湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高二下学期期末大联考数学试题

机密★启用前 2024年上学期高二期末考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={xx2-5x+6=0},则Cu(AUB)= A.{0,1,5} B.{0,4,5} C.{2,3,5} D.{2,3,4} 2.已知i是虚数单位，复数之满足(1一)x=4,则之= A.1+3i B.2+2i C.1-3i D.2-2i 3.已知M,V是圆O上的两点，若MN|=3,则MO·MN= 9 3 A.3 C.9 4.已知函数f(x)=Asin(mx十p)(A>0,w>0,g<)的部分图象升 如图所示，则 A.A=1 B.w=1 C.f()=2 D.f(x)的最小正周期为 已知双曲线E:-》1b>0)的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为 A号 B.3 C.2 D.5 6.在(x一y)(x+y)5的展开式中，x3y的系数是 A.-5 B.5 C.-10 D.10 【高二数学试题第1页（共4页）】 7.从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的 球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(BA)= B.i 8设函数了x)的定义域为R,且满足fx)-f3-x)=0,x)+f(-x)=0.Vx:∈0，引， 都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a=f(-3),b=f(1n8),c=f(2024),则 A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.6<c<a 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.下列说法正确的是 A.数据2,7,4,5,16,1,21,11的中位数为5 B.当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(BA)=P(B) C.若随机变量X服从正态分布N(6,o),若P(X<10)=0.8,则P(2<X<6)=0.3 D.已知一系列样本点(x,y,)(i=1,2,3,…,n)的经验回归方程为y=3x十a,若样本点(s,3)与 (3,t)的残差相等，则3s十t=9 10.已知抛物线C:y2=4x,直线l过C的焦点F,且与C交于M,N两点，则 A.C的准线方程为x=一2 B.线段MN的长度的最小值为4 C.存在唯一直线I,使得F为线段MN的中点 D.以线段MN为直径的圆与C的准线相切 11.已知圆柱O1O2的高为23，线段AB与CD分别为圆O1与圆O2的直径，则 A.若P为圆O1上的动点，AB⊥AC,则直线O,P与AC所成角为定值 B.若△ABC为等边三角形，则四面体ABCD的体积为24√3 C.若AB⊥CD,且AB=26,则AC⊥BD D.若AB⊥CD,且AC与BD所成的角为60°，则四面体ABCD外接球的表面积为20π或84π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a=(-1,k).b=(2,1),若a⊥b,则a十b= 13.3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情 况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁 多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下 【高二数学试题第2页（共4页）】 表格： 项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子 志愿者人数 30 60 50 40 20 若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随 机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为 log2x,0<x≤2 14.