2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一）数学试题

2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一）保密★考试结束前 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1．设集合，则A∩B= A．（﹣∞，4） B．（0，4） C．{0，1，2，3} D．{1，2，3} 2．已知 是虚数单位，复数 ，若 ，则 A．0 B．2 C． D．1 3．已知与共线，且向量与向量垂直，则 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为 A．1 B．2 C．3 D． 6．若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为数学试卷 第1页，共4页 A． （） B．（） C．（） D．（） 8．若等差数列{an}满足a12+a32=2，则的取值范围是 A．[1，3] B．[﹣1，十1] C．[3﹣2，3+2] D．[4﹣2，4+2] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则 （若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413） A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8 10．若函数 存在两个极值点 ，则 A．函数 至少有一个零点 B． 或 C． D． 11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有 A．曲线C关于直线和都对称 B．曲线C上的点到和到直线的距离相等 C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为　 　. 13．已知函数 与 的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数 变化时，实数 的取值范围为　 　. 数学试卷 第2页，共4页 14．如图，在 的点阵中，依次随机地选出 、 、 三个点，则选出的三点满足 的概率是　 　． 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ， ．求 的面积． 16．已知圆 经过椭圆 的两个焦点以及两个顶点，且点 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程， （2）若直线 与圆 相切，与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的倾斜角． 数学试卷 第3页，共4页 17．将两块三角板按图甲方式拼好，其中 ， ， ， ，现将三角板 沿 折起，使D在平面 上的射影O恰好在 上，如图乙． （1）求证： ； （2）求证：O为线段 中点； （3）求二面角 的大小的正弦值． 18．已知函数 ． （1）求证： ； （2）用 表示 中的最大值，记 ，讨论函数 零点的个数． 19．已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，若为常数数列，则称为阶等比数列.. （1）已知为二阶等差数列，且，求的通项公式； （2）若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列； （3）已知，令的前项和为，证明：. 数学试卷 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一）保密★考试结束前 数学参考答案与评分标准2024.7 评分标准： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。 2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后续部分的解答存在较为严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题与填空题均不设置中间分值。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A D A B C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BC ACD BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：若选①，由正弦定理，得 ， 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ． 因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ． 若选②，由正弦定理，得 ． 因为 ， 所以 ，所以 ， 化简得 ， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ． 若选③，由正弦定理，得 ． 因为 ， 所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ， ， 所以 ，所以 ，所以 ． 因为 ， ， ，所以 ， 所以 ． 16．（1）解：由题可知圆 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得 ， 又点 在椭圆 上，所以 ，解得 ， 即椭圆 的方程为 . （2）解：圆 的方程为 ，当直线 不存在斜率时，解得 ，不符合题意； 当直线 存在斜率时，设其方程为 ，因为直线 与圆 相切，所以 ，即 . 将直线 与椭圆 的方程联立，得： ， 判别式 ，即 ， 设 ，则 ， 所以 ， 解得 ， 所以直线 的倾斜角为 或 . 17．（1）证明：由已知D在平面ABC上的射影 O恰好在AB上， ∴DO⊥平面ABC， ∴AO是AD在平面ABC上的射影． 