第2课时击数的最大值、最小值-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

第二篇高中知识预习 第2课时 函数的最大值、最小值 基础知识整合c运D ◆◆◆ 1.最大值 2.最小值 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I,如果存在实数M满足： 域为I,如果存在实数M满足： ①Vx∈I,都有 ①Hx∈I,都有 ②3x∈I,使得 ②3x∈I,使得 那么，称M是函数y=f(x)的最大值， 那么，称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义：函数y=f(x)的最大值是图 (2)几何意义：函数y=f(x)的最小值是图 象 的纵坐标 象 的纵坐标。 新知自主探究G运D ◆◆◆ 探究点一 图象法求函数的最值 【典例1】(1)函数f(x)在区间[-2,5]上 的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值 分别是 【答案】10 (3)若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两 个函数中的较小者，则(x)的最大值为() 12 A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 【解析】在同一坐标系中，作出函数的图 A.-2,f(2) B.2,f(2) C.-2,f(5) 象（如图中实线部分），则f(.x)=f(1)=1,故 D.2,f(5) 选B. 【解析】由函数的图象知，当x=一2时， 有最小值一2：当x=5时，有最大值f(5) 【答案】C x2,-1≤x≤1， y=2-x (2)已知函数f(x) 则 x>1 【答案】B f(x)的最大值、最小值分别为 【方法总结】 图象法求最值的一般步骤 【解析】作出函数f(x)的图象（如图）. 作出函数图象 由图象可知，当x=士1时，f(x)取最大值 在图象上找到最高点和最低点的纵坐标 f(士1)=1.当x=0时，f(x)取最小值f(0) =0,故f(x)的最大值为1，最小值为0. 确定函数的最大（小）值 69 初高中衔接直通车·数学 [对点训练] 【方法总结】 函数的最值与单调性的关系 函数y=f(x)的图象如图所示，在区间 (1)若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减 [一4,1]上的最小值是 函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a), 最小值为f(b) (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增 4-301 4 函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b), A.-4 B.-3 最小值为f(a). C.0 D.1 [对点训练] 探究点二 利用函数的单调性求最值 1 【典例2】（1)函数y=x-在[1,2]上 函数y 在[2,3)上的最小值为() 的最大值为 A.2 A.0 B号 c D- C.2 D.3 探究点三 求二次函数的最大（小）值 【解析】函数y=x在[1,2]上是增函 【典例3】(1)已知函数f(x)=x2+2.x+a 数，函数y=一1在[1,2]上是增函数， (x∈[0,2])有最小值一2，则f(x)的最大值为 所以函数y=工1在[1,2]上是增函数。 ( A.4 B.6 13 当x=2时，ymx=2-2=2 C.1 D.2 【答案】B 【解析】函数f(x)=x2十2x+a的对 >1, 1 称轴为x=一1，在[0,2]上为增函数，所以 (2)函数f(x)= 的最大 f(x)的最小值为f(0)=a=一2，f(x)的最 -x2+2,x<1 大值为f(2)=8十a=6. 值为 ( 【答案】B A.1 B.2 (2)已知函数f(x)=x2一6x+8,x∈ c n [1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a 【解析】当>≥1时，函数f(x）=1为减 的取值范围是 【解析】如图可知f(x)在 函数，此时f(x)在x=1处取得最大值，最大值 [1,a]内是单调递减的， 为f(1)=1:当x<1时，函数f(x)=-x2十2在 又f(x)的单调递减区间为 x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2.综上可 (-∞，3]，.1<a≤3. 得，f(x)的最大值为2，故选B. 