第1 时函数的单调性-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

第二篇高中知识预习 12.已知f(x)=x2-bx+c且f(1)=0,f(2) (2)求)的解析式及其定义域. -3. (1)求f(x)的解析式： 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 基础知识整合c红。 ◆◆ 1.函数的单调性 续表 如果Vx,x2∈D,当1< 般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I 2时，都有 ,那么 减 就说f(x)在区间D上单调 y=fx) 函 如果x1,x2∈D,当x1< 数 递减.特别地，当f(x)在它 x2 x2时，都有 ,那 的定义域上单调递减时，我 增 ) 们就称它是 么就称函数∫(x)在区间 函 D上单调递增.特别地， f) 2.函数的单调区间 数 当f(x)在它的定义域上 如果函数y=f(x)在区间D上 或 单调递增时，我们称它是 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数 y=f(x)的 新知自主探究C®还。 ◆◆◆ 探究点一函数单调性的判定与证明 【解析】选项A,C,D中的函数在 【典例1】(1)下列函数中，在区间 (0,2)上是减函数，只有函数y=x2十2在 (0,2)上为增函数的是 (0,2)上是增函数. A.y=5-x B.y=x2+2 【答案】B (2)下列四个函数在（一∞，0）上为增函 C.y=1 D.y=-xl 数的是 () 65 初高中衔接直通车·数学 ①y=x+1:@y=1:@y=-舌 【解析】由题千图可得，f(x)在[一4，一2] 上递减，在[一2,1]上递增，在[1,4门上递减，可得 国y=+贡 f(x)的单调递减区间为[-4，一2]，[1,4. A.①② B.②③ 【答案】C C.③④ D.①④ (2)函数y=元 的单调递减区间 【解析】①y=|x十1=-x十1(x<0),在 为 (-∞，0)上为减函数：②y=1☑=-1(x<0), 【解析】 y=- 的图 在（一∞，0）上既不是增函数，也不是减函数； 象可由函数y=】的图象向 ③y=- =x(x<0),在(-∞，0)上是增函 x 右平移一个单位得到，如图 数：④)y=x+Z=x-1(x<0)在(-o0,0) 所示，其单调递减区间为（一∞，1）和(1，十∞). 【答案】(-∞，1)，(1，十∞) 上也是增函数 【方法总结】 【答案】C 函数单调区间的两种求法 【方法总结】 证明或判断函数单调性的方法步骤 图象法 →先两出图象：根据图象求单调区间 定义法 :先求出定义域，再利用定义法进行判断 取值】 怀，·D,月x< :求解 作老：)5))并通过酒分、丙式分深 配方，有埋化等干致，间有利于判断控的对号的 [对点训练] 方问变形 确定差T-或真x-八x的符号，当符号 函数f(x)=√一2x+1的单调减区间是 不确定刷，可以逃行分类讨论 ( 论 很塔定义猎出结论 A.(-∞，十∞) B. [对点训练] 下列四个函数中在(0，十○)上为增函数的是 ( A.f(x)=8-x B.f(x)=(.x-2)3 探究点三函数单调性的应用 【典例3】(1)已知函数f(.x)=-x2 C.fx)=1+1 D.f(x)=x2+2x 2(a+1)x+3. 探究点二 求函数的单调区间 ①若函数f(x)在区间（一∞，3]上是增 【典例2】(1)已知 函数，则实数a的取值范围是 函数y=f(x),x∈[一4,4] ②若函数f(x)的单调递增区间是 的图象如图所示，则函数 (一∞，3]，则实数a的值为 f(x)的所有单调递减区间为 (2)已知函数y=f(x)是（一∞，十∞）上 A.[-4,-2] 的增函数，且f(2.x一3)>f(5.x一6)，则实数 B.[1,4] x的取值范围为 C.[-4,-2]和[1,4] 【解析】(1)f(x)=-x2-2(a+1)x+ D.[-4,-2]U[1,4] 3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 66 第二篇高中知识预习 因此函数的单调递增区间为（一∞，一Q一1]. [对点训练] ①由f(x)在（一∞，3]上是增函数， 知3≤-a-1,即a≤-4. 1.