福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

漳州市 ２０２３－２０２４ 学年 (下) 期末高中教学质量检测 高二数学试题 (考试时间: １２０ 分钟　 满分: １５０ 分) 考生注意: １. 答题前ꎬ 考生务必在试题卷、 答题卡规定的地方填写自己的准考证号、 姓名ꎮ 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致ꎮ ２. 回答选择题时ꎬ 选出每小题答案后ꎬ 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑ꎮ 如需改动ꎬ 用橡皮擦干净后ꎬ 再选涂其它答案标号ꎮ 回答非选择题时ꎬ 将答案 写在答题卡上ꎮ 写在本试卷上无效ꎮ ３. 考试结束ꎬ 考生必须将答题卡交回ꎮ 一、 单项选择题: 本大题共 ８ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 ４０ 分ꎬ 在每小题给出的四个选 项中ꎬ 只有一项是符合题目要求的ꎮ １. 曲线 ｙ ＝ ｓｉｎｘ 在原点处的切线斜率为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ. － １ Ｂ. ０ Ｃ. ｃｏｓ１ Ｄ. １ ２. 某统计部门对四组数据进行统计ꎬ 获得如图所示的散点图ꎬ 将四组数据相应的相 关系数进行比较ꎬ 正确的是 Ａ. ｒ２ < ｒ４ < ０ < ｒ３ < ｒ１ Ｂ. ｒ２ < ｒ４ < ０ < ｒ１ < ｒ３ Ｃ. ｒ４ < ｒ２ < ０ < ｒ１ < ｒ３ Ｄ. ｒ４ < ｒ２ < ０ < ｒ３ < ｒ１ ３. 已知事件 Ａꎬ Ｂ 相互独立ꎬ 且 Ｐ Ａ( ) ＝ ０􀆰 ３ꎬ Ｐ Ｂ( ) ＝ ０􀆰 ４ꎬ 那么 Ｐ Ａ Ｂ( ) ＝ Ａ. ０􀆰 １２ Ｂ. ０􀆰 ３ Ｃ. ０􀆰 ４ Ｄ. ０􀆰 ７５ ４. 已知向量 ａ ＝ １􀆯 ０􀆯 ２( ) ꎬ ｂ ＝ － ２􀆯 １􀆯 － ２( ) ꎬ ｃ ＝ ０􀆯 １􀆯 λ( ) ꎬ 若 ａꎬ ｂꎬ ｃ 三个向量共 面ꎬ 则实数 λ ＝ Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ４ 高二数学试题　 第 １ 页 (共 ５ 页) ５. 在一个关于ＡＩ智能助手的准确率测试中ꎬ 有三种不同的ＡＩ模型Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ. 模型Ａ的 准确率为 ０􀆰 ８ꎬ 模型 Ｂ的准确率为 ０􀆰 ７５ꎬ 模型 Ｃ的准确率为 ０􀆰 ７. 已知选择模型 Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 的概率分别为 ０􀆰 ４ꎬ ０􀆰 ４ꎬ ０􀆰 ２. 现随机选取一个模型进行测试ꎬ 则准确率为 Ａ. ０􀆰 ５６ Ｂ. ０􀆰 ６６ Ｃ. ０􀆰 ７６ Ｄ. ０􀆰 ８６ ６. 设函数 ｆ ｘ( ) 在 ｘ０ 附近有定义ꎬ 且 ｆ ｘ０( ) － ｆ ｘ０ － Δｘ( ) ＝ ａ Δｘ( ) ３ ＋ ｂ Δｘ( ) ２ ＋ ｃΔｘꎬ ａꎬ ｂꎬ ｃ 为常数ꎬ 则 ｆ ′ ｘ０( ) ＝ Ａ. ０ Ｂ. ａ Ｃ. ｂ Ｄ. ｃ ７. 若关于 ｘ 的不等式 ｌｎｘ > ｍｘ(ｍ∈Ｒ) 有唯一的整数解ꎬ 则 ｍ 的取值范围是 Ａ. ｌｎ２ ２ 􀆯 ｌｎ３ ３ æ è ç ù û ú ú Ｂ. ｌｎ２ ２ 􀆯 ｌｎ３ ３ é ë ê ê ö ø ÷ Ｃ. ｌｎ２ ２ 􀆯 １ ｅ æ è ç ù û ú ú Ｄ. ｌｎ２ ２ 􀆯 １ ｅ é ë ê ê ö ø ÷ ８. 正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱长为 １ꎬ ＭＮ是正方体外接球的直径ꎬ Ｐ为正方体表面 上的动点ꎬ 则ＰＭ→􀅰ＰＮ→的取值范围是 Ａ. － １ ２ 􀆯 ０é ë ê ê ù û ú ú Ｂ. ０􀆯 １ ２ é ë ê ê ù û ú ú Ｃ. ３ ４ 􀆯 １é ë ê ê ù û ú ú Ｄ. １􀆯 ３ ２ é ë ê ê ù û ú ú 二、 多项选择题: 本大题共 ３小题ꎬ 每小题 ６分ꎬ 共 １８分ꎬ 在每小题给出的四个选项 中ꎬ 有多个选项符合题目要求ꎬ 全部选对的得 ６ 分ꎬ 选对但不全的得部分分ꎬ 有 选错的得 ０ 分ꎮ ９. 