【答案】B 【答案】(1,3] 70 第二篇高中知识预习 【方法总结】 (2)单调性法，通过研究函数的单调性来求 求解二次函数最值问题的顺序 函数的最值： (1)确定对称轴与抛物线的开口方向，作图. (3)特殊函数法，利用特殊函数[如一次函 (2)在图象上标出定义域的位置. (3)观察单调性写出最值， 数、二次函数、反比例函数、函数y=r十“ [对点训练] (a>0)]的单调性来求其最值， 函数f(x)=2x2-m.x十3，当x∈[-2， 2.函数的值域与最大（小）值的区别 十∞)时是增函数，当x∈（一∞，一2]时是 (1)函数的值域是一个集合，函数的最值是 减函数，则f(1)= 一个函数值，它是值域的一个元素，即定义 A.10 B.-3 C.13 D.1 域中一定存在一个xo,使f(x0)= [归纳小结] M(最值). 1.求函数最大（小）值的常用方法 (2)函数的值域一定存在，但函数并不一定 (1)值域，求出函数f(x)的值域，即可求其 有最大（小）值，如y=x在x∈（一1,1）时 最值： 无最值. 学习效果起测G®3包 A基础巩固练 5.若函数y=f(x)的值域为[1,3]，则函数 1.函数y=x+1在[一2,2]上的最大值为 F(x)=1-2f(x+2)的值域是 () A.[-9,-5] B.[-5,-1] A.0 B.1 C.[-1,3] D.[1,3] 6.(多选题)若函数f(x)=x2一3x一4的 C.2 D.3 2.函数y=一x2十2.x-2在区间[-1,3]上 定义为[0，m],值城为[25，-4， 最大值与最小值的和是 () 则m可以取 () A.-1 B.-6 C.-2 D.-5 3.函数f(x)=4x2一m.x十5在区间[-2， C.3 n 十∞)上是增函数，设f(x)(x∈R)最小值 7.函数y=-1在x∈[1,2]上的最小值 为t,则 A.1≤-11 B.t=-11 是 8.若函数f(x)=|2x+a的单调递增区间是 C.t≥11 D.t≤11 [3,十∞)，则a= 在区间 4因个函数：①y=3-:@y=③y [一4,4]上的最大值是 B能力提升练 -x,x0, x2+2x-10;④y= 1 其中值域 x>0. .若不等式-x十a+1≥0对-切x(o,司成 立，则实数a的最小值为 为R的函数有 A.0 B.-2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 c- 71 初高中衔接直通车·数学 10.若函数y=x∈(m:n]的最小值 12.已知函数)=2x-1x∈(0,1门，求 为0，则实数m的取值范围是 ( f(x)的值域， A.(1,2) B.（-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) 1.已知x∈[1,8]，则函数f()=x+的 最大值与最小值的和为 3.2.2奇偶性 基础知识整合c33 ◆◆◆ 1.函数的奇偶性 2.函数的奇偶性与单调性 奇偶性 定义 图象特点 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b] (a<b)上为增函数，则f(x)在[一b,一a] 设函数f(x)的定义域为1，如 关于 偶函数 果Vx∈1，都有-x∈I,且 上为 ,即在对称区间上单调 对称 ,那么函数f(x)是偶函数 性 (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b] 设函数f(x)的定义域为I,如 关于 (a<b)上为增函数，则f(x)在[-b,一a] 奇函数 果Vx∈1，都有-x∈I,且 对称 上为 ,即在对称区间上单调 ,那么函数f(x)是奇函数 性 新知自主探究c还 探究点一 函数奇偶性的判断 ③函数的定义域为R,f(0)=0十1=1≠0，则 【典例1】(1)给定四个函数：①y 函数f(x)为非奇非偶函数；④函数的定义域 x+a:@y-1(x>0,@y=r+1:④y 为(-∞，0)U(0,+∞)，f(-x)=+1 十1其中是奇函数的有 x+1=一f(),则函数f(x)是奇函数. 【答案】B A.1个 B.2个 (2)如果f(x)是定义在R上的奇函数， C.3个 D.4个 那么下列函数中，一定为偶函数的是() 【解析】①函数的定义域为R,∫(x)= A.y=x+f(x) B.y=xf(x) x3+x,f(-x)=-(.x3+)=-f(x),则 C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x) 函数f(x)是奇函数：②函数的定义域关于原 【解析】因为f(x)是奇函数， 点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数： 所以f(一x)=一f(x). -72初高中衔接直通车·数学 [新知自主探究] 9.BCD对于A,设f(x)=-x2,则f(-3)=一9， 典例1对点训练 f(2)=-4.