又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD． （2）解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC 又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC 又∵BD 平面ADB，∴AD⊥BD， 在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得 ，AD = 1，∴BD = 1， ∴BD = AD， ∴O是AB的中点. （3）解：过D作DE⊥AC于E，连结OE， ∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC ∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角， 且 即二面角D－AC－B的正弦值为 18．（1）证明：设 ，定义域为 ， 则 . 当 时， ；当 时， ， 故 在 内是减函数，在 内是增函数， 所以 是 的极小值点，也是 的最小值点， 所以 ，所以 （2）解：函数 的定义域为 ， ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 内是减函数，在 内是增函数， 所以 是 的极小值点，也是 的最小值点， 即 若 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， . 所以 ，于是 只有一个零点 . 当 ，则当 时， ，此时 ， 当 时， ， ，此时 所以 没有零点. 当 ，则当 时，根据（1）可知， 而 ，所以 又因为 ，所以 在 上有一个零点 ， 从而一定存在 ，使得 ， 即 ，所以 . 当 时， ， 所以 ，从而 ， 于是 有两个零点 和1. 故当 时， 有两个零点. 综上，当 时， 有一个零点，当 时， 没有零点，当 时， 有两个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学参考答案与评分标准 评分标准： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。 2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后续部分的解答存在较为严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题与填空题均不设置中间分值。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A D A B C 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 答案 BC ACD BCD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．�2 − � 2 3 = 1  (� ≤− 1) 13．� ∈ (0， 8 �2 ) 14． 8 63 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：若选①，由正弦定理，得 (� + �)(� − �) = (� − �)� ， 即 �2 + �2 − �2 − �� ， 所以 cos� = � 2+�2−�2 2�� = �� 2�� = 1 2 ，因为 � ∈ (0, �) ，所以 � = �3 ．因为 � 2 = �2 + �2 − �� = (� + �)2 − 3�� ， � = 6 ， � + � = 2 3 ， 所以 �� = 2 ， 所以 �△��� = 1 2��sin� = 1 2 × 2 × sin � 3 = 3 2 ． 若选②，由正弦定理，得 sin�sin� = sin�cos(� − �6 ) ． 因为 0 < � < � ， 所以 sin� ≠ 0 ，所以 sin� = cos(� − �6 ) ， 化简得 sin� = 3 2 cos� + 1 2 sin� ， 所以 cos(� + �6 ) = 0 ． 因为 0 < � < � ，所以 � = � 3 ． 因为 � 2 = �2 + �2 − 2��cos�3 ， � = 6 ， � + � = 2 3 ， 所以 �� = 2 ， 所以 �△��� = 1 2��sin� = 1 2 × 2 × sin � 3 = 3 2 ． 若选③，由正弦定理，得 sin�sin�+�2 = sin�sin� ． 因为 0 < � < � ， 所以 2024.7 保密★考试结束前 sin� ≠ 0 ，所以 sin�+�2 = sin� ．因为 �+� 2 = � 2 − � 2 ，所以 cos � 2 = 2sin � 2 cos � 2 ．因 为 0 < � < � ， 0 < �2 < � 2 ， 所以 cos � 2 ≠ 0 ，所以 sin � 2 = 1 2 ，所以 � = � 3 ． 因 为 �2 = �2 + �2 − �� = (� + �)2 − 3�� ， � = 6 ， � + � = 2 3 ，所以 �� = 2 ， 所 以 �△��� = 1 2��sin� = 1 2 × 2 × sin � 3 = 3 2 ． 16．（1）解：由题可知圆 � 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可 得 �2 = 2�2 ， 又点 (�, 1� ) 在椭圆 � 上，所以 �2 �2 + 1 �2�2 = 1 ，解得 �2 = 2, �2 = 1 ， 即椭圆 � 的方程为 �22 + � 2 = 1 . （2）解：圆 � 的方程为 �2 + �2 = 1 ，当直线 � 不存在斜率时，解得 |��| = 2 ， 不符合题意； 当直线 � 存在斜率时，设其方程为 � = �� + � ，因为直线 � 与圆 � 相切，所以 |�| �2+1 = 1 ，即 �2 = 1 + �2 . 将直线 � 与椭圆 � 的方程联立，得： (1 + 2�2)�2 + 4��� + 2�2 − 2 = 0 ， 判别式 � =− 8�2 + 8 + 16�2 = 8�2 > 0 ，即 � ≠ 0 ， 设 �(�1, �1), �(�2, �2) ，则 �1 + �2 = −4�� 1+2�2 , �1�2 = 2�2−2 1+2�2 , |�1 − �2| = (�1 + �2)2 − 4�1�2 = 8�2 1+2�2 ， 所以 |��| = (�1 − �2)2 + (�1 − �2)2 = 1+ �2|�1 − �2| = 1 + �2 × 8�2 1+2�2 = 4 3 ， 解得 � =± 1 ， 所以直线 � 的倾斜角为 �4 或 3� 4 . 