函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｌｎｘ ＋ １ ｘ ꎬ 则 Ａ. ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｘ － １ ｘ２ Ｂ. ｆ ｘ( ) 的增区间为 １􀆯 ＋ ∞( ) Ｃ. ｆ ｘ( ) 最大值为 １ Ｄ. ｆ ｘ( ) 有两个零点 １０. 已知在某次试验中获得数据如下: ｘ ２ ３ ４ ｍ １０ ｙ ２５ １９ １５ １２ ４ ｙ 与 ｘ 线性相关ꎬ 且回归方程为 ｙ＾ ＝ ２７ － ２􀆰 ４ｘꎬ 则下列正确的是 Ａ. ｙ 与 ｘ 具有负的线性相关关系 Ｂ. ｍ ＝ ６􀆰 ２５ Ｃ. 点 ２􀆯 ２５( ) 落在回归直线下方 Ｄ. 估计 ｘ ＝ １５ 时 ｙ 的值为 － ９ 高二数学试题　 第 ２ 页 (共 ５ 页) １１. 如图ꎬ 六面体 ＡＢＣＤＥＦＧ的一个面 ＡＢＣＤ是边长为 ２ 的正方形ꎬ ＡＥꎬ ＣＦꎬ ＤＧ均垂 直于平面 ＡＢＣＤꎬ 且 ＡＥ ＝ １ꎬ ＣＦ ＝ ２ꎬ 则下列正确的有 Ａ. ＡＣ⊥ＢＧ Ｂ. 直线 ＡＢ 与直线 ＧＦ 所成角的余弦值为 １ ２ Ｃ. 平面 ＡＢＣＤ 与平面 ＥＢＦＧ 所成角的余弦值为 ２ ３ Ｄ. 当 ＤＰ ＝ １时ꎬ 动点 Ｐ到平面 ＥＢＦＧ的距离的最小值为 １ 三、 填空题: 本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 １５ 分ꎮ １２. 点 １􀆯 ２􀆯 ３( ) 关于 ｙＯｚ 平面的对称点坐标为 . １３. 已知 Ｘ ~ Ｂ ３􀆯 １ ３ æ è ç ö ø ÷ ꎬ 且 Ｙ ＝ ２Ｘ ＋ ３ꎬ 则 Ｅ Ｙ( ) ＝ . １４. 已知关于 ｘ 的不等式 ｅｘ ≥ ａｘ２ ＋ ｂｘ 恒成立ꎬ 则 ａ ＋ ｂ 的最大值为 . 四、 解答题: 本大题共 ５小题ꎬ 共 ７７分ꎬ 解答应写出文字说明ꎬ 证明过程或演算步骤ꎮ １５. (１３ 分) 在一次对外星文明的探索中ꎬ 科学家发现了一种外星生物ꎬ 它们具有一种特殊的 繁殖方式. 科学家记录了这种外星生物在连续 ８ 天内的繁殖数量ꎬ 发现繁殖数量与天 数之间存在线性关系. (１) 根据记录的数据ꎬ 得到以下表格: 天数 ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 繁殖数量 ｙ １３ １５ １８ １９ ２０ ２０ ２２ ２５ 　 　 请利用最小二乘法求出线性回归方程 ｙ＾ ＝ ｂ＾ ｘ ＋ ａ＾ ꎻ (２) 科学家从这种外星生物中随机抽取了 １０个样本进行基因分析ꎬ 以研究其基因 多样性ꎬ 发现这１０个样本中有３个样本具有某种特殊基因. 现从这１０个样本中随机抽 取 ２ 个样本进行深入研究ꎬ 记随机抽取的 ２ 个样本中具有某种特殊基因的样本数量为 Ｘꎬ 求 Ｘ 的分布列与数学期望. (参考公式与数据: ｂ＾ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ｎｘ －ｙ－ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ ２ － ｎ ｘ － ２ ꎬ ａ＾ ＝ ｙ－ － ｂ＾ ｘ－ꎬ ∑ ８ ｉ ＝ １ ｙｉ ＝ １５２ꎬ ∑ ８ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ７４７ꎬ ∑ ８ ｉ ＝ １ ｘｉ ２ ＝ ２０４) 高二数学试题　 第 ３ 页 (共 ５ 页) １６. (１５ 分) 已知函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ １ 在 ｘ ＝－ １ 处取得极值 ６. (１) 求实数 ａꎬ ｂ 的值ꎻ (２) 求函数 ｆ ｘ( ) 在区间[ － ２􀆯 ３] 上的最大值和最小值. １７. (１５ 分) ２０２４ 年 ５ 月 １ 日ꎬ “花样漳州啤酒之夜群星演唱会” 在漳州激情开唱ꎬ 为现场 ２ 万 名观众带来一场音乐盛宴. 