精品解析：重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023—2024学年下期期末抽测 八年级 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试卷的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包含辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子是最简二次根式的是 A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，不能构成直角三角形三条边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 2，3，4 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相平分四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 4. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 2 7. 某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，第一个图形由颗棋子组成，第二个图形由颗棋子组成，第三个图形由颗棋子组成……，观察图形的变化规律，则第八个图形用的棋子数量是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象可能的情况是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，点是线段的中点．若，，那么的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A. n的值为16 B. 当时，x的值为3或 C. 段函数解析式为 D. 段的函数解析式为 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得75分，2人得95分，1人得60分，在这次测验中，该学习小组的平均分为_________分． 13. 如图，在中，，D是的中点．若，则 ． 14. 如图，正方形的边长为2，正方形边长为1，将这两个正方形并排放在一起，连接、、，则图中阴影部分面积是_________． 15. 如图，直线上有一点，当时，的取值范围是_________． 16. 若是关于的一元二次方程的一个根，则_____________． 17. 如图，在菱形中，，，点分别是上的动点，且为等边三角形，则面积的最大值为_________． 18. 下面说法正确的是_________（填序号）． ①函数和函数的图像交点一定在第一象限． ②若关于的一元一次不等式组有且仅有两个整数解，且关于的分式方程的解为非正整数，则所有满足条件的整数的值有且仅有1个． ③已知二次函数的部分图象如图1所示，对称轴为，且经过点，则． ④如图2，在正方形中，，点在边上，，连接，将沿翻折，点落在点处，点是对角线的中点，连接并延长交于点，则的长为． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在正方形中，为上一点，连接． （1）尺规作图：过点作线段的垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问的条件下，求证： 证明：四边形为正方形 ， 又 ①   在与中 （③  ） ④   21. 重庆的“五一”假期非常火爆，甚至人行天桥都限流．人们从各地前来感受这里的繁华和热情．甲、乙两名记者为了解游客对“重庆欢乐谷”的喜爱程度，各自随机调查了20名游客的游玩时长（单位：小时），分别记为甲组、乙组，并对收集的数据进行了整理、描述和分析（游玩时长用表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： 甲组游客的游玩时长在等级中的全部数据为：4，5，5，5，5，5； 乙组游客的游玩时长中，，，三等级的数据个数相同：等级的全部数据为：4，4，4，4，4，5，5，5； 甲、乙两组游客游玩时长统计表： 组名 平均数 中位数 众数 甲组 5 5 乙组 5 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：  ；  ；甲组扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数为  度； （2）根据以上数据分析，从甲、乙两组游客游玩时长来看，哪个组更喜欢“重庆欢乐谷”？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）调查发现当天入园游客共约30000人，请你估计当天共有多少名游客的游玩时长不低于4小时？ 22. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 23. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形循环步道．经测量，点在点的南偏东，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，且点也在点的西北方向．（参考数据：，，） （1）求长度（结果保留根号）； （2）已知从到有两条路线可走：路线①，路线②．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数） 24. 在中，． （1）如图1，，，于点，，连接，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，点为中点，连接，．求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，有如下定义：点与图形上的动点的连线段为，当最大时，，叫点与图形的“远距”点，其长度记为．当最小时，，叫点与图形的“近距”点，其长度记为．其中．若点满足，则点叫点与图形的“中距”点．已知矩形的坐标分别为，，，． （1）如图1，若，，则  ，  ． （2）如图2，若 ①当时，请求出对应的“中距”点的坐标． ②当，则最小值为  ，最大值为  ． （3）如图3，若“中距”点在矩形的内部（包括边界），点与矩形的“远距”点的距离为，且，请直接写出的范围（用含式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期期末抽测 八年级 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试卷的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包含辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子是最简二次根式的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A．