已知函数f(x)= ,且x1<x2<x<x4时，f(x)=f(x2)=f(x)=f(x), x2-6x+9,x>2 则x1x2x3x4的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin2A=a sinB. (1)求角A的大小： (2)若b+c=√2a,△ABC的面积为3，求△ABC的周长. 18.5分已知箱圈C:号+若=1a>6>0过点P反1，且离心率为 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1过点Q(0,一1)，且与C交于A,B两点，当AB最大时，求直线L的方程. 【高二数学试题第3页（共4页）】 17.(15分)如图，四棱锥P一ABCD中，PC⊥平面ABCD,DA=DC=PC,AB=AC=BC=23, AB⊥AD (1)证明：PA⊥BD: (2)求平面PAD与平面PAC夹角的余弦值. 18.(17分)已知正项数列{an}的前n项和为Sm,且a员十2an一n=2Sm. (1)求a1,a2的值及数列{am}的通项公式； (2)求数列{3a。一Sm}的最大项； 62 ，n为奇数 (3)若数列{b.}满足b,= am·am+2 ,求数列{bn}的前30项和T30(216=65536,217= ·2-1,n为偶数 131072). 19.(17分)已知函数f(x)=t-1)lnr, x+1 =,g(x)=aer+》-a(a>0). (1)当a=1时，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若g(x)≥f(x)对任意x∈[1，十∞)恒成立，求整数a的最小值. 【高二数学试题第4页（共4页）】2024年上学期高二期末考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】A 【解析】B={2,3},AUB={2,3,4,C(AUB)={0,1,5}.选A 2.【答案】B 【解折1=吉--2+2红适区 3.【答案】B 【解标Md.M-Mt-号选R 4.【答案】C 【g折1写-登-受T=w=2A=2.选C 5.【答案】A 解析1b1,a=2,c=5,e-)号进A 6.【答案】A 【解析】C-C=-5.选A. 7.【答案】D 【解析】P(BA) C10 Cg+Cg-13选D. 8.【答案C 【解析】/()关于x=号对称，且为奇函数(x)在[0，]单调递增，在[子3]单调遥减， a=f(-3)=f(0)=0,c=f(2024)=f(2),2<1n8<3,故f(-3)<f(1n8)<f(2024).选C. 9.【答案】BC 【解析1A:中位数是6，故A错误：B:P(B1A)=PAB)=P(B),故P(AB)=P(A)P(B,故B正确. P(A) C:P(2<X<6)=P(6<X<10)=P(X<10)-0.5=0.3,故C正确. D:3一(3s十a)=1一(9十a),故3s十1=12，故D错误.选BC. 10.【答案】BCD 【解析】准线：x=一1，故A错误.由抛物线的性质可得BCD正确.故选BCD. 11.【答案】ACD 【解析】当AB⊥AC时，AC是母线，故AC∥O,O2,故直线O2P与AC所成角是定值，A正确： 【高二数学试题参考答案第1页（共5页）】 当△ABC为等边三角形时AB⊥CDr=后，Vm-号×号×2后X2后×2,6=8厅，B错误， 对于C,当AB⊥CD时，以O,为原点，以AB,O,O2所在直线分别为y轴、z轴，以圆O,中垂直于AB的直径 所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,-6,0),B(0,W6,0),C(6,0,25),D(-6,0,25) 所以AC=(6,w6,2√3)，BD=(-6,-√6,23)， 所以AC·BD=√6X(一6)+6×（一√6）+25×23=0，所以AC⊥BD,故C正确. 对于D,设圆柱底面半径为r, 则A(0,-r,0),B(0r,0),C(r,0,23),D(-r,0,23), 所以AC-(r,r.23),BD=(-r,-r,23) 所以AC.BD=-r2-r2+12=-2r+12,|AC|=|BD|=22+12, 所以os<AC,BD>=AC·B时 |-2r2+12 1 AC·BD√/2r2+12.√/2r+12 2 解得r=√2（负值已舍去）或r=32(负值已舍去). 