现随机抽取 ２００ 名现场观众ꎬ 对他们的年龄和是否购买周 边产品进行了统计ꎬ 得到以下数据: 年龄(岁) 购买周边 不购买周边 总计 小于 ３０ ４０ ３０ 及以上 ４５ ８０ 总计 ２００ 　 　 (１) 请完成上面 ２ × ２ 列联表ꎬ 并判断是否有 ９５％ 的把握认为年龄与是否购买周 边产品有关? (２) 已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分 Ｙ ~ Ｎ(８０􀆯 ５２)(单位: 分)ꎬ 请估计 现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分 Ｙ 在 ７５􀆯 ９０[ ] 内的人数约为多少? (参考公式及表格: χ２ ＝ ｎ ａｄ － ｂｃ( ) ２ ａ ＋ ｂ( ) ｃ ＋ ｄ( ) ａ ＋ ｃ( ) ｂ ＋ ｄ( ) ꎬ 其中 ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ. Ｐ χ２ ≥ ｘ０( ) ０􀆰 １０ ０􀆰 ０５ ０􀆰 ０２５ ０􀆰 ０１０ ０􀆰 ００５ ０􀆰 ００１ ｘ０ ２􀆰 ７０６ ３􀆰 ８４１ ５􀆰 ０２４ ６􀆰 ６３５ ７􀆰 ８７９ １０􀆰 ８２８ 　 　 若 ξ ~ Ｎ(ｘ􀆯 σ２)ꎬ 则Ｐ(μ － σ ≤ ξ ≤ μ ＋ σ) ≈０􀆰 ６８２７ꎬ Ｐ(μ － ２σ ≤ ξ ≤ μ ＋ ２σ) ≈ ０􀆰 ９５４５ꎬ Ｐ(μ － ３σ ≤ ξ ≤ μ ＋ ３σ) ≈ ０􀆰 ９９７３. ) 高二数学试题　 第 ４ 页 (共 ５ 页) １８. (１７ 分) 如图ꎬ 多面体 Ａ１Ｂ１Ｄ１ －ＡＢＣＤ 是三棱台 Ａ１Ｂ１Ｄ１ －ＡＢＤ 和四棱锥 Ｃ － ＢＤＤ１Ｂ１ 的组合 体ꎬ 底面四边形 ＡＢＣＤ 为正方形ꎬ ＡＤ ＝ ３Ａ１Ｄ１ ＝ ３ＡＡ１ ＝ ３ꎬ ＣＥ → ＝ ２ ＥＤ→ꎬ ＡＡ１⊥ＡＤꎬ 平面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ⊥平面 ＡＢＣＤ. (１) 证明: Ｄ１Ｅ ∥ 平面 Ａ１ＢＤꎻ (２) 若平面 Ａ１ＢＤ 与平面 ＢＢ１Ｃ 的交线为 ｌꎬ (ｉ) 作出交线 ｌ(需要写出必要的作图步骤ꎬ 保留作图痕迹ꎬ 无需证明)ꎻ (ｉｉ) 求直线 ｌ 与平面 Ｂ１ＣＤ１ 所成角的正弦值. B B A A D E D C 1 1 1 １９. (１７ 分) 定义: 对于空间向量 ａ ＝ ｒ ｘ( ) 􀆯 ｐ ｘ( ) 􀆯 ｑ ｘ( )( ) ꎬ ｂ ＝ Ｒ ｘ( ) 􀆯 Ｐ ｘ( ) 􀆯 Ｑ ｘ( )( ) ꎬ 其“导数 积” 为 ａ☉ｂ ＝ ｒ ｘ( ) Ｒ′ ｘ( ) ＋ ｐ ｘ( ) Ｐ′ ｘ( ) ＋ ｑ ｘ( ) Ｑ′ ｘ( ) . 已知空间向量 ｕ ＝ １􀆯 ｘ２􀆯 ｘ ＋ １( ) ꎬ ｖ ＝ ｅｘ􀆯 － ｔｘ􀆯 － ｘ( ) ꎬ ｔ 为常数ꎬ 记 ｆ ｘ( ) ＝ ｕ☉ｖ. (１) 当 ｔ ＝ ０ 时ꎬ 证明: ｆ ｘ( ) ≥ ０ꎻ (２) 若 ｘ ＝ ０ 为 ｆ ｘ( ) 的极大值点ꎬ 求正实数 ｔ 的取值范围ꎻ (３) 设ｘ０ ≠０ꎬ ０<ｍ<ｎꎬ ｔ > ０ꎬ 且满足 ｆ ′ ｘ０( ) ＝ ０ꎬ ｆ ｍ( ) ＝ ｆ ｎ( ) ꎬ 证明: ｍ ＋ ｎ<２ｘ０. 高二数学试题　 第 ５ 页 (共 ５ 页) 漳州市 ２０２３－２０２４ 学年 (下) 期末高中教学质量检测 高二数学参考答案 评分说明: １. 本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ 如果考生的解法与本解答不同ꎬ 可根 据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. ２. 对计算题ꎬ 当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ 如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度ꎬ 可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ 但不得超过该部分正确解 答应给分数的一半ꎻ 如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ 就不再给分. ３. 解答右端所注分数ꎬ 表示考生正确做到这一步应得的累加分数. ４. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、 单项选择题 (本大题共 ８ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 ４０ 分. 