是最简二次根式； B．2，不是最简二次根式； C．，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式． 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 2. 下列各组数据中，不能构成直角三角形三条边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴三角形是直角三角形， 故不符合题意； B、∵， ∴三角形是直角三角形， 故不符合题意； C、 ∴三角形是直角三角形， 故符合题意； D、 ∴三角形不是直角三角形， 故符合题意； 故选：D． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定解答即可． 本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意； B. 有3个角是直角的四边形是矩形，错误，不符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意； D. 四条边相等，一个内角是直角的四边形是正方形，错误，不符合题意； 故选A． 4. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，利用估算思想解答即可． 本题考查了二次根式的化简，无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， 故选B． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程中，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选D． 6. 如图，矩形对角线相交于点，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合可证是等边三角形，即可求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， ，，， ， 又， 是等边三角形， ， 故选：C． 7. 某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，第一个图形由颗棋子组成，第二个图形由颗棋子组成，第三个图形由颗棋子组成……，观察图形的变化规律，则第八个图形用的棋子数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．由图可分为两部分来看：第一个图形上面是棋子，第二个图形上面是棋子，第三个图形上面是棋子，…以此类推，第个图形上面是棋子；第一个下面是棋子，第二个下面是棋子，第三个下面是棋子，…以此类推，第个下面是个棋子．两部分相加即可得出第个图形用的棋子数是，将代入求值即可． 【详解】解：∵第一个图形上面是棋子，下面是棋子，第二个图形上面是棋子，下面是棋子，第三个图形上面是棋子，下面是棋子，… ∴第个图形上面是棋子，下面是棋子； ∴第n个图形用的棋子数是； 当时， 故选：B． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象可能的情况是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：根据题意，得，解得，故交点坐标为； A、对于，，；对于，则，，a的符号不一致， ∴A选项不正确，不符合题意； B、对于，，；对于，则，，b的符号不一致， ∴B选项错误，不符合题意； C、对于，，；对于，则，，a的符号不一致， ∴C选项错误，不符合题意； D、对于，，；对于，则，， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，点是线段的中点．若，，那么的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作于点G，利用正方形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，过点E作于点G， ∵正方形中，点是线段的中点．，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 10. 如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A. n的值为16 B. 当时，x的值为3或 C. 段的函数解析式为 D. 段函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，根据E、F的运动路径及对应的函数图象逐个进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，当点B将暂停时，的面积不变，， ， 故A正确； 由题意，当时，． ∴令，则或（舍去）． 由题意，当时，， ． 当时，F在的中点，又过2秒，F到C点，此时E在的中点， ， ∴当时， ∴此时令 或（舍去） 当继续运动时变小， ∴当时，或，故B正确； 又段函数解析式为， ∴C说法错误． 由题意，当时，E继续运动2秒即停止， ，故D正确． 故选：C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得75分，2人得95分，1人得60分，在这次测验中，该学习小组的平均分为_________分． 【答案】80 【解析】 【分析】根据加权平均数计算公式解答即可． 本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得（分）， 故答案为：80． 13. 如图，在中，，D是的中点．若，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， ∵D是的中点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为2，正方形边长为1，将这两个正方形并排放在一起，连接、、，则图中阴影部分面积是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设与交于点M，根据，利用相似求得，根据，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】设与交于点M， ∵正方形的边长为2，正方形边长为1， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，直线上有一点，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，观察函数图象，根据增减性可直接得出答案． 【详解】解：由图可知，当时，， 即的取值范围是， 故答案为：． 16. 