设f(x)=(2a一1).x十b在R上是减函数，则有 ②由题意得-a一1=3，a=一4. ( (2)因为函数y=f(x)在（一∞，十∞）上 是增函数，且f(2x-3)>f(5x-6), Aa≥号 Ba≤号 所以2.x-3>5x一6，解得x<1, C.a Da<号 即实数x的取值范围为（一∞，1）. 【答案】(1)①a≤-4②-4 2.函数y=f(x)在R上为增函数，且 (2)(-∞，1) f(2m)>f(-m十12)，则实数m的取值 【方法总结】 范围是 由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 A.（-∞，-4)》 (1)由函数解析式求参数 B.(0,+o∞) C.(4,+oo) 二次 判断开口方 开口有」时装熟奈风 确定参 D.(-∞，-4)U(4,+∞) 函数 向和对称轴 数满足 开口向下时：对孙箱左侧 的条件 增右侧减 [归纳小结] 单调增龟数 一次项系数大于0 ②一次函数 函数单调性的3个应用要点 单调成函数 一次项系数小于0 1.二次函数的单调性由于只与对称轴及开口 ③yf训或=f0 数形结合，探求参数满足 的条件 方向有关，因此处理起来较容易，只需结合 图象即可获解. (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m,n]上的单调递增 2.已知函数的单调性求参数取值范围的方法 (减)函数中函数值与自变量的关系f(a)< 是视参数为已知数，依据函数的图象或单 a<b(a>b), 调性定义，确定函数的单调区间，通过与已 f(b)台ma≤n, 知单调区间比较，求参数的取值范围。 m≤b≤n. 3.需注意若一函数在区间[a,b]上是单调的， ②方法：依据函数单调性去掉符号“∫”， 则该函数在此区间的任意子集上也是单 转化为不等式问题求解 调的. 学习效果检测G金还3 A基础巩固练 2.若f)=-+2ax与g)=千1在区 1.若函数f(x)在[一1,2]上是单调递减函 间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 数，则下列关系成立的是 A.f(-1)<f(1) B.f(-1)>f(1) A.(-1,0)U(0,1] B.(-1,0)U(0,1) C.f(0)<f(2) D.f(0)>f(3) C.(0,1) D.(0,1] 67 初高中衔接直通车·数学 3.(多选题)函数f(x)=4x2一m.x+5在区间 8.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过 [一2，十∞)上是增函数，则下列选项中正 点(-3,2)和(1，-2)，则使f(x)川<2的自变 确的是 ( 量x的取值范围是 A.f(1)≥25 B.f(-1)≤-7 B能力提升练 C.f(1)≤25 D.f(-1)≥-7 9.(多选题)下列结论错误的是 4.如果f(x)=a.x2-(2一a)x+1在区间 A.因为f(-3)<f(2),则f(x)在 (-0,]上为诚函数，则a的取值范 [一3,2]上不一定是增函数 围是 B.函数f(x)在(-2,3)上单调递增，则函 数的单调递增区间为（一2,3） A.(0,1] B.[0,1) C.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均 C.[0,1] D.(0,1) 为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上 5.定义在R上的函数y=f(x)满足以下条 为增函数 件：①函数y=f(x)的图象关于x=1轴对 称；②对任意x1,x2∈（一0∞，1]，当x1≠x2 D.函数y=的单调递减区间是 时都有f)-f)<0,则f(0). (-∞，0)U(0,+o∞) x1-x2 f()3)的大小关系为 10.(多选题)函数了()-在区间 (b,十∞)上单调递增，则下列说法正确 A.f(2)>f0)>f3) 的是 B.f3)>f(o)>f() A.a>-2 B.b>-1 C.b≥-1 D.a<-2 c.f3>3>o) 11.已知函数f(x)=x2一2.x+3,则f(x)在 区间[0,4]上的值域为 D.f(3>f)>f(o) 12.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2 6.已知f)为R上的减函数，则满足/()< 4ax十b在区间[0,2]上是增函数，且 f(m)≥f(0),求实数m的取值范围. f(1)的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)U(0,1) D.