福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考 高二数学试卷 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 命题：连江县教师进修学校附属中学　　 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是 A． B． C． D． 2. 在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是 A B C D 3. 假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则 A．女儿的身高必为 B．女儿的身高估计为 C．女儿的身高必为 D．女儿的身高估计为 4. 是离散型随机变量，，那么和分别是 A． B． C． D． 5. 已知随机变量，随机变量，若，，则 A． B． C． D． 6. 函数的图象大致是 A B C D 7. 已知为正实数，，则 A． B． C． D． 8. 已知函数的定义域为R，且．若函数有唯一零点，则 A． B．0 C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 10. 高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如，．若函数，则的值可能是 A．0 B． C．1 D．2 11. 若，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则的值为　　　　． 13. 如图，曲线①②③④中有3条分别是函数的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线　　　　．（填曲线序号） 14. 某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有　　　　种不同的安排方案．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （15分） 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少． （1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； （2）另一种药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（计算结果保留2位小数） 参考数据：，． 17. （15分） 节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； （2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 18. （17分） 2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示： 上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 甲球员上场 5 35 甲球员未上场 7 合计 32 42 （1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关； （2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时， （ⅰ）求球队赢球的概率； （ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率． 附：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. （17分） 已知函数． （1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐进线）等方面着手．据此，请回答以下问题： （ⅰ）试探究函数的性质并说明理由； （ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出的草图； （2）若，都有，求实数的取值范围． 高二数学（第4页 共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考 高二数学参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．AB 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．② 14．30 四、解答题：本大题共6小题，共77分． 15. （13分） 【解答】（1）由得，解得， 所以． 2分 当时，， 3分 所以， 5分 ， 6分 所以． 7分 （2）①若，则，即．此时满足． 9分 ②若，则，要使，当且仅当 11分 解得． 12分 综上，的取值范围为． 13分 16. （15分） 【解答】（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为 （）， 3分 所以，解得， 即注射了药品，的值为． 5分 （2）注射药品，小时后残余量为， 注射药品，小时后残余量为， 7分 设小时后残余量相同，则， 所以，即， 8分 两边取常用对数可得， 10分 即， 11分 所以， 14分 所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等． 15分 17. （15分） 【解答】（1）设事件“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则． 1分 现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为，则， 2分 所以恰好有2袋是三等品的概率． 4分 （2）设方案二中糖果的售价为，则 （元）， 6分 因为，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二． 7分 （3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋． 8分 依题意，X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3． ，， ，， 12分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 13分 所以． 15分 另解：因为X服从超几何分布，故． 18. （17分） 【解答】（1）根据题意，可得的列联表： 上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 甲球员上场 30 5 35 甲球员未上场 2 5 7 合计 32 10 42 2分 零假设为：球队的胜负与甲球员是否上场无关． 3分 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 6分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于． 8分 （2）设“甲球员上场打前锋”，“甲球员上场打中场”，“甲球员上场打后卫”，“球队获得胜利”．则，且两两互斥． 9分 依题意得， ， 12分 （ⅰ）由全概率公式得 ． 14分 （ⅱ）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率． ． 17分 19. （17分） 【解答】（1）①定义域： 的定义域为． ②值域： 因为，， 所以，故的值域为． ③奇偶性： ，，， 所以为奇函数． ④单调性： ，且，则， 所以， 即， 所以为增函数． ⑤当时，，；当时，，． 所以直线为图象的渐近线． 8分 说明：上述性质每写对一个给2分，写对4条给满分8分． 综合上述讨论，可作出的草图如下： 10分 说明：如果图象中凹凸性有误，但单调性正确不扣分；没给对渐近线，但整体趋势正确，扣1分． （2）当时，， 11分 由（1）知，为增函数，所以， 12分 由（1）知的值域为，故的取值范围为 13分 所以，都有， 等价于对于都成立， 14分 记，则 或 16分 解得， 综上，的取值范围是． 17分 高二数学参考答案（第6页 共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$相户名和打前。州向水和专证号) ■ 福州市八县（市）协作校2023一2024学年 解养题 第二学期期末联考高二数学答题卷 16(15分) 1线(13分) 考场/座位号： 姓名 [o] a 可形可 [aj 61 a ▣3 T41 (al I) B) 6 14] 6 1 8 慈择题 11h11a11c】tB1 B[A[R时《C1D】 】It口 2A)Ia】c】 e【A(cD) nL】[C耳[D可 31A】JIc】月 t【AtBC10 山1I口川 A)IM][C)[I 【A[fC】 填中愿 2 13 ■ 日日■ ㄖ区■ ■ ■ 17.15分) 1R《17分) ▣ 上婚 球联艺进外情花 计 19.(17分) 单球明上城 P 35 甲罐目表上场 I I 囚■囚 囚■日 ■