精品解析：山东省济南市市中区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级期末学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国宝钢集团最新生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.015毫米，即0.000015米，7张钢片叠放才相当于一张报纸的厚度．据悉，这是目前全世界最薄的不锈钢，未来有可能用于芯片里的加工材料，所以也叫“芯片钢”．请将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 11 4. 下列运算正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上 C. 打开电视机在播放《新闻联播》 D. 在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球 6. 若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A. 6 B. C. D. 7. 在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（ ） A 13 B. 14 C. 18 D. 24 9. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 10. 一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案．） 11. 计算______． 12. 如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内概率为________． 13. 如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角度数为________． 14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是________． 15. 漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小明制作了一个简单的漏刻模型，并研究发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如表所示的关系，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当t为时，对应的水位h为________． … 1 2 3 5 … … 4 … 16. 如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点B作于点I，延长交于点J，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有________（只填写序号） 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：[(2x＋y)2－y(y＋4x)－8xy]÷(2x)，其中x＝2，y＝－1． 19. 如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知） ∴（________） ∴________（两直线平行，同位角相等．） 又∵（已知） ∴________（________） ∴（________） ∴（________）． 20. 一只口袋里放着4个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是________； （2）搅匀袋中的球后，取出红球的概率为多少？ （3）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 21. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）求的面积； （2）画出，使它与关于直线成轴对称； （3）在直线上找一点，使周长最小． 22. 如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 24. 大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会．2024年6月16日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（）之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题： （1）甲队划行的速度为________米/分；当时，乙队划行的速度为________米/分； （2）当________分钟时，甲、乙两队划行途中相遇； （3）当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米？ 25. 数形结合是解决数学问题一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个． （1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______； （2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________； 根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： （3）直接写出下列问题答案： ①若，，则________； ②若，则________． （4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 26. 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级期末学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的； B、不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、是轴对称图形，故该选项是正确的； D、不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故选：C． 2. 中国宝钢集团最新生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.015毫米，即0.000015米，7张钢片叠放才相当于一张报纸的厚度．据悉，这是目前全世界最薄的不锈钢，未来有可能用于芯片里的加工材料，所以也叫“芯片钢”．请将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选A． 3. 下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】A、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意； B、，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意； C、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意； D、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键． 4. 下列运算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； C、，故本选项运算错误，不符合题意； D、，故本选项运算正确，符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A 太阳从东方升起 B. 抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上 C. 打开电视机在播放《新闻联播》 D. 在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； B、抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、打开电视机在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意； D、在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 6. 若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据所给多项式可以确定两平方项分别为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是完全平方式， ∴， 解得． 故选：C． 7. 在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，根据上述性质得到，即可解答，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，三角板与直尺分别交于点、． ， ． ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质，根据线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 9. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ， ∵正方形的面积为， ∴即， ∴， ∴阴影部分的面积之和为16． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解． 10. 一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】解：当点H上时，如图所示， ∴， ∴， ∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 故①正确，符合题意； 当时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴， 故②错误，不符合题意； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴， 故③错误，不符合题意； 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故④正确，符合题意； 综合上所述：正确的有2个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案．） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12. 如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率，以及矩形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案． 【详解】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积， ∴针头扎在阴影区域内的概率为； 故答案为：． 13. 如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为； （2）等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是________． 