精品解析：四川省达州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

达州市2024年普通高中一年级春季期末监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 18 C. 2 D. 2. 将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（ ）． A. 20 B. 25 C. 50 D. 无法确定 3. 设中角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. 12 D. 4. 已知复数，则z的虚部为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列计算不正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）． A. 0.5394 B. 0.8419 C. 0.8415 D. 0.5398 7. 在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在之间，将这些成绩共分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数（中位数精确到个位）分别是（ ）． A. 65，70 B. 65，71 C. 65，72 D. 65，73 8. 已知甲船在小岛B正东方向4海里的C处，乙船在小岛B正南方向3海里的A处．甲船沿北偏西方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为（ ）． A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据，，…，的样本平均数为，样本方差为，由这组数据得到新样本数据，，…，，这组新样本数据的样本平均数为，样本方差为，其中，则（ ）． A. 两组样本数据的样本平均数满足 B. 两组样本数据样本方差满足 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（ ）． A. B. A与B互斥但不对立 C. C与D对立 D. 11. 如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果O为的重心，那么 D. 如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校用分层随机抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级有学生900人，从中抽取了18人．则该校高中学生总人数是__________人． 13. 复数，满足，，则的取值范围为__________． 14. 已知某操场看台上有一个与操场水平面垂直的圆柱，该圆柱上方挂有高5米的电子屏幕，电子屏幕底部到操场水平面的距离为5.75米．某人站立在操场时，他眼睛中心到操场水平面的距离为1.75米，则该人离圆柱距离__________米站立，看电子屏幕底部到顶部的视角（从眼睛中心向物体两端所引射线的夹角）最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为提高国民法律意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广大群众网上学习法律知识，并且可以通过考试检测自己学习情况．为了解广大群众学习法律知识的情况，在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩（满分100分），得分如下： 男性参考者考试成绩：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95． 女性参考者考试成绩：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97． （1）求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差； （2）若规定得分在90分及以上的为成绩优秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人，求这2人性别相同的概率． 16. 已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为． （1）求的解析式及对称中心； （2）将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． （1）求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； （2）求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； （3）求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； （4）求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 18. 已知函数，其中，． （1）当时，求的值域； （2）若存在，使得成立，求t取值范围． 19. 如图，在中，平分交于，，，. （1）求的长； （2）若是延长线上一点，当与各边长均为整数时，求图中与相似的三角形的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达州市2024年普通高中一年级春季期末监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 18 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据若，，则有计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 2. 将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（ ）． A. 20 B. 25 C. 50 D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系，即可得答案. 【详解】任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机性，即频率(频数与试验次数的比值)具有随机性， 而随试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性， 则投掷100次的试验中，事件A发生的频率有随机性，故无法确定. 故选：D 3. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 4. 已知复数，则z的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算和复数的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部为． 故选：C． 5. 下列计算不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别应用两角和差公式计算判断A，D，应用二倍角公式结合诱导公式计算判断B，C. 【详解】对于A：，A选项错误； 对于B：，B选项正确； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项正确. 故选：A. 6. 已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）． A. 0.5394 B. 0.8419 C. 0.8415 D. 0.5398 【答案】C 【解析】 【分析】本题先由已知结合诱导公式求出，再由已知条件给定的公式代入计算，同时作估算分析即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以 故选：C. 【点睛】关键点点睛：（1）利用诱导公式转化所求的值；（2）理解公式的含义，并在条件式中的运用，分析估算所求的函数值. 7. 在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在之间，将这些成绩共分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数（中位数精确到个位）分别是（ ）． A. 65，70 B. 65，71 C. 65，72 D. 65，73 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据众数和中位数的概念以及在频率分布直方图的表达方法即可计算求解. 【详解】众数是频率分布直方图中最高的矩形的中点的坐标，即众数为， 设把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标为， 先求图中的a值，由得，， 则，所以. 故选：D. 8. 已知甲船在小岛B正东方向4海里的C处，乙船在小岛B正南方向3海里的A处．甲船沿北偏西方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为（ ）． A. 海里 B. 海里 C 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据题意画出图形，并作出乙船与甲船会合的最短距离，然后解三角形即可得出结果. 【详解】如图所示，过点A作于点D，由题意可知，即为乙船航行的最短距离. 因为在中，，所以，所以， 所以 ， 所以在中，， 即乙船航行的最短里程为海里. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据，，…，的样本平均数为，样本方差为，由这组数据得到新样本数据，，…，，这组新样本数据的样本平均数为，样本方差为，其中，则（ ）． A. 两组样本数据的样本平均数满足 B. 两组样本数据的样本方差满足 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，由平均数的定义得到；B选项，由方差得定义计算出的方差及标准差；C选项，由标准差等于方差的算术平方根，可知标准差不同；D选项，由得到，D错误. 【详解】A选项，由题意得， 则，故A正确； B选项，由题意得， 所以 ，B正确； C选项，因为标准差等于方差的算术平方根，故两组样本数据的样本标准差不同，C错误； D选项，由于，故中最大值和最小值，经过变化后仍然为中的最大值和最小值， 即，则，D错误. 故选：AB 10. 某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（ ）． A. B. A与B互斥但不对立 C. C与D对立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题依据互斥事件、对立事件的概念以及概率计算即可判断. 【详解】对A、B，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故，故A正确，B不正确. 