在每小题给出的四个选项 中ꎬ 只有一项是符合题目要求的) １. Ｄ　 　 ２. Ａ　 　 ３. Ｂ　 　 ４. Ｂ　 　 ５. Ｃ　 　 ６. Ｄ　 　 ７. Ｂ　 　 ８. Ａ 二、 多项选择题: 本大题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ６ 分ꎬ 共 １８ 分ꎬ 在每小题给出的四个选 项中ꎬ 有多项符合题目要求ꎬ 全部选对的得 ６ 分ꎬ 部分选对得部分分ꎬ 有选错得 ０ 分 􀆰 ９. ＡＢ　 　 　 　 １０. ＡＤ　 　 　 　 　 １１. ＡＣＤ 三、 填空题: 本题共 ３ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 １５ 分 􀆰 １２. －１ꎬ ２ꎬ ３( ) 　 　 　 　 　 １３. ５　 　 　 　 　 １４. ｅ 四、 解答题: 本大题共 ５小题ꎬ 共 ７７分ꎬ 解答应写出文字说明ꎬ 证明过程或演算步骤 􀆰 １５. (１３ 分) 【解析】 (１) ｘ－ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ８ ８ ＝ ４􀆰 ５ꎬ ｙ－ ＝ ∑ ８ ｉ ＝ １ ｙｉ ８ ＝ １９ꎬ ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ｂ＾ ＝ ∑ ８ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ８ｘ －ｙ－ ∑ ８ ｉ ＝ １ ｘｉ ２ － ８ ｘ － ２ ＝ ７４７ － ８ × ４􀆰 ５ × １９ ２０４ － ８ × ４􀆰 ５２ ＝ １􀆰 ５ꎬ ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ａ＾ ＝ ｙ＾ － ｂ＾ ｘ－ ＝ １９ － １􀆰 ５ × ４􀆰 ５ ＝ １２􀆰 ２５ꎬ ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以ꎬ 线性回归方程为 ｙ＾ ＝ １􀆰 ５ｘ ＋ １２􀆰 ２５􀆰 ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 依题意ꎬ Ｘ ~ Ｈ(１０􀆯 ３􀆯 ２)ꎬ Ｘ 的可能取值为: ０ꎬ １ꎬ ２􀆰 ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 Ｐ(Ｘ ＝ ０) ＝ Ｃ２７ Ｃ２１０ ＝ ７ １５ ꎬ Ｐ(Ｘ ＝ １) ＝ Ｃ１３Ｃ１７ Ｃ２１０ ＝ ７ １５ ꎬ Ｐ(Ｘ ＝ ２) ＝ Ｃ２３ Ｃ２１０ ＝ １ １５ ꎬ １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 高二数学参考答案　 第 １ 页 (共 ６ 页) Ｘ 的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ７ １５ ７ １５ １ １５ Ｘ 的数学期望为 Ｅ Ｘ( ) ＝ ０ × ７ １５ ＋ １ × ７ １５ ＋ ２ × １ １５ ＝ ３ ５ 􀆰 １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １６. (１５ 分) 【解析】 (１) ｆ ′ ｘ( ) ＝ ３ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ｂ １ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 依题意有 ｆ ′ － １( ) ＝ ３ － ２ａ ＋ ｂ ＝ ０􀆯 ｆ － １( ) ＝－ １ ＋ ａ － ｂ ＋ １ ＝ ６􀆯{ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 解得 ａ ＝－ ３􀆯 ｂ ＝－ ９􀆯{ ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 此时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ＝ ３ｘ２ － ６ｘ － ９ ＝ ３ ｘ － ３( ) ｘ ＋ １( ) 当 ｘ < － １ 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) > ０ꎬ ｆ ｘ( ) 在 － ∞􀆯 － １( ) 上单调递增ꎻ 当 － １ < ｘ < ３ 时ꎬ ｆ ′(ｘ) < ０ꎬ ｆ(ｘ) 在 － １􀆯 ３( ] 上单调递减ꎻ ｆ ｘ( ) 在 ｘ ＝－ １ 处取得极大值 ｆ － １( ) ＝ ６ꎬ 因此ꎬ ａ ＝－ ３ꎬ ｂ ＝－ ９ ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 由(１) 知ꎬ ｆ ｘ( ) ＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ １ꎬ ｆ ｘ( ) 在[ － ２􀆯 － １) 上单调递增ꎬ 在 － １􀆯 ３( ] 上单调递减ꎬ ９ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又 ｆ － ２( ) ＝－ ８ － １２ ＋ １８ ＋ １ ＝－ １ꎬ ｆ － １( ) ＝ ６ꎬ ｆ ３( ) ＝ ２７ － ２７ － ２７ ＋ １ ＝－ ２６ꎬ １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以 ｆ ｘ( ) 在[ － ２􀆯 ３] 上的最大值为 ６ꎬ 最小值为 － ２６􀆰 １５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７. (１５ 分) 【解析】 (１) 列联表如下: 年龄(岁) 购买周边 不购买周边 总计 小于 ３０ ８０ ４０ １２０ ３０ 及以上 ４５ ３５ ８０ 总计 １２５ ７５ ２００ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 假设年龄与是否购买周边产品无关ꎬ 高二数学参考答案　 第 ２ 页 (共 ６ 页) χ２ ＝ ２００ × ８０ × ３５ － ４０ × ４５( ) ２ １２０ × ８０ × １２５ × ７５ ＝ ２０ ９ ≈ ２􀆰 ２２２ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为 ２􀆰 ２２２ < ３􀆰 ８４１ꎬ 所以没有 ９５％ 的把握认为年龄与是否购买周边产品有 关. ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 依题意正态分布的均值 μ ＝ ８０ꎬ 标准差 σ ＝ ５ꎬ Ｐ ７５ ≤ Ｙ ≤ ９０( ) ＝ Ｐ μ － σ ≤ Ｙ ≤ μ ＋ ２σ( ) ＝ Ｐ μ － σ ≤ Ｙ ≤ μ( ) ＋ Ｐ μ ≤ Ｙ ≤ μ ＋ ２σ( ) ＝ １ ２ Ｐ μ － σ ≤ Ｙ ≤ μ ＋ σ( ) ＋ Ｐ μ － ２σ ≤ Ｙ ≤ μ ＋ ２σ( )[ ] ＝ １ ２ ０􀆰 ６８２７ ＋ ０􀆰 ９５４５( ) ＝ ０􀆰 ８１８６ １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ２００００ × ０􀆰 ８１８６ ＝ １６３７２ 人ꎬ 现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分 Ｙ 在 ７５􀆯 ９０[ ] 内的人数约为 １６３７２􀆰 １５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １８􀆰 (１７ 分) 【解析】 法一: (１) 证明: 如图ꎬ 在 ＢＤ 上取点 Ｆꎬ 使 ＢＦ ＝ ２ＦＤ 连接 Ａ１Ｆꎬ ＥＦꎬ 因为ＣＥ ＝ ２ＥＤꎬ 所以 ＢＦ ＦＤ ＝ ＣＥ ＤＥ ＝ ２ 所以 ＥＦ ∥ ＢＣꎬ 且 ＥＦ ＝ １ ３ ＢＣ 又在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ ＡＤ ∥ ＢＣꎬ 所以 ＥＦ ∥ ＡＤꎬ ＥＦ ＝ １ ３ ＡＤ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又在三棱台 Ａ１Ｂ１Ｄ１ － ＡＢＤ 中 Ａ１Ｄ１ ∥ ＡＤꎬ Ａ１Ｄ１ ＝ １ ３ ＡＤꎬ 所以 ＥＦ ∥ Ａ１Ｄ１ꎬ 且 ＥＦ ＝ Ａ１Ｄ１ꎬ 所以四边形 Ａ１Ｄ１ＥＦ 为平行四边形ꎬ 所以 Ｄ１Ｅ ∥ Ａ１Ｆꎬ ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又 Ｄ１Ｅ ⊄ 平面 Ａ１ＢＤꎬ Ａ１Ｆ ⊂ 平面 Ａ１ＢＤꎬ 所以 Ｄ１Ｅ ∥ 平面 Ａ１ＢＤ􀆰 ７ 分􀆺􀆺 (２) (ｉ) 如图ꎬ 延长 ＣＢ１ 和 ＤＡ１ 交于一点 Ｇꎬ 连接 ＢＧꎬ 则直线 ＢＧ 即为平面 Ａ１ＢＤ 与平面 ＢＢ１Ｃ 的交线 ｌ􀆰 １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (ｉｉ) 