满足条件f(-3)<f(2), DA在R上为减函数，B在(0,2)上为减函数，C在(0， 由二次函数性质可得∫(x)在(0,2)上单调递减，A 十o)上为减函数. 正确； 典例2对点训练 对于B,设f(x)=x,则函数f(x)在（一2,3）上单调递 C由-2x+1≥0，得x≤号又-次函数y=-2x+1 增，但由一次函数性质可得函数f(x)的单调递增区间 为R上的减函数，故f(x)=√一2x十I的单调减区间为 为（一∞，十∞），B错误； 17 (-∞，2」 对于C成案0》-. 典例3对点训练 由一次函数性质可得函数f(x)在区间(1,2]和 1.D因为f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，所以2a (2,3)上均为增函数， -1<0,即a<2 又f(1.5)=f(2.5),故函数f(x)在区间(1,3)上不 是增函数，C错误： 2.C因为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)> f(-m+12),所以2m>-m十12，即m>4. 当=-1时，品数y=的函数值为一1，当=1时， [学习效果检测] 1.B因为-1<1，故f(-1)>f(1),故A错，B对. 画数y=1的画数值为1， 2.Df（x)=-(x-a)2+a2,当a≤1时，f(x)在[，2]上 是减函载：g)=升当a>0时，8在[1,2]上是减 所以结论函数y=上的单润造减区间是（一∞，0U (0,十0∞)错误，D错误： 函数，则a的取值范围是0<a≤1. 故选BCD. 3AB国为函教x)的对称轴为r=贺， 10.AC根据题意，f(x)=2-4=2x+)-2-a=2 x+1 x+1 所以)在[紧+)上是递增的。 牛骨的国象可以由数y2生的图象向左华梦打 所以智≤-2，所以m≤-16。 个单位长度，向上平移2个单位长度得到.若函数f(x) 则f(1)=4-m+5=9-m≥25. f(-1)=4+m十5=9+m≤-7. --骨在区间，十o四)上单调递增，则必有-(2+a） 4.Ca-0时，)-2r+1,在区同(，号]上为减 <0且b>≥-1，解得a>-2且b≥-1. 11.解析：，f(x)=x2-2x+3=(.x-1)2+2的对称轴为 函数，符合题意：当a≠0时，如果f(.x)=a.x2一(2一a)x x=1,.f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间 1a>0, 十1在区间（一∞，]上为减画数，必有？，解 [1,4]上单调递增， 2a 2 ∴.f(x)mm=f(1)=2:f(x)max=f(4)=11, 得0<a≤1，综上所述，a的取值范国是[0,1]. ∴.f(x)的值域为[2,11门. 5.B:函数y=f(x)的图象关于x=1对称，且对任意 故答案为[2,11门. x1x2∈(-∞，1]， 答案：[2,11] 当≠2时都有/）-/<0， 12.解：由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)> x1一x2 f(0),即4a-8a+b>b,解得a<0.又f(x)图象的对称 ∴y=f(x)在（一o,1门上单调递减，在[1，十∞）单调 递增，f(0)=f(2), 轴为直线=-22-2，所以x在区同[0,2]上的位 3>2>3>1…j3)>f2>f(2） 域与[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥∫(0)的m 2 的取值范围是0≤m≤4 3)>f0)>f(受)故选B 第2课时 函数的最大值、最小值 6.C由已知条件得z >1,不等式等价于 x<1解 [基础知识整合] x≠0， 1.(1)f(x)≤Mf(x)=M(2)最高点 得-1<x<1,且x≠0. 2.(1)f(.x)≥Mf(.xo)=M(2)最低点 7.解析：由题图可知，函数f(x)的单调递增区间是（一∞， [新知自主探究] 1)和(1，十○).一个函数出现两个或两个以上的单调区 典例1对点训练 间时，不能用“U”而应该用“和”或“，“来表示 C由题图知，函数在[一4，一3]上单调递减，在[一3,1]上 答案：（一6∞，1）和(1，十∞)否 单调递增，当x=一3时，f(x)取最小值0. 8.解析：因为f(x)是定义域上的减函数，f(一3)=2，f(1) 典例2对点训练 =一2，所以当x>-3时，f(x)<2;当x<1时，f(x)> -2. B原函教在[2,3]上单调递减，所以最小值为3一 则当-3<x<1时，f(x)<2. 