若是关于的一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，可求，由，即，可得． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 17. 如图，在菱形中，，，点分别是上的动点，且为等边三角形，则面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作于点G，于点H，证明是等边三角形，，得到，利用等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理解答即可． 【详解】如图，连接，过点C作于点G，于点H， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴； ∴，， ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 当最小时，最小，取得最大值， 根据垂线段最短，得当与重合时，最小，此时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，图形面积分割表示，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短是解题的关键． 18. 下面说法正确的是_________（填序号）． ①函数和函数的图像交点一定在第一象限． ②若关于的一元一次不等式组有且仅有两个整数解，且关于的分式方程的解为非正整数，则所有满足条件的整数的值有且仅有1个． ③已知二次函数的部分图象如图1所示，对称轴为，且经过点，则． ④如图2，在正方形中，，点在边上，，连接，将沿翻折，点落在点处，点是对角线的中点，连接并延长交于点，则的长为． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】①根据题意，得函数，解得，当时，，交点位于第二象限；当时，交点位于y轴上的；当时，，交点位于第一象限，可判断①错误； ②解不等式组，得，结合不等式组有且仅有两个整数解，，得到；解分式方程得，结合方程的解为非正整数，得即，继而得到，则所有满足条件的整数的值有两个，判断②错误． ③根据对称轴为，得到，且，结合函数经过点，得，整理得，则，可判断③错误． ④如图，延长交于点E，连接，，作于点R，作于点Q，作于点H，交于点T，利用正方形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形相似解答即可． 【详解】①根据题意，得函数，解得， 当时，，交点位于第二象限； 当时，交点位于y轴上的； 当时，，交点位于第一象限， 故①错误； ②解不等式组， 得，结合不等式组有且仅有两个整数解，得， 解得； 解分式方程得， 结合方程的解为非正整数，得即， ∴， ∴所有满足条件的整数的值有两个， 当时，不是整数解，舍去； 当时，是整数解； ∴②正确． ③根据对称轴为，得到，且， 又函数经过点， 得， 整理得， 则， 故③错误． ④如图，延长交于点E，连接，，作于点R，作于点Q，作于点H，交于点T， 根据折叠的性质，得，， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 设， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形都是矩形， ∴，，， ， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数的交点，不等式组的解法，分式方程的整数解，二次函数的性质，勾股定理，三角形全等，三角形相似，熟练掌握二次函数，一次函数，不等式组，正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算： （1）先利用乘法分配律、完全平方公式计算，再利用二次根式运算法则计算； （2）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在正方形中，为上一点，连接． （1）尺规作图：过点作线段的垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问的条件下，求证： 证明：四边形为正方形 ， 又 ①   与中 （③  ） ④   【答案】（1）见解析 （2）；；， 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图解答即可． （2）根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 本题考查了尺规作图，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握尺规作图，正方形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，作图如下： 则F，G即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形为正方形 ， 又， ， ， 在与中 ； ； 答案为：；；，． 21. 重庆的“五一”假期非常火爆，甚至人行天桥都限流．人们从各地前来感受这里的繁华和热情．甲、乙两名记者为了解游客对“重庆欢乐谷”的喜爱程度，各自随机调查了20名游客的游玩时长（单位：小时），分别记为甲组、乙组，并对收集的数据进行了整理、描述和分析（游玩时长用表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： 甲组游客的游玩时长在等级中的全部数据为：4，5，5，5，5，5； 乙组游客的游玩时长中，，，三等级的数据个数相同：等级的全部数据为：4，4，4，4，4，5，5，5； 甲、乙两组游客游玩时长统计表： 组名 平均数 中位数 众数 甲组 5 5 乙组 5 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：  ；  ；甲组扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数为  度； （2）根据以上数据分析，从甲、乙两组游客的游玩时长来看，哪个组更喜欢“重庆欢乐谷”？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）调查发现当天入园游客共约30000人，请你估计当天共有多少名游客的游玩时长不低于4小时？ 【答案】（1）；4，72 （2）甲组更喜欢 （3）17250人 【解析】 【分析】（1）根据频数=样本容量×所占百分数，计算A，B，D的频数，再根据众数，中位数的定义，圆心角计算解答． （2）比较中位数，众数的大小作出决策． （3）利用样本估计总体思想解答即可． 本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，熟练掌握统计图的意义，准确计算中位数，众数是解题的关键． 