【答案】15 【解析】 【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝3，可得结论． 【详解】如图，过点D作DH⊥AB于H． ∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC＝DH＝3， ∴S△ABD＝AB×DH=×10×3＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 15. 漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小明制作了一个简单的漏刻模型，并研究发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如表所示的关系，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当t为时，对应的水位h为________． … 1 2 3 5 … … 4 … 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把和4代入求解出函数解析式即可得到答案． 【详解】解：由表格可得：当时，当时，当时，时间每增加一分钟，水位就上升，由此可知错误的数据为当时，， 设水位与时间的函数解析式为， 把和代入得：， 解得：， ∴水位与时间的函数解析式为， ∴当时，则有， 故答案为：． 16. 如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点B作于点I，延长交于点J，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有________（只填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；延长交于，过作于，过作于，同理可得：，可得，证明，证明，可得，从而可得结论； 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； 延长交于，过作于，过作于， ∵中点； 同理可得：， ∴，， ∴，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴；故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：[(2x＋y)2－y(y＋4x)－8xy]÷(2x)，其中x＝2，y＝－1． 【答案】2x－4y； 8 【解析】 【分析】先利用整式的乘法公式展开得到原式=(4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8xy)÷(2x)，再把括号内合并得到原式=(4x2－8xy)÷(2x)，然后进行整式的除法运算，再把x与y的值代入计算即可． 【详解】原式＝(4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8xy)÷(2x) ＝(4x2－8xy)÷(2x) ＝2x－4y 当x＝2，y＝－1时， 原式＝2×2－4×(－1)＝4＋4＝8． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值：先计算整式的乘除，然后合并同类项，有括号先算括号，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的整式的值． 19. 如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知） ∴（________） ∴________（两直线平行，同位角相等．） 又∵（已知） ∴________（________） ∴（________） ∴（________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干的提示逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】证明：∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 20. 一只口袋里放着4个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是________； （2）搅匀袋中的球后，取出红球的概率为多少？ （3）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 【答案】（1）0 （2） （3）放入红球有2个 【解析】 【分析】（1）题中只有红球和黑球，“从口袋中随机摸出一个球是绿球”是不可能事件从而得到概率为0； （2）分析出题中从口袋中随机摸出一个球共有12种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）设放入红球个，由简单概率公式列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：一只口袋里放着4个红球、8个黑球，没有绿球， 事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是0， 故答案为：0； 【小问2详解】 解：一只口袋里放着4个红球、8个黑球， 搅匀袋中的球后，从口袋中随机摸出一个球共有12种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，则取出红球的概率为； 【小问3详解】 解：设放入红球个，则由题意得，解得， 答：放入红球有2个． 【点睛】本题考查概率综合，涉及事件分类及不可能事件的概率、简单概率公式及已知概率求小球数等知识，熟记概率相关定义及简单概率公式是解决问题的关键． 21. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）求的面积； （2）画出，使它与关于直线成轴对称； （3）在直线上找一点，使周长最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （）连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【小问1详解】 的面积； 【小问2详解】 如图，由网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， ∴即为所求； 【小问3详解】 如上图，连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； ∴点即为所求． 22. 如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】（1）见解析，新路长度是80米 （2）该车没有超速，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． 【小问2详解】 解：该车没有超速． 理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 24. 大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会．2024年6月16日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（）之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题： （1）甲队划行的速度为________米/分；当时，乙队划行的速度为________米/分； （2）当________分钟时，甲、乙两队划行途中相遇； （3）当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米？ 【答案】（1）200；100 （2）4 （3）1或3或5分钟 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． （1）结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在时的速度； （2）结合图象，可知在时间2分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可； （3）结合图象，可知在和两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差100米的情况，分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米分）； 当时，乙队划行的速度为：（米分）； 【小问2详解】 解：设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等， 由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等， ， 解得， 即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； 【小问3详解】 解：根据甲、乙函数图象可知， 当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为， 在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为， 则， 解得，符合题意； 当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为， 在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为， 则或 解得或，符合题意； 综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米． 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个． （1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______； （2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________； 根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： （3）直接写出下列问题答案： ①若，，则________； ②若，则________． （4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3）①；②13 （4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可； （4），，，，可以利用代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． 【小问3详解】 解：①由图2可得， ，， ， ． 故答案为：． ②由图1可得， ， ， 原式． 故答案为：13． 【小问4详解】 解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 26. 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）SAS；；（2）；（3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【详解】（1）由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）等量关系为：． 理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$