17．（1）证明：由已知 D在平面 ABC上的射影 O恰好在 AB上， ∴DO⊥平面 ABC， ∴AO是 AD在平面 ABC上的射影． 又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD． （2）解：由(1)得 AD⊥BC，又 AD⊥DC 又 BC∩DC=C，∴AD⊥平面 BDC 又∵BD ⊂ 平面 ADB，∴AD⊥BD， 在 RT⊿ABD中，由已知 AC = 2，得 ，AD = 1，∴BD = 1， ∴BD =AD， ∴O是 AB的中点. （3）解：过 D作 DE⊥AC于 E，连结 OE， ∵DO⊥平面 ABC，∴OE是 DE在平面 ABC上的射影．∴OE⊥AC ∴∠DEO是二面角 D－AC－B的平面角， �� = 22 且 �� = ��⋅���� = 3 2 sin∠��� = �� �� = 6 3 即二面角 D－AC－B的正弦值为 63 18．（1）证明：设 �(�) = �(�) − [ 14 ( 1 � − 1) 2 + �] = ��� + 1� − 1 ，定义域为 (0，+∞) ， 则 �'(�) = 1� − 1 �2 = �−1 �2 . 当 0 < � < 1 时， �'(�) < 0 ；当 � > 1 时， �'(�) > 0 ， 故 �(�) 在 (0，1) 内是减函数，在 (1，+∞) 内是增函数， 所以 � = 1 是 �(�) 的极小值点，也是 �(�) 的最小值点， 所以 �(�)⩾�(�)��� = �(1) = 0 ，所以 �(�) ≥ 1 4 ( 1 � − 1) 2 + � （2）解：函数 �(�) 的定义域为 (0，+∞) ， �'(�) = 1� − 1 2�3 − 1 2�2 = 2�2−�−1 2�3 = (2�+1)(�−1) 2�3 ， 当 0 < � < 1 时， �'(�) < 0 ；当 � > 1 时， �'(�) > 0 ， 所以 �(�) 在 (0，1) 内是减函数，在 (1，+∞) 内是增函数， 所以 � = 1 是 �(�) 的极小值点，也是 �(�) 的最小值点， 即 �(�)��� = �(1) = � 若 � = 0 ，则 �(�) − �(�) = 14�2 + 1 2� − 3 4 =− (�−1)(3�+1) 4�2 ， 当 0 < � < 1 时， �(�) > �(�) ；当 � = 1 时， �(�) = �(�) ； 当 � > 1 时， �(�) < �(�) . 所以 ℎ(�) = �(�)，0 < � < 1 �(�)，�⩾1 ，于是 ℎ(�) 只有一个零点 � = 1 . 当 � > 0 ，则当 0 < �⩽1 时， �(�) > �(�) ，此时 ℎ(�) = �(�)⩾� > 0 ， 当 � > 1 时， �(�) > � > 0 ， �(�) > 0 ，此时 ℎ(�) > 0 所以 ℎ(�) 没有零点. 当 � < 0 ，则当 0 < � < 1 时，根据（1）可知， �(�) ≥ 14 ( 1 � − 1) 2 + � 而 0 < 12 −�+1 < 1 ，所以 �( 1 2 −�+1 ) > 1 4 (2 −� + 1 − 1) 2 + � = 0 又因为 �(�)��� = �(1) = � < 0 ，所以 �(�) 在 (0，1) 上有一个零点 �0 ， 从而一定存在 � ∈ (�0，1) ，使得 �(�) = �(�) ， 即 1 4�2 + 1 2�− 3 4+ � = 0 ，所以 3 4− � = 1 4�2 + 1 2� . 当 � > � 时， �(�) − �(�) =− 14�2 − 1 2� + 3 4 − � =− 1 4�2 − 12� + 1 4�2 + 12� =− �−� 4�� ( �+� �� + 2) > 0 ， 所以 �(�) > �(�) ，从而 ℎ(�) = �(�)，0 < �⩽� �(�)，� > � ， 于是 ℎ(�) 有两个零点 �0 和 1. 故当 � < 0 时， ℎ(�) 有两个零点. 综上，当 � = 0 时， ℎ(�) 有一个零点，当 � > 0 时， ℎ(�) 没有零点，当 � < 0 时， ℎ(�) 有两个零点. 2025 届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数 学 本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1．设集合� = {� ∈ �|��� ≤ 1}，� = {�|�²＜16}，则 A∩B= A．（﹣∞，4） B．（0，4） C．{0，1，2，3} D．{1，2，3} 2．已知 � ∈ �,   � 是虚数单位，复数 � = �+2�1+� ，若 |�| = 2 ，则 � = A．0 B．2 C．−2 D．1 3．已知� = (1，�)与� = (�，− 4)共线，且向量� 与向量� = (2，3)垂直，则�+ � = A．152 B． 16 3 C．− 10 3 D．−2 4．已知 ���2� ���(�+�4) = 24，则���2� = A．1516 B．− 15 16 C． 3 4 D．− 3 4 5．一个圆锥的轴截面是边长为 4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上， 上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为 A．1 B．2 C．3 D． 3 6．若函数�(�) = �2 + ���� − � + 1(� ∈ �)在[1, + ∞)上单调递增，则�的取值范围是 A．[ − 1, + ∞) B．( − 1, + ∞) C．[ 18 , + ∞) D．( 1 8 , + ∞) 7．如图，摩天轮上一点�在�时刻距离地面的高度满足� = �sin(�� + �) + �，� > 0，� > 0，� ∈ [ − �，�]，已知某摩天轮的半径为 50米，点�距地面的高度为 60米，摩天轮做匀速运动，每 10分钟转 一圈，点�的起始位置在摩天轮的最低点，则�（米）关于�（分钟）的解析式为 2024.7 保密★考试结束前 数学试卷 第 1 页，共 4 页 A．� = 60 − 50sin�5 �（� > 0） B．� = 60 − 50cos�5 �（� > 0） C．