精品解析：河南省驻马店市平舆县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末学情测评 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义列出不等式组是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解出不等式组即可完成解答． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得 ， 解得：． 故选：C． 2. 下列四个图形中，不能表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了函数定义，掌握函数的定义是解答的关键． 检验每一个选项中对于的每一个值，在图象上是否有唯一的值与之对应，即是否符合函数的定义即可解答． 【详解】解：选项的图象中给定某一值时，出现了两个不同的值与之对应，不符合函数定义， 故选：C． 3. 若一组数据3，x，4，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数的知识，根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数是解决此题的关键． 【详解】∵3、x、4、5、6的众数为5， ∴， ∴这组数据为3、4、5、5、6， ∴这组数据的中位数为5， 故选：B． 4. 如图所示，在中，对角线相文于点是对角线上的两点，当满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB， 又∵OE=OF ∴四边形DEBF是平行四边形．能判定是平行四边形． B、DE=BF，OD=OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE=OF ∴四边形DEBF不一定是平行四边形． C、在△ADE和△CBF中，∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE=CF， ∴OE=OF，故C能判定是平行四边形； D、同理△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∴OE=OF，故D能判定是平行四边形; 故选：B． 【点睛】本题需注意当大的平行四边形利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． 5. 如图，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，则这个一次函数的表达式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设一次函数的解析式，根据题意求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：设一次函数的解析式， ∵一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点， ∴在直线中，令， 解得：， 则B的坐标是． 把，的坐标代入一次函数的解析式 得：， 解得， 该一次函数的表达式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 561 560 561 560 方差s2（cm2） 3．5 3．5 15．5 16．5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的概念判断即可． 【详解】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5， ∴=＜＜， ∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔， ∵甲的平均数是561，乙的平均数是560， ∴成绩好的应是甲， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数和方差的概念，平均数越大成绩越好，方差越小成绩越稳定，解题的关键是掌握平均数和方差的概念． 7. 如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，取格点E，F，连接，利用勾股定理证明是等腰直角三角形，得出，根据格点的性质推出，得到，即即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，F，连接， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由格点的性质得：， ， ， 故选：D． 8. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，直接利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故选D． 9. 如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据 “三线合一”得到D为的中点，根据三角形中位线定理计算得到，再利用计算求解即可解题． 【详解】解：，是边上的高，垂足为D， D为的中点， E为的中点， 为的中位线， ， ， ， 故选：B． 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知实数在数轴上的位置如图所示：则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 12. 如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 13. 如果直线与直线相交于第三象限，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第三象限列出不等式组求解即可． 【详解】联立， 解得， 交点坐标为， 两直线相交于第三象限， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 所以，不等式组的解集是， 即实数的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标与解不等式组，求出用表示的交点坐标并列出不等式组是解题的关键，也是本题的难点． 14. 设，，，…，．设，则S= _____________ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 【解析】 【详解】∵Sn=1++ = = = ∴==1+- ∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+- =n+1﹣ = = 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到′，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出． ②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图所示．连接， 在中，，， ∴， ∵沿折叠，使点落在点处， ∴， 当为直角三角形时，只能得到， ∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当点落在边上时，如图所示．此时为正方形， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）化简：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的混合运算，掌握解一元一次不等式组的方法，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，二次根式的性质是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，二次根式的性质进行计算即可求解． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ． （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 17. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算； （2）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 优优同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到株西红柿秧上小西红柿的个数： （1）求后10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数、中位数和众数； （2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方如图； 个数分组 频数 （3）通过频数分布直方图分析此大棚中西红柿的长势． 【答案】（1）平均数；中位数是；众数是 （2）表格见解析，作图见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力； （1）根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案； （2）根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图； （3）根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可． 【小问1详解】 解：后10株西红柿秧上小西红柿个数的数的平均数是； 把这些数据从小到大排列：，最中间两个数的平均数是， 则中位数是49.5； 数据60出现了2次，出现的次数最多，则众数是60． 【小问2详解】 根据题意填表如下： 个数分组 频数 2 5 7 4 2 补图如下： 【小问3详解】 此大棚的西红柿长势普遍较好，最少有28个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共7株；西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．（合理即可） 19. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证： （1）． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 20. 已知和是一次函数的两组对应值． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出这个函数的图象，并求出它与轴、轴的交点； （3）求直线与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】（1） （2）轴的交点为，与轴的交点为，见解析 （3） 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数解析式求解，一次函数与坐标轴交点问题等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将和代入，利用待定系数法即可求解； （2）令，则，即可求出一次函数与轴的交点为，令，则，即可得出一次函数与轴的交点为，由此画出图象即可； （3）根据（2）中，，结合图象即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得：， 所以这个一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：令，则， 令，则，解得：， ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为， 函数的图象如图： 【小问3详解】 解：直线与两坐标轴围成的图形面积． 