圆模板需要10张A薄板,且 答案:> 共有55张A薄板,所以5x十3y十10 55.因为每个矩 12.解:·15 b36..'.-36<-b<-15. 形模板需要12张B薄板,每个菱形模板需要6张B薄 .12-36~a-b<60-15. 板,每个圆模板需要13张B薄板,且共有125张B薄 板,所以12x+6y+13 125.故选BC. 2.A取a=-2,b--1,则1不成立. # -ba 3.C 由<0,可得o>a>6,所以lal<b引,故①② 'a-b的取值范围是(一24,45), ab ##的取值范因是(14). 不成立: 所以a+b<0<a,a③→b都成立,故③④一定正确。 2.2 基本不等式 4.D 由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 小时,即<1,故选D. [基础知识整合] {P60 1.“a-6”< -b [新知自主探究] b 典例1 对点训练 (2+)一 所以若a>b>1,显然a十 解:因为a^{②}+b2>2ab,所以2(a{}+b2)→(a+b){}, 。。 显然不等式a+→6+十成立,但a>6>1不成立,所 以必要性不成立. 6.A 因为2<m<7,-3<n<-1. 所以6<3m~21,-6<2n-2 c)十(c十a)]. 所以0<3m+2n19. 即 {+b}+b+c+ c2+a{}→②(a+b+c),当且仅 故选A. 当a一b一c时,等号成立. 110 参考答案 十(10 2 典例2 对点训练 则y=r(10--)< 2+2 解析:y= (-2x+1)+(2x-2)+3 r-1 r-1 当且仅当x-10-x,即x=5时,ymx=25$ 答案:25 3+22、3+2. 9. BD:'a?-2a+1=(a-1){②0. -1 'a②}+1二2a,故A不正确; 当且仅当x-1--3 -3,即x-3十1时,等号成立. =十→2(当且仅当x-1时取 答案:2③+2 “一”); 27 典例3 对点训练 =-- 1>2(当且仅当x--1 ry 时取“一”),.B正确; 若-b-1,则{--2<2,故C不正确; (+1)②(x,y,a0),当且仅当y=ax时取等号,所 Va 十1)②→9恒成立,所以a4. “一”),故D正确。 2十1 [学习效果检测] 10.ABC a>0.b>0,a+2-1. 1.C 因为a,6都是正数,所以(1+)(1+)-5+ 5# 号成立,于是ab,A正确; 2.B 因为0<x<6,所以8-x>0,所以f(x) (8-)<十(8-)-4,当且仅当x-8-x,即x= 当-26-时等号成立,B正确: 2 2 4时,等号成立,故f(x)的最大值为4. ()##(代# 对于C,显然a 十b→b>0,则ab+b=b(a+b) $ 3.B 由/(c)-x1 +-2+24当且仅 当x-2-- _2→0,即:-3时,取得等号. 4.C 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长 为1,则ab-2,所以 ab-4,l-a+b+a{十 2 ab十2ab-4十22~6.828(m).因为要求够用且 故选ABC. 浪费最少,所以选7m最合理. 5.A 由题意,只需在x→>1时.(+)a十1即可, 成立; 又x>1,则x-1>0,故x+1 #由$于(a+)(6+号-+△+△+# →:-2 2-1 时等号成立,故(+_) ##当### -3,所以a十1<3→a< _“ 2.即实数a的取值范围为aa2),故选A. 6.D 4=a十b2vab(当且仅当a-b时,等号成立),即 即a一b一1时,等号成立,故②恒成立; #.选项A,C不成立:1+1 #由子(ao0(+-2+#2+~## 4.当且仅当一,即a-时等号成立,故③恒成立; 16-2ab一8. 当a-3时,a十9-6a,故④不恒成立。 7.解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a,,则 综上,①②③正确. 2+1-a+b+a2十→2、ab+V2ab,解得ab寸. 答案:①②③ 12.解:设平行线段长为xm,半圈形直径为dm,中间的 矩形区域面积为Sm{}。 当且仅当a-- 由题意可知S-xd,且2x十xd-400, 答案: 当且仅当xol-2x=200即200 20.x-100时,等号成立。 8.解析:设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为ym?,则 的面积最大,最大为2000m2。 所以当平行线段的长设计为100m时,中间矩形区域 另一边为x(20-2x)=(10-x)m; T 111