� = 60 − 50cos �10 �（� > 0） D．� = 60 − 50sin �10 �（� > 0） 8．若等差数列{an}满足 a12+a32=2，则 �32+�42 �42+�52 的取值范围是 A．[1，3] B．[ 5﹣1， 5十 1] C．[3﹣2 2，3+2 2] D．[4﹣2 3，4+2 3] 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分。 9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入 的样本均值�＝2.1，样本方差 s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入 X服从正态分布 N（1.8，0.12）， 假设推动出口后的亩收入 Y服从正态分布 N（�，s2），则 （若随机变量 Z服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（Z＜μ+σ）≈0.8413） A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8 10．若函数 �(�) = ln� + �(�2 − 2� + 1)(� ∈ �) 存在两个极值点 �1，�2 (�1 < �2) ，则 A．函数 �(�) 至少有一个零点 B．� < 0 或 � > 2 C．0 < �1 < 1 2 D．�(�1) + �(�2) > 1 − 2ln2 11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线 l和 x，y轴的非负半轴交于 A，B两点，若|��| + |��| = 1 恒成立，则 l始终和曲线 C： � + � = 1相切，关于曲线 C的说法正确的有 A．曲线 C关于直线� = �和� =− �都对称 B．曲线 C上的点到( 12 , 1 2 )和到直线� =− �的距离相等 C．曲线 C上任意一点到原点距离的取值范围是[ 24 , 1] D．曲线 C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 1 − �4 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共计 15 分。 12．已知点 �(0,2), �(0, − 2), �(3,2) ，若动点 �(�, �) 满足 |��| + |��| = |��| + |��| ，则点 � 的 轨迹方程为 . 13．已知函数 �(�) = ���(� > 0) 与 �(�) = 2�2 −�(� > 0) 的图象在第一象限有公共点，且在该点 数学试卷 第 2 页，共 4 页 处的切线相同，当实数 � 变化时，实数 � 的取值范围为 . 14．如图，在 3 × 3 的点阵中，依次随机地选出 � 、 � 、 � 三个点，则选出的三点 满足 �� ⋅ �� < 0 的概率是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15．在①(sin� + sin�)(� − �) = (sin� − sin�)� ，②�sin� = �cos(� − �6 ) ，③�sin �+� 2 = �sin� 这 三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在 △ ��� 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 � + � = 2 3 ，� = 6 ， ．求 △ ��� 的面积． 16．已知圆 � 经过椭圆 �： � 2 �2 + � 2 �2 = 1(� > � > 0) 的两个焦点以及两个顶点，且点 (�, 1� ) 在椭圆 � 上． （1）求椭圆 � 的方程， （2）若直线 � 与圆 � 相切，与椭圆 � 交于 �,� 两点，且 |��| = 43 ，求直线 � 的倾斜角． 数学试卷 第 3 页，共 4 页 17．将两块三角板按图甲方式拼好，其中 ∠� = ∠� = 90° ，∠��� = 30° ，∠��� = 45° ，�� = 2 ， 现将三角板 ��� 沿 �� 折起，使 D在平面 ��� 上的射影 O恰好在 �� 上，如图乙． （1）求证： �� ⊥ �� ； （2）求证：O为线段 �� 中点； （3）求二面角 � − �� − � 的大小的正弦值． 18．已知函数 �(�) = ln� + 14�2 + 1 2� + � − 3 4，�(�) = ln� ． （1）求证： �(�) ≥ 14 ( 1 � − 1) 2 + � ； （2）用 max{�，�} 表示 �，� 中的最大值，记 ℎ(�) = max{�(�)，�(�)} ，讨论函数 ℎ(�) 零点 的个数． 19．已知无穷数列{��}(�� ≠ 0, � ∈ �∗)，构造新数列{�� (1)}满足�� (1) = ��+1 − ��, {�� (2)}满足�� (2) = ��+1(1) − ��(1), ⋯⋯, {��(�)}满足��(�) = ��+1(�−1) − ��(�−1)(� ≥ 2, � ∈ �∗)，若{��(�)}为常数数列，则称 {��}为�阶等差数列；同理令�� (1) = ��+1 �� , �� (2) = ��+1 (1) �(1) ,⋯⋯, �� (�) = ��+1 (�−1) �� (�−1) (� ≥ 2, � ∈ � ∗)，若{�� (�)}为常 数数列，则称{��}为�阶等比数列.. （1）已知{��}为二阶等差数列，且�1 = 1, �2 = 4, �� (2) = 2，求{��}的通项公式； （2）若{��}为阶等差数列，{��}为一阶等比数列，证明：{�� ��}为阶等比数列； （3）已知�� = −3�2+8�−1 4� ，令{��}的前�项和为��, �� = �=1 � �� − 1 ，证明：�� < 2. 