由平面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ⊥平面 ＡＢＣＤꎬ 平面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ∩平面 ＡＢＣＤ ＝ ＡＤꎬ ＡＡ１⊥ＡＤꎬ 高二数学参考答案　 第 ３ 页 (共 ６ 页) 所以 ＡＡ１⊥平面 ＡＢＣＤꎬ 又 ＡＢ⊥ＡＤꎬ 所以 ＡＢꎬ ＡＤꎬ ＡＡ１ 两两垂直ꎬ 以 Ａ 为坐标原点ꎬ 分别以ＡＢ→ꎬ ＡＤ→ꎬ ＡＡ１ → 为 ｘ 轴ꎬ ｙ 轴ꎬ ｚ 轴的正方向ꎬ 建立如图所示的空间直角坐标系ꎬ 则 Ａ ０􀆯 ０􀆯 ０( ) ꎬ Ｂ ３􀆯 ０􀆯 ０( ) ꎬ Ｃ ３􀆯 ３􀆯 ０( ) ꎬ Ｄ ０􀆯 ３􀆯 ０( ) ꎬ Ａ１ ０􀆯 ０􀆯 １( ) ꎬ Ｂ１ １􀆯 ０􀆯 １( ) ꎬ Ｄ１ ０􀆯 １􀆯 １( ) １２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 Ｂ１Ｃ → ＝ ２􀆯 ３􀆯 － １( ) ꎬ Ｂ１Ｄ１ → ＝ － １􀆯 １􀆯 ０( ) 又因为 Ａ１Ｂ１ ∥ ＣＤꎬ Ａ１Ｂ１ ＝ １ ３ ＣＤꎬ 所以在 ΔＧＣＤ 中ꎬ ＧＢ１ ＝ １ ２ Ｂ１Ｃꎬ 所以ＧＢ１ → ＝ １ ２ Ｂ１Ｃ → ＝ １􀆯 ３ ２ 􀆯 － １ ２ æ è ç ö ø ÷ ꎬ ＧＢ→ ＝ ＧＢ１ → ＋ Ｂ１Ｂ → ＝ １􀆯 ３ ２ 􀆯 － １ ２ æ è ç ö ø ÷ ＋ ２􀆯 ０􀆯 － １( ) ＝ ３􀆯 ３ ２ 􀆯 － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ꎬ 取直线 ｌ 的方向向量为 ｖ ＝ ２ ３ ＧＢ→ ＝ ２􀆯 １􀆯 － １( ) １４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设平面 Ｂ１ＣＤ１ 的法向量为 ｎ ＝ ｘ􀆯 ｙ􀆯 ｚ( ) ꎬ 由 ｎ􀅰Ｂ１Ｃ → ＝ ２ｘ ＋ ３ｙ － ｚ ＝ ０ ｎ􀅰Ｂ１Ｄ１ → ＝－ ｘ ＋ ｙ ＝ ０ ì î í ïï ïï 得 ｙ ＝ ｘ ｚ ＝ ５ｘ{ ꎬ 取 ｎ ＝ １􀆯 １􀆯 ５( ) ꎬ １６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设直线 ｌ 与平面 Ｂ１ＣＤ１ 所成的角为 θꎬ 则 ｓｉｎθ ＝ ｃｏｓ‹ｖ􀆯 ｎ› ＝ ｖ􀅰ｎ ｖ ｎ ＝ ２ ６􀅰３ ３ ＝ ２ ９ 所以直线 ｌ 与平面 Ｂ１ＣＤ１ 所成角的正弦值为 ２ ９ １７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 法二: (１) 由平面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ⊥平面 ＡＢＣＤꎬ 平面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ∩平面 ＡＢＣＤ ＝ ＡＤꎬ ＡＡ１⊥ＡＤꎬ 所以 ＡＡ１⊥平面 ＡＢＣＤꎬ ＡＢ⊥ＡＤꎬ 所以 ＡＢꎬ ＡＤꎬ ＡＡ１ 两两垂直ꎬ 以 Ａ为坐标原点ꎬ 分别以ＡＢ→ꎬ ＡＤ→ꎬ ＡＡ１ → 为 ｘ轴ꎬ ｙ轴ꎬ ｚ轴的正方向建立如图所 示的空间直角坐标系ꎬ 则 Ａ ０􀆯 ０􀆯 ０( ) ꎬ Ｂ ３􀆯 ０􀆯 ０( ) ꎬ Ｃ ３􀆯 ３􀆯 ０( ) ꎬ Ｄ ０􀆯 ３􀆯 ０( ) ꎬ Ａ１ ０􀆯 ０􀆯 １( ) ꎬ Ｂ１ １􀆯 ０􀆯 １( ) ꎬ Ｄ１ ０􀆯 １􀆯 １( ) ꎬ Ｅ １􀆯 ３􀆯 ０( ) ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＢＤ→ ＝ － ３􀆯 ３􀆯 ０( ) ꎬ Ａ１Ｂ → ＝ ３􀆯 ０􀆯 － １( ) ꎬ 高二数学参考答案　 第 ４ 页 (共 ６ 页) Ｄ１Ｅ → ＝ １􀆯 ２􀆯 － １( ) ꎬ 设平面 Ａ１ＢＤ 的法向量为 ｍ１ ＝ ｘ１􀆯 ｙ１􀆯 ｚ１( ) ꎬ 由 ｍ１􀅰Ａ１Ｂ → ＝ ３ｘ１ － ｚ１ ＝ ０ ｍ１􀅰ＢＤ → ＝－ ３ｘ１ ＋ ３ｙ１ ＝ ０ ì î í ïï ïï 得 ｙ１ ＝ ｘ１ ｚ１ ＝ ３ｘ１{ ꎬ 取 ｍ１ ＝ １􀆯 １􀆯 ３( ) ꎬ ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为Ｄ１Ｅ →􀅰ｍ１ ＝ １􀆯 １􀆯 ３( )􀅰 １􀆯 ２􀆯 － １( ) ＝ １ × １ ＋ １ × ２ ＋ ３ × ( － １) ＝ ０ꎬ 所以Ｄ１Ｅ →⊥ｍ１ꎬ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又 Ｄ１Ｅ ⊄ 平面 Ａ１ＢＤꎬ 所以 Ｄ１Ｅ ∥ 平面 Ａ１ＢＤ􀆰 ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) (ｉ) 同解法一 􀆰 １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (ｉｉ) Ｂ１Ｃ → ＝ ２􀆯 ３􀆯 － １( ) ꎬ Ｂ１Ｄ１ → ＝ － １􀆯 １􀆯 ０( ) ꎬ ＢＢ１ → ＝ － ２􀆯 ０􀆯 １( ) ꎬ 设平面 ＢＢ１Ｃ 的法向量为 ｍ２ ＝ ｘ２􀆯 ｙ２􀆯 ｚ２( ) ꎬ 由 ｍ２􀅰Ｂ１Ｃ → ＝ ２ｘ２ ＋ ３ｙ２ － ｚ２ ＝ ０ ｍ２􀅰ＢＢ１ → ＝－ ２ｘ２ ＋ ｚ２ ＝ ０ ì î í ïï ïï ꎬ 令 ｘ２ ＝ １ꎬ 则 ｚ２ ＝ ２ꎬ ｙ２ ＝ ０ꎬ 取 ｍ２ ＝ １􀆯 ０􀆯 ２( ) ꎬ １２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设直线 ｌ 的方向向量为 ｖ ＝ ｐ􀆯 ｑ􀆯 ｒ( ) ꎬ 由(１) 知ꎬ 平面 Ａ１ＢＤ 的法向量 ｍ１ ＝ １􀆯 １􀆯 ３( ) ꎬ 由 ｖ􀅰ｍ１ ＝ ｐ ＋ ｑ ＋ ３ｒ ＝ ０ ｖ􀅰ｍ２ ＝ ｐ ＋ ２ｒ ＝ ０{ ꎬ 令 ｐ ＝ ２ꎬ 则 ｒ ＝ － １ꎬ ｑ ＝ １ꎬ 取 ｖ ＝ ２􀆯 １􀆯 － １( ) ꎬ １４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (下同解法一) １９􀆰 (１７ 分) 【解析】 (１) 依题意ꎬ ｆ ｘ( ) ＝ １􀅰ｅｘ ＋ ｘ２􀅰 － ｔ( ) ＋ ｘ ＋ １( )􀅰 － １( ) ꎬ 即 ｆ ｘ( ) ＝ ｅｘ － ｔｘ２ － ｘ － １ꎬ ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 当 ｔ ＝ ０ 时ꎬ ｆ ｘ( ) ＝ ｅｘ － ｘ － １ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｅｘ － １ꎬ 当 ｘ < ０ 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) < ０ꎻ 当 ｘ > ０ 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) > ０ꎬ 因此ꎬ ｆ ｘ( ) 在 － ∞􀆯 ０( ) 上单调递减ꎬ 在 ０􀆯 ＋ ∞( ) 上单调递增ꎬ 故 ｆ ｘ( ) ≥ ｆ ０( ) ＝ ０ꎬ 得证 􀆰 ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 当 ｔ > ０ 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｅｘ － ２ｔｘ － １ꎬ 设 ｇ ｘ( ) ＝ ｆ ′ ｘ( ) ꎬ ｇ′ ｘ( ) ＝ ｅｘ － ２ｔꎬ 令 ｇ′ ｘ( ) ＝ ０ꎬ 解得 ｘ ＝ ｌｎ(２ｔ)ꎬ 因为 ｇ′ ｘ( ) 在 Ｒ 上单调递增ꎬ 于是ꎬ 当 ｘ < ｌｎ ２ｔ( ) 时ꎬ ｇ′ ｘ( ) < ０ꎻ 当 ｘ > ｌｎ ２ｔ( ) 时ꎬ ｇ′ ｘ( ) > ０ꎬ 故 ｇ ｘ( ) 在 － ∞􀆯 ｌｎ ２ｔ( )( ) 单调递减ꎬ 在 ｌｎ ２ｔ( ) 􀆯 ＋ ∞( ) 单调递增ꎬ 高二数学参考答案　 第 ５ 页 (共 ６ 页) 即 ｆ ′ ｘ( ) 在 － ∞􀆯 ｌｎ ２ｔ( )( ) 单调递减ꎬ 在 ｌｎ ２ｔ( ) 􀆯 ＋ ∞( ) 单调递增ꎬ ７ 分􀆺􀆺􀆺 ①当 ｔ > １ ２ 时ꎬ ｌｎ ２ｔ( ) >０ꎬ 注意到 ｆ ′ ０( ) ＝ ０及 ｆ ′ ｘ( ) 在 － ∞􀆯 ｌｎ ２ｔ( )( ) 单调递减ꎬ 则当 ｘ∈ － ∞􀆯 ０( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) > ０ꎻ 当 ｘ∈ ０􀆯 ｌｎ ２ｔ( )( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) < ０ꎬ 故 ｆ ｘ( ) 在 － ∞􀆯 ０( ) 