21. （1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路： 小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E， 在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标． 【答案】（1），，（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、点坐标的规律、由平移方式确定点的坐标、全等的判定及性质： （1）根据平行四边形的性质得到两直线平行，同位角相等，证得两个三角形全等，得到对应边相等；根据平移的规律可得到点的坐标； （2）方法一是根据证明两个三角形全等得到结果；方法二是根据平移规律得到结果； 正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）小明：由平行四边形的性质得到， ∴， 再根据两个三角形的两个角及一条边对应相等可得到两个直角三角形相等， ∴得到的条件是； 小颖：根据平移的方式，点水平向右平移3个单位长度得到点C，横坐标加3， 即； 故答案为：，，； （2）方法1：如图，作轴于点M，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两者交于点N， 则，延长交x轴于点S， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又点，故点R的坐标为， 方法2：在平行四边形中，有， ∵原点O先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度，得到点， ∴点，经过同样的平移方式可得到点R，则点R的坐标为． 22. 问题：探究函数的图象与性质． 优优根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是优优的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量的取值范围是______． （2）表格所示的是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 2 1 0 0 1 … ①______； ②若与为该函数图象上不同的两点，则______． （3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出表3中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的大致图象，根据函数图象可知：该函数的最小值为______；该函数图象与轴围成的几何图形的面积是______． （4）已知直线与函数的图象交于两点，当时，试确定的取值范围． 【答案】（1）任意实数 （2）①2；②； （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，以及一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系，解题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）根据题目中的函数解析式即可求得自变量的取值； （2）①把代入解析式计算即可得到的值； ②将代入解析式中即可解得的值； （3）根据表中所给数据，在坐标系中通过“描点”、“连线”画出函数的图象，根据所画图象即可得到：该函数的最小值和该函数图象与x轴围成的几何图形的面积； （4）画出的图象，将转化为的图象在图象上方时的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：函数自变量的取值范围是任意实数． 【小问2详解】 解：①把代入，得． ②把代入，得， 解得或2024． 因为与为该函数图象上不同的两点， 所以． 【小问3详解】 解：该函数的图象如图所示，由图可得，该函数的最小值为； 该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是． 【小问4详解】 解：在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象如图所示， 由图象可知，当即时，的取值范围是． 23. 在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． （1）如图，当四边形是正方形时， ． （2）如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． （3）在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）作交的延长线于，证出，得到，再根据正四边形的性质得到，从而计算出，即，故，再根据，求出，从而可得出结论． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则即可求解； 方法2：如图，连接，，证明，，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； （3）作于点，则， 证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：当四边形是正方形时，作交的延长线于． ， ， 又， ， 又，且， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 方法1：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又， ∴ ∴，， 由，得 ∴ ∴ 方法2：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问3详解】 由（2）知， ， ∵， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵，则 ∴ ∴ 如图，作于点，则， ， 得 则 当，时， 当，时， 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末学情测评 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为任意实数 2. 下列四个图形中，不能表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一组数据3，x，4，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为（ ） A 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图所示，在中，对角线相文于点是对角线上的两点，当满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，则这个一次函数的表达式是( ) A. B. C. D. 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 561 560 561 560 方差s2（cm2） 3．5 3．5 15．5 16．5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知实数在数轴上的位置如图所示：则______． 12. 如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则______． 13. 如果直线与直线相交于第三象限，则实数的取值范围是_____． 14. 设，，，…，．设，则S= _____________ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 15. 如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）化简：． （2）解不等式组： 17. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 18. 优优同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到株西红柿秧上小西红柿的个数： （1）求后10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数、中位数和众数； （2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方如图； 个数分组 频数 （3）通过频数分布直方图分析此大棚中西红柿的长势． 19. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证： （1）． （2）． 20. 已知和是一次函数两组对应值． （1）求这个一次函数表达式； （2）画出这个函数的图象，并求出它与轴、轴的交点； （3）求直线与两坐标轴围成的图形面积． 21. （1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路： 小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E， 在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标． 22. 问题：探究函数的图象与性质． 优优根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是优优的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量的取值范围是______． （2）表格所示的是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 2 1 0 0 1 … ①______； ②若与为该函数图象上不同的两点，则______． （3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出表3中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的大致图象，根据函数图象可知：该函数的最小值为______；该函数图象与轴围成的几何图形的面积是______． （4）已知直线与函数的图象交于两点，当时，试确定的取值范围． 23. 在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． （1）如图，当四边形是正方形时， ． （2）如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． （3）在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$