【小问1详解】 B的频数为： (人)，D的频数为： (人)， ∴A的频数为（人）， 根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即， 根据题意，得乙组中，，三等级的数据个数相同，且为，而数据4出现了5次，最多，故； 根据题意，得． 故答案为：；4，72． 【小问2详解】 甲组更喜欢“重庆欢乐谷”理由如下： 由样本数据可知：甲组的中位数大于乙组的中位数4，故甲组更喜欢． 【小问3详解】 估计当天游客的游玩时长不低于4小时人数为： （人） ∴当天游客的游玩时长不低于4小时人数为17250人. 22. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】（1）4个 （2）6米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【小问1详解】 解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； 【小问2详解】 解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 23. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形循环步道．经测量，点在点的南偏东，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，且点也在点的西北方向．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）已知从到有两条路线可走：路线①，路线②．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）走路线②的步行时间短，见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得到等腰直角，求得，解直角三角形求的长度即可． （2）根据题意，得，得到；根据，求得路线长，计算时间比较即可． 本题考查了方向角的应用，解直角三角形的计算，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 根据题意，得， ∴； ∴路线①的总距离为， 故用时间为； 路线②的总距离为， 故用时间为； ∵， 故走路线②的步行时间短． 24. 在中，． （1）如图1，，，于点，，连接，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，点为中点，连接，．求证：． 【答案】（1）7 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出，即可求解； （2）将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接并延长交于点N，连接交于点O，可得，四边形是正方形，进而证明，，推出点与点O重合，可得是等腰直角三角形，即可证明． 【小问1详解】 解：中，，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接并延长交于点N，连接交于点O， 由旋转知，，，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 又， ，， ， ， 又点为中点， 点与点O重合， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，第2问有一定难度，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解； （2）求出直线的解析式为，作轴交于点H，设，则，列出关于p的二次函数关系式，即可求解； （3）设点N的坐标为，分别考虑当点N在x轴上方时，以及当点N在x轴下方时，利用建立一元二次方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于点H， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：，，， ，， ； 设点N的坐标为， 当点N在x轴上方时， ， ， 整理得， 解得， 点N的坐标为或； 当点N在x轴下方时， ， ， 整理得， 解得， 点N的坐标为或； 综上可知，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，抛物线中三角形面积的最值问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，有如下定义：点与图形上的动点的连线段为，当最大时，，叫点与图形的“远距”点，其长度记为．当最小时，，叫点与图形的“近距”点，其长度记为．其中．若点满足，则点叫点与图形的“中距”点．已知矩形的坐标分别为，，，． （1）如图1，若，，则  ，  ． （2）如图2，若 ①当时，请求出对应的“中距”点的坐标． ②当，则最小值为  ，的最大值为  ． （3）如图3，若“中距”点在矩形的内部（包括边界），点与矩形的“远距”点的距离为，且，请直接写出的范围（用含式子表示）． 【答案】（1）， （2）①或；②， （3） 【解析】 【分析】（1）将，，代入得出，根据新定义以及勾股定理求得的值，即可求解； （2）①根据的坐标得出点在上，进而分类讨论，或，根据勾股定理，解方程，即可求解； ②根据在矩形的内部，求得临界值，则在线段上，取的中点，求得的最大值和的最小值，即可求解； （3）根据题意得出过点，在线段上，过点，根据新定义，由（2）中的位置，即为的位置，根据已知得，，进而勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即， ∴，， 依题意，，； 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴点在上， ∵ ∴或， ∴①或②； 解①得：（舍去）或，则 解②得：或（舍去），则 ∴为的中点或的中点， ∴或 即或 ②∵，，，，，． ∴在矩形的内部， 当时，；当时， 如图所示，设，则在线段上，取的中点 ∴到的距离最小值为，此时的最大值为， 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∴， 则最小值为 故答案为：，． 【小问3详解】 解：∵， ∴点在上， 当时，，时， ∴过点，在线段上，过点 如图所示，点是的中点，在上， 由（2）可得， ∵， ∴，， ∵，，，，设， 当在点时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当在点位置时，，设 ∴ 解得：或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了新定义了，矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，一函数的应用，解一元二次方程，熟练掌握新定义，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$