单调递增ꎬ 在 ０􀆯 ｌｎ ２ｔ( )( ) 单调递减ꎬ ｘ ＝ ０ 为 ｆ ｘ( ) 的极大值点ꎬ 符合题意ꎻ ② 当 ｔ ＝ １ ２ 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｅｘ － ｘ － １ꎬ 由(１) 知ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ≥ ｆ ′ ０( ) ＝ ０ꎬ ｆ ｘ( ) 在 Ｒ 上单调递增ꎬ 无极值点ꎬ 不合题意ꎬ 舍去ꎻ ③ 当０<ｔ < １ ２ 时ꎬ ｌｎ ２ｔ( ) <０ꎬ 注意到 ｆ ′ ０( ) ＝ ０及 ｆ ′ ｘ( ) 在 ｌｎ ２ｔ( ) 􀆯 ＋ ∞( ) 单调递增ꎬ 当 ｘ∈ ｌｎ ２ｔ( ) 􀆯 ０( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) < ０ꎻ 当 ｘ∈ ０􀆯 ＋ ∞( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) > ０ꎬ 故 ｆ ｘ( ) 在 ｌｎ ２ｔ( ) 􀆯 ０( ) 单调递减ꎬ 在 ０􀆯 ＋ ∞( ) 单调递增ꎬ ｘ ＝ ０ 为 ｆ ｘ( ) 的极小值点ꎬ 不合题意ꎬ 舍去 􀆰 综上ꎬ ｔ 的取值范围为( １ ２ 􀆯 ＋ ∞)􀆰 １１ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３) 依题意ꎬ ｆ ｘ( ) 在 ０􀆯 ＋ ∞( ) 上不单调ꎬ 由(２) 知ꎬ ｔ > １ ２ 且 ｘ０ > ０ꎬ 此时ꎬ 当 ｘ∈ ０􀆯 ｘ０( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) < ０ꎻ 当 ｘ∈ ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) > ０ꎬ 所以 ｆ ｘ( ) 在 ０􀆯 ｘ０( ) 单调递减ꎬ 在 ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) 单调递增ꎬ 从而有 ０ < ｍ < ｘ０ < ｎꎬ 要证 ｍ ＋ ｎ < ２ｘ０ꎬ 只需证 ｍ < ２ｘ０ － ｎꎬ 由于 ｆ(ｘ) 在 ０􀆯 ｘ０( ) 单调递减ꎬ 且 ｍꎬ ２ｘ０ － ｎ∈(０ꎬ ｘ０) 故只需证 ｆ ｍ( ) > ｆ ２ｘ０ － ｎ( ) ꎬ 即证 ｆ ｎ( ) > ｆ ２ｘ０ － ｎ( ) ꎬ (∗) １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 设 Ｆ ｘ( ) ＝ ｆ ｘ( ) － ｆ ２ｘ０ － ｘ( ) ꎬ ｘ∈ ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) ꎬ Ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｆ ′ ｘ( ) ＋ ｆ ′ ２ｘ０ － ｘ( ) ꎬ 设 Ｇ ｘ( ) ＝ Ｆ ′ ｘ( ) ꎬ 则 Ｇ ｘ( ) ＝ ｇ ｘ( ) ＋ ｇ ２ｘ０ － ｘ( ) ꎬ Ｇ′ ｘ( ) ＝ ｇ′ ｘ( ) － ｇ′ ２ｘ０ － ｘ( ) ꎬ 当 ｘ∈ ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) 时ꎬ 有 ｘ > ２ｘ０ － ｘꎬ 又因为 ｇ′ ｘ( ) ＝ ｅｘ － ２ｔ 在 Ｒ 上单调递增ꎬ 于是有 ｇ′ ｘ( ) > ｇ′ ２ｘ０ － ｘ( ) ꎬ 即 Ｇ′ ｘ( ) > ０ꎬ 从而 Ｇ ｘ( ) 在 ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) 上递增ꎬ 即 Ｆ ′ ｘ( ) 在 ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) 上递增ꎬ 于是有 Ｆ ′ ｘ( ) > Ｆ ′ ｘ０( ) ＝ ２ｆ ′ ｘ０( ) ＝ ０ꎬ 从而 Ｆ(ｘ) 在 ｘ０􀆯 ＋ ∞( ) 上递增ꎬ 于是有 Ｆ ｘ( ) > Ｆ ｘ０( ) ＝ ｆ ｘ０( ) － ｆ ｘ０( ) ＝ ０ꎬ (∗) 式得证ꎬ 故原不等式成立 􀆰 １７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 高二数学参考答案　 第 ６ 页 (共 ６ 页)