数学试卷 第 4 页，共 4 页 ■口回▣ 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o [1] [1] 1] [1] [1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 2 2 [2 [2 2 [2 [4 图 4到 注意事项： 恩 哥 恩 恩 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 [7] [8] 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 91 [9 [97 [97 [9 91 [91 [9] [9] 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第1页，共6页) 一、选择题 1 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 8 [A]B][C][D] 、选抒题 9 [A][B][C][D] 1O[A][B][C]D] 11[AJ][B][c][D 三、填空趣 12 13、 四、解答题 15、(13分) 请勿在此区域内做任何标记 16、(15分) 2 口■口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [oj [o] [o] [o] [o] [o] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 5a5a3 8883 注意事项： 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 S60 D2S0566039 H2S456C8 E8E3EEEEE S14560 2SH56838S 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9 9 [9 50789 S03089 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第3页，共6页) 17、(15分) B B 图甲 图乙 3 请勿在此区域内做任何标记 18、(17分) 口口■口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [oj [o] [o] [o] [o] [o] [o] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 5a5a3 D2S0566039 H2S456C8 83 注意事项： 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 S60 S00 S010 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9] [91 [9 5608S 1 91 [91 [9 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第5页，共6页) 续18题 19、(17分) 请勿在此区域内做任何标记 续19题 6■口口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学答题卡 2024.7 [o] [o [o] [o] [o] [0] 1 [1] [1] [11 1] [1] [1] 1 学校 班级 姓名 试室号 座位号 [2 [2 [2 [2 [2] [2 [21 2 2 ] [3 ] [4 注意事项： 6 e 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 CEEE [81 [81 [8] 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 r9] [9] r9] 9 [9] [9 [9] [9] 91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第1页，共6页) 一、选择题 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[AJ[B][c][D] 4[A][B][C][D] 5 [A][B][c][D] 6AJ[B][c][D] TtA][B][C】[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题 9 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 三、填空题 12、 13 14 四、解答题 15、(13分) 1 请勿在此区域内做任何标记 16、(15分) 2 口■口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学答题卡 2024.7 [o] [o [0 [0 [0] [0] [0 [1] [1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 a 注意事项： 高 意 g 33EE 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 [81 35 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 r9] [9] [91 9 [9 [9] [91 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第3页，共6页) 17、(15分) B 图甲 图乙 3 请勿在此区域内做任何标记 18、(17分) 4 口口■口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（一） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [0] [0] C1] [1] C1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 a 注意事项： 阁 意 g 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 [81 [8 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 ] [9] [91 91 [91 [9] [91 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 (第5页，共6页) 续18题 19、(17分) 请勿在此区域内做任何标记 续19题