(-∞，-1)U(1,+∞) 7.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的单调递增区间是 ,在定 义域上是否递增？ (回答“是” 或“否”) 68参考答案 11.解析：g(x)的定义城B={xx<a十1}，由于A∩B 2.C由题意，f(0)=0+1=1, ☑，画数轴： A 所以ff(0)=f1)=1十a=4a,所以a=3 [学习效果检测] a+14 1.D由图可知甲与乙跑共同的位移S时，甲用的时间较少 易得a十1≤4，即a≤3. 答案：(-0∞，3] 2.B设)=兰由-3=-1，得乌-1 12解：Df3)=3-32 3 13 1+32 1+42-17 所以=3，所以f(x)=3 3-(兮) 3.A国为f(2)=3,所以2a十？+5=3 13 2 +(传) 51 所以2a+台-2， f(g(4)= 3-() -2)=-2a+2+5=-(2a+)+5=7. B==00 (2)图为f(x) 3-x2 1+2,则 5.AD选项A,由图象可得f(一3)=2，所以f(f(-3) =f(2)=1,A正确；选项B.图象法只能近似地求出函 3-() 数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(一1)的确 gx)=f(2） 3x2-1 定值，B错误；选项C,由图象可得函数的定义域为 +( x2+1 [一3,0]U[2,3],C错误：选项D,由图象可得函数的值 域为[1.5]，D正确.故选AD. 所以f(x）十f(g(x)= 1+2+r21 3-x2 6.BD由题意设f(x)=a(x一1)2+b(a>0),由于点(0， x2+1 3-2+32-1_-21+2)=2. 0)在图象上，所以a十b=0,a=一b,故符合条件的是 B.D. 1+x2 1+x2 7.解析：由列表法可知，函数的定义城为{1,2,3,4,5}，值 3.1.2函数的表示法 域为{136,140,141,145. [基础知识整合] 答案：1,2,3,4,5)(136,140,141,145} 1.数学表达式图象表格2.(1)对应关系(2)并集 空集 8.解析：由fr=5得2-3.5或35， 0≤x≤2. x>2, [新知自主探究] 所以x=2. 典例1对点训练 答案：2 1.C由题图知函数的图象是一条直线，可以用一次函数 9.Dy=x+lx={x+1z>0, 表示，设为y=kx十b,将点(30,330)，(40,630)代入得k x{x-1,x0. =30,b=-570,所以y=30.x-570,令y=0得x=19. 10.D由题意得y+2x=20,所以y=20-2x, 2.解析：g(3)=-4,f(-1)=-1,故g(3)-f(-1)=-4 又2x>y,即2x>20-2x,即x>5. -(-1)=-3,所以f(g(3)-f(-1)=f(-3)=5. 由y>0,即20-2.x>0得x<10, 答案：5 所以5<x<10. 典例2对点训练 11.解析：因为f(x)的图象由两条线段组成，由一次函数 解析式求法可得 1.A起（一）看成一个整作，然后对画数式运用配方 f(x)= x+1,-1≤x<0, 法将式子整理成f(-）=(x-）+2,整体替 -x,0x1. 换，所以f(x)=x2+2. 答案：f)={r+1,-1≤x<0, 1-x.0≤x≤1 2解折：国为5)-导所以10十1-) 12.解：(1)由f(1)=0,f(2)=-3,得1-6+c=0,4-26 +c=-3,解得b=6,c=5. 3x-2+31-r）-2=3 ∴.f(x)=x2-6.x+5. 2.x-12(1-x)-1 所以（合）+()+/是)++/()=5×3=6 答案：15 十5.由x十1>0，得定义域为（一1，十o). +I 典例3对点训练 3.2函数的基本性质 L.B由图象知f(x)= r+1,-1<x<0, 1x-1.0<x<1, 3.2.1单调性与最大（小）值 所以（）=号-1=- 2 第1课时 函数的单调性 [基础知识整合] 所以(（号）)=(-号)=-号+1=子 1.fm)<f(x2)增函数f(x1)>f(x2)减函数 2,单调递增单调递减单调区间 115 初高中衔接直通车·数学 [新知自主探究] 9.BCD对于A,设f(x)=-x2,则f(-3)=一9， 典例1对点训练 f(2)=-4.满足条件f(-3)<f(2), DA在R上为减函数，B在(0,2)上为减函数，C在(0， 由二次函数性质可得∫(x)在(0,2)上单调递减，A 十o)上为减函数. 