当r=2时，球0的半径为R=√2+(W3)=√5，所以球O的表面积S=4πR:=20π： 当r=32时，球O的半径为R=√/r2十(5)=√2I,所以球O的表面积S=4πR2=84π，故D正确. 故选：ACD. 12.【答案】10 【解析】a·b=0得k=2,a十b=(1,3),|a+b|=√10.故答案为10. 18【答案1号 【解析】E(X)=3X 忍品故答案为 3 14.【答案】(8,9) 【解析】x1x=1,x十x1=6,x∈(2,3)，故x1xxx1=xx,=x(6-xa)∈(8,9).故答案为(8,9). 15.解：因为bsin2A=a sinB, 由正弦定理可得：sinB·sin2A=sinA·sinB, 即sinB·2 sinA cosA=sinA·sinB, …2分 又因为simA>0,sinB>0,所以cosA=2, 4分 A∈(0，π). A= 3￥ 6分 (2)由题意SaAc=豆cinA=3, 【高二数学试题参考答案第2项（共5页）】 由(1)知A=,bc=4,西 8分 又a2=b2+e2-2 bc cosA 所以a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc. 又因为b+c=√2a,a2=(b+c)-3hc=2a2-12, 即a=2W5。…………10分 又因为b十c=√2a=26,… 12分 所以△ABC的周长为25十2W6.………… ……13分 16解：(1)因为点P(2,1)在椭圆C上，所以后+ 2 …1分 又e=c= 2· …2分 a2=b2+c2, 所以2=4，b2=2,…………………4分 2 即得椭圆C的方程为子十之 =1 …6分 (2)当直线1斜率k不存在时，直线1：x=0与C交于A,B两点，则线段AB=2W2:…9分 当直线1斜率k存在时，设直线l:y=kx一1，点A(x1,y),B(xg,y:), [y=k.x-1 联立方程 得：(1十2k).x2-4k.x-2=0, =1 2 Ak -2 所以x1十x:=1十2k1x4-1+2k 11分 .|AB|=1+k(x1+x:)2-4x1x2 √1+k√/32k+8 1+2k 12分 设1=1+2k2,则1≥1.所以|AB|=2 +1+2=2 当1=2时等号成立，6= 2 又因为22<3，所以|AB|*=3,……14分 此时直线1的方程为y号一1或y= 2 2x1 15分 17.解：(1)证明：设BD∩AC=O, DA=DC.BA=BC=AC. .DB⊥AC. 2分 ,PC⊥平面ABCD,.PC⊥BD. 又PC∩AC=C,BD⊥平面PAC,………4分 【高二数学试题参考答案第3项（共5页）】 ∴.BD⊥PA;… 6分 (2)以O为原点建系如图，，BA⊥DA,∠BAC=60°，AC=2√3 ∴.∠DAC=∠DCA=30°，DO=1,OA=OC=3,DA=DC=PC=2,·8分 A(3,0,0),D(0,-1,0).P(-3,0,2) PD=(3,-1,-2).PA=(23,0,-2), 10分 设平面PAD的法向量为n1=(x,y,x), 则P=3x-y-2s=0 PA·n2=23.x-2x=0 不妨设x=1,则可取n1=(1,一5,5).…12分 由(1)知BD⊥平面PAC, ∴.平面PAC的一个法向量n=(0,1,0). …13分 n1·ng 记平面PAD与平面PAC的夹角为0，则cos0= 3 27 ………15分 nn2 1×1+3+3 18.解：(1)因为a十2a。一n=2Sn,所以a1=1,a2=2,……2分 当n≥2时，a-1十2am-1-n+1=2S。-1: 则a号千2aw-n-a-1-2aw-1十n-1=2(S。-Sw-1）=2公w,…3分 化简得：a1十2a.-1十1=a,而an>0,所以an=a。-1十1，…4分 所以{an}为等差数列，所以a.=n:………5分 (2)由)可知，a.=n,则S.=n(n十1D 2 所以3a.-S.=3-nm+1D=-1, 2h、1 5、￥，25 2 (n 2 8· …7分 因为n∈N,当n=2或n=3时，3am一S。取最大值3，……9分 所以数列{3。一Sn}的最大项为第2项或第3项，其值为3.……10分 (3)由题可知，当n=2k一1，k∈N时. 62 b=-1 62 ah1·a2+1 2k-·k+D31(2-2中） =30,…13分 当n=2k,k∈N时，b.