对C，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确. 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果O为的重心，那么 D. 如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确. 【详解】对于A：由题意,结合， 可得,即A错误. 对于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正确； 对于C：如果O为重心， 则可知， 可知，即C正确； 对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r, 则, 又,,则,所以， 可知，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校用分层随机抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级有学生900人，从中抽取了18人．则该校高中学生总人数是__________人． 【答案】3000 【解析】 【分析】利用比例求出学生总数. 【详解】设该校高中学生总人数为, 则，解得. 故该校高中总人数为人. 故答案为：. 13. 复数，满足，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先对进行化简，求得，设，再根据找到点的轨迹是一个圆，为圆上点到原点距离的范围计算解出答案； 【详解】因为， 所以， 设， 因为，所以，即，两边平方得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的距离等于5， 表示点到原点的距离，其最小值为，最大值为； 则的取值范围. 故答案为：. 14. 已知某操场看台上有一个与操场水平面垂直的圆柱，该圆柱上方挂有高5米的电子屏幕，电子屏幕底部到操场水平面的距离为5.75米．某人站立在操场时，他眼睛中心到操场水平面的距离为1.75米，则该人离圆柱距离__________米站立，看电子屏幕底部到顶部的视角（从眼睛中心向物体两端所引射线的夹角）最大． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设该人眼睛中心为，电子屏幕底部为，电子屏幕顶部为，圆柱底面圆心为，该人站立位置为，连接，，作交于点，设，，设，求出这两个角的正切值，由两角差的正切公式求出，最后由基本不等式可求得最大值． 【详解】如图，设该人眼睛中心为，电子屏幕底部为，电子屏幕顶部为，圆柱底面圆心为，该人站立位置为， 连接，，作交于点， 设米．则米, 米, 设，，设，则，， 当且仅当，即时，取“＝”， 所以当米时，tanθ取最大值，此时视角θ取最大值． 所以该人离圆柱距离米站立，看电子屏幕底部到顶部的视角最大. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为提高国民法律意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广大群众网上学习法律知识，并且可以通过考试检测自己学习情况．为了解广大群众学习法律知识的情况，在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩（满分100分），得分如下： 男性参考者考试成绩：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95． 女性参考者考试成绩：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97． （1）求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差； （2）若规定得分在90分及以上的为成绩优秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人，求这2人性别相同的概率． 【答案】（1）85；28；70.6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、极差和方差得概念求解即可； （2）先确定两组不同性别参考者中成绩优秀者得人数，再根据古典概率模型，先求出从优秀者中抽取2人的基本事件总数，再求出2人性别相同的基本事件数，从而求得2人性别相同的概率. 【小问1详解】 平均数为：； 极差为：； 方差为：70.6. 【小问2详解】 男性参考者考试成绩优秀的有3人，女性参考者考试成绩优秀的有2人，共5人， 现将3名男性优秀者编号为A，B，C，2名女性优秀者编号为D，E， 从中任取2人的基本事件有，共10个， 其中两人性别相同基本事件有，共4个， 记事件M=“两人性别相同”，则. 16. 已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为． （1）求的解析式及对称中心； （2）将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 【答案】（1）；，. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的解析式，再求函数的对称中心； （2）先求出函数的解析式，再求函数在区间上的单调递减区间. 【小问1详解】 ∵过，∴，由，∴，∴， 又过，∴，∴ ∴，∵，∴ ∴，∴， 令， ∴的对称中心为，. 【小问2详解】 函数的图象上各点的的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到； 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以， ， ∴， ∵，∴， ∴在上单调递减区间为. 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． （1）求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； （2）求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； （3）求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； （4）求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （2）利用不放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （3）利用有放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （4）利用不放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 记7个红球编号，3个白球分别为， 则在有放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有10种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成100种等可能的结果. 如表1所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7，7） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,8） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （98） （9,9） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） （10,10） 表1 由上表可以看出，第二次摸到白球为第8、9、10三列，共有30种可能的结果，记A=“第二次摸到白球”，则. 【小问2详解】 在不放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有9种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成90种等可能的结果，如表2所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （78） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） 表2 由上表可知，第二次摸到白球的可能结果有27种，见表中后3列. 记B=“第二次摸到白球”，则. 【小问3详解】 由表（1）可知，有放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有58种. 记C=“摸到球颜色相同”，则. 【小问4详解】 由表（2）可知，不放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有48种. 记D=“摸到球颜色相同”，则. 18. 已知函数，其中，． （1）当时，求的值域； （2）若存在，使得成立，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据x的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）将所求问题进行等价转化为，当，再对t进行分类讨论并根据正弦函数性质计算最大值即可. 【小问1详解】 由题意得， ， 又因为，所以，由正弦函数性质可知， ，即， 所以的值域为. 【小问2详解】 若，使得成立， 则等价于时，即可. ①由（1）可知，， 因为，所以， 当时，即时，此时， 所以，即， 根据正弦函数的性质可得，，解得， 所以. ②当时，即时，显然成立. 综上得，， 所以的取值范围是. 19. 如图，在中，平分交于，，，. （1）求的长； （2）若是延长线上一点，当与各边长均为整数时，求图中与相似的三角形的个数. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）在中，分别由正弦定理得，再由余弦定理得，化解即可； （2）设，通过余弦定理得，，根据确定当时成立，再求每条边长即可. 【小问1详解】 因为平分，， 所以， 设， 在中，分别由正弦定理得 ， 因为， 所以，即. 在中，分别由余弦定理得 ， 即，解得或， 当时，为等腰三角形，为中点，则， 但与矛盾，故舍去. 所以. 【小问2详解】 由（1）得，则， 所以为等腰三角形，则， 且， 设， 在中由余弦定理得， 所以. 在中由余弦定理得， 即， 在中由余弦定理得， 即， 因为，各边长均为整数， 所以. 即将代值得，当时，，成立， 所以中边长为， 中边长为， 中边长为， 中边长为， 故与相似的三角形有，，，即3个. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的正弦定理、余弦定理的应用，第一问解题关键是通过角平分线定理及余弦定理求边长；第二问解题关键是设，通过余弦定理得，，根据确定当时成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$