正确； 典例2对点训练 对于B,设f(x)=x,则函数f(x)在（一2,3）上单调递 C由-2x+1≥0，得x≤号又-次函数y=-2x+1 增，但由一次函数性质可得函数f(x)的单调递增区间 为R上的减函数，故f(x)=√一2x十I的单调减区间为 为（一∞，十∞），B错误； 17 (-∞，2」 对于C成案0》-. 典例3对点训练 由一次函数性质可得函数f(x)在区间(1,2]和 1.D因为f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，所以2a (2,3)上均为增函数， -1<0,即a<2 又f(1.5)=f(2.5),故函数f(x)在区间(1,3)上不 是增函数，C错误： 2.C因为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)> f(-m+12),所以2m>-m十12，即m>4. 当=-1时，品数y=的函数值为一1，当=1时， [学习效果检测] 1.B因为-1<1，故f(-1)>f(1),故A错，B对. 画数y=1的画数值为1， 2.Df（x)=-(x-a)2+a2,当a≤1时，f(x)在[，2]上 是减函载：g)=升当a>0时，8在[1,2]上是减 所以结论函数y=上的单润造减区间是（一∞，0U (0,十0∞)错误，D错误： 函数，则a的取值范围是0<a≤1. 故选BCD. 3AB国为函教x)的对称轴为r=贺， 10.AC根据题意，f(x)=2-4=2x+)-2-a=2 x+1 x+1 所以)在[紧+)上是递增的。 牛骨的国象可以由数y2生的图象向左华梦打 所以智≤-2，所以m≤-16。 个单位长度，向上平移2个单位长度得到.若函数f(x) 则f(1)=4-m+5=9-m≥25. f(-1)=4+m十5=9+m≤-7. --骨在区间，十o四)上单调递增，则必有-(2+a） 4.Ca-0时，)-2r+1,在区同(，号]上为减 <0且b>≥-1，解得a>-2且b≥-1. 11.解析：，f(x)=x2-2x+3=(.x-1)2+2的对称轴为 函数，符合题意：当a≠0时，如果f(.x)=a.x2一(2一a)x x=1,.f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间 1a>0, 十1在区间（一∞，]上为减画数，必有？，解 [1,4]上单调递增， 2a 2 ∴.f(x)mm=f(1)=2:f(x)max=f(4)=11, 得0<a≤1，综上所述，a的取值范国是[0,1]. ∴.f(x)的值域为[2,11门. 5.B:函数y=f(x)的图象关于x=1对称，且对任意 故答案为[2,11门. x1x2∈(-∞，1]， 答案：[2,11] 当≠2时都有/）-/<0， 12.解：由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)> x1一x2 f(0),即4a-8a+b>b,解得a<0.又f(x)图象的对称 ∴y=f(x)在（一o,1门上单调递减，在[1，十∞）单调 递增，f(0)=f(2), 轴为直线=-22-2，所以x在区同[0,2]上的位 3>2>3>1…j3)>f2>f(2） 域与[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥∫(0)的m 2 的取值范围是0≤m≤4 3)>f0)>f(受)故选B 第2课时 函数的最大值、最小值 6.C由已知条件得z >1,不等式等价于 x<1解 [基础知识整合] x≠0， 1.(1)f(x)≤Mf(x)=M(2)最高点 得-1<x<1,且x≠0. 2.(1)f(.x)≥Mf(.xo)=M(2)最低点 7.解析：由题图可知，函数f(x)的单调递增区间是（一∞， [新知自主探究] 1)和(1，十○).一个函数出现两个或两个以上的单调区 典例1对点训练 间时，不能用“U”而应该用“和”或“，“来表示 C由题图知，函数在[一4，一3]上单调递减，在[一3,1]上 答案：（一6∞，1）和(1，十∞)否 单调递增，当x=一3时，f(x)取最小值0. 8.解析：因为f(x)是定义域上的减函数，f(一3)=2，f(1) 典例2对点训练 =一2，所以当x>-3时，f(x)<2;当x<1时，f(x)> -2. B原函教在[2,3]上单调递减，所以最小值为3一 则当-3<x<1时，f(x)<2. 答案：(-3,1) 21 116