答案：(-3,1) 21 116 参考答案 典例3对点训练 C因为函数f(x)在(-∞，一2]上是减函数，在[一2 11.解析：由对勾函数的性质可知了(x)=x十9在[13]上 十∞)上是增画数，所以r=一名-四=一2，所以m 单调递减，在(3,8]上单调递增， 2a4 所以f(x)mim=f(3)=6, -8,故f(x)=2x2+8.x+3, 所以f(1)=13. 又=1058)=8+号-g<10. [学习效果检测] 所以f(x)mx=10, 1D+i-5- 所以∫(x)x+f(x)mn=10+6=16. 故答案为16. y=x十1(-1≤x≤2)的最大值为3，y=-(x+1)(-2≤x 答案：16 <一1)的最大值为1，所以函数y=|x+1在[-2,2]上 12.解：任取0<x1<x2≤1，则 的最大值为3. f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)- 2.B因为y=一x2+2x-2=-(x-1)2-1,开口向下， 对称轴是x=1,故函数在[-1,1]上单调递增，在[1,3] 上单调递减，故最大值为一1，最小值为一5，它们的和为 =-(2+ 6. 0<x1<x2≤1， ∴.x1-x2<0,x1x2>0.f(x1)<f(x2), 3A周为画数f)的对称轴为=紧， ∴.f(x)在(0,1门上单调递增，无最小值. 当x=1时取得最大值1， 所以f)在[贺+∞)上是增高数， 所以f(.x)的值城为（一∞，1]. 所以g<-2,所以m≤-16.)=80m。 3.2.2 奇偶性 16 [基础知识整合] 所以1-016-5-g≤-. 1.f(一x)=f(x)y轴f(一x)=-f(.x)原点 2.(1)增函数一致（相同）(2)减函数相反 4.B注意到分段函数的值域是每支函数值战的并集，显 [新知自主探究] 然①④值城为R,②的值城为(0,1]，③的值城为[一11， 典例1对点训练 十0∞). B根据函数的奇偶性知A,D是奇函数，B,C是偶函 5.B由于函数y=f(x)的值城为[1,3]， 数，当x>0时，y=x十1=x十1，所以在(0，十oo)上 则1≤f(x+2)≤3，-6≤-2f(x+2)≤-2， 单调递增，y=一x2+1在(0，十o)上单调递减. 所以-5≤1-2f(x+2)≤-1. 典例2对点训练 6AC周为对格轴为=昌，对庭画数位为一票：所以 B由图象可知，f(2)<f(6),又因为(x)为偶函数，所以 f(-2)=f(2),所以f(-2)-f6)<0. 3 m≥2：当y=一4时，x=0或x=3因此m≤3，综上可 典例3对点训练 解析：因为f(x)的定义域为（一∞，十∞）， 得m的取位花国是[是3] 且f(x)为偶虽数， 所以f(-1)=f1),即1-|-1十a=1-1+a, 7.解析：反比例画教y=-在x∈[1,2]上单调递增，期 所以a-1=a+1|,所以a=0. 当x=1时，ymim=一1. 答案：0 答案：一1 [学习效果检测] 2x+a,≥- 1.A函数)y=是是偶函数，包不与y轴相交，故①错： 8.解析：f(x) -2x-aK- 函数y=是奇画数，但不过原点，故②错： 函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，故④错. 所以fur)的单洞运增区间是[一受，十o∞小 2.C因为函数f(x)为偶函数，所以f(一0.5)=f(0.5), f(-1)=f(1).因为f(x)在区间(0，十∞)上是增函数， 所以一受-3a=一6.在区间[-4,4们上的最大值是 所以f(0)<f(0.5)<f1),即f(0)<f(-0.5) f(-4)=14. <f(-1). 答案：-614 品B由K-)-十立-，所以画数f)为 9.D若不等我-+a+1≥0对-切x(0,号]成立， 奇函数，结合对勾函数图象可知函数在(0,1)上是减 1 1 函数. 则a≥(-1十x)mx=一2，故实数a的最小值是- 4.Af(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 10.D:函数y=2-=3-(x十1D。3 5.A由f(.x)是偶函数，可得f(一x)=f(.x), x+1x+1 由g(x)是奇函数，可得g(一x)=一g(x), .当x∈（一1，十∞）时，函数y是单调递减函数.又当 故|g(x)川为偶函数，所以f(x)十|g(x)为偶函数. x-2时，y=0,根据题意，当x∈(m,n]时，y的最小值 6.A因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， 为0..n=2.,,实数m的取值范周是一1m2. f(x)=x2一4x,所以当x<0时，f(x)=-x(.x+4),当 117