=b24=2k·2-1=k·2, 所以B=b:+b,+…+b0=1×21+2×22+…+15×215, .2B=1×28+2×23+…+15×26, 所以-B=2+2+2+…+2-15×20=21-2）-15X20=-2-14×24. 1-2 所以B=2十14X26,…………16分 所以Tn=A十B=32+14X26=32十7X22=917536.…17分 19.:(1)当a=1时，g(x)=e+1一1，g'(x)=e+1, 所以g(1)=e2-1,g'(1)=e2，……2分 所以切线方程为：y一(e2一1)=C2(x一1)即y=e2x一1；…4分 【高二数学试题参考答案第4页（共5页）】 (2)因为f(.x)=x-1)lnx x+1 ar+）c+D--1Ir2nr+r- 1 所以∫'(x) (.x+1) (x+1)2 ……5分 设h(x)=21nx+z-1 则'x)=2+1+=2x十1+1 …… 又因为x>0,所以h'(x)>0,即y=h(x)单调递增， 又因为h(1)=0,所以.x∈(0,1)时，h(.x)<0,即f'(x)<0: x∈(1，十0o)时，h(x)>0,即f(x)>0:…8分 综上可知：函数f(.x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十o∞)；……9分 (3)因为g(x)≥f(x)对任意x∈[1，+o)恒成立，即ae+-a≥r二1Dlr, x+1 a(.x+1)e+n-a(x+1)≥(x-1)ln.x, 即a(x+1)(er+-1)≥(x-1)lnx, 即(e+》-1)lne+D≥(x-1)ln.x,…11分 设g(x)=x-1nx,x≥1，则g'x)=1nx+t-lnr+1-1 易知9'(x)单调递增，所以9'(x)≥g'(1)=0, 所以(x)单调递增，则原不等式等价于g(e+”)≥g(x),即e+"≥x对任意x≥1恒成立， 所以≥肾令r) 17*如≥r（工）m*·… …13分 +1-Inr 1+1 -Inx 又因为r'(x)= (x+1)=(x+1), 令1x)=1+-,则x)=-<0,所以t)单调递减： 又因为1)-2>01(e)-1+是-2<0， 所以3r,∈1，e4x)=1+1-1nr=0, 所以x∈(1，x。)时，t(x)>0,即r'(.x)>0,r(x)单调递增： x∈(x,十0∞)时，t(x)<0,即r'(x)<0,r(x)单调递减：…15分 1+1 所以r(x)=r(xn)= o I xo+11+x。x0 所以≥面（小 所以整数a的最小值为1.… ……17分 【高二数学试题参考答案第5项（共5页）】2024年上学期高二期末考试 离座香酒肩的溶夏可内作香，烟速规利女想原定区城的断有汽吸 速在务西目的香丽国调内滑征，用国雨达座■夏国的签理无丽 数学答题卡 15(本小题再分1挂分) 6本小赠清分5分 姓名 贴条形码区 号号 考生持消暖专形生打面无域品5和民为传湘想笔维除海的触无样足 1青通售，卷生新必裤地健有有已的妆名。通证华的写在说定的型，特准条 编 a 形开1前准证号，节朝4泰人特形地建正纯提以料相但时有气，青盖 注 备风填速 宽工4甲是电球用过的着这业：此件4乙作具5丝生室香4第7常州 特。字律十整，转油读地 项1青养名线在纳睡中养里日年罐宝有■城丹库笔，越性作解线直用写养 话择题《请用2妇们笔演常1 1[A】.Ls]IG1LO】 5[AJ[】IG][0] [A][8]Ic][D] 2[A][B](a1 [o] hIA1[B】tGID 10A][B1 [C][D] [A)[e](cl [D] 7[A][N][C]ID] 11【A1tn】{c)[D 4rA7【8jG1.[D1 8ta]B:ICID时 非薄保题{清使用0.5毫米的黑色字凌苔字笔书写1 2(5分1 3(3分) 45分) 请言养温目的灌■区适内作满，罐比短船型星室置域的害章光签 满存养调目的活整量域内作苦，题生维射心趋度害植域的需素光量 结存务盖目的常相组维再含善，组出壶相储座■址的落率生雪 二数学第1直（共2互1 请否务帽纳看题区健内作青，明出规装的国限定国速时香票发殊 速在各视门的备理调内作害，用出延利达相国无营时的答罩无营 速在务而月的等程过墙内作活，量进影制选框回无宽国的签家后 17.(本小则请分15分1 1风.（本思满分7分 收木小题清分7分】 害存名有目的常粗温道大作，植出型制成想健家温域的需率光置 速存务端目的常都组域内作活，雄出架触出规量审区过的苦率士量 二数单第2面（共2万