第四章 基本平面图形 -与线段、角有关的计算问题 课件 2024—2025学年北师大版七年级数学上册

第四章　基本平面图形 专题4　与线段、角有关的计算问题 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS ◎问题综述 　　线段与角是几何图形中的基本图形，掌握好线段和角的有 关计算问题是以后学习其他几何知识的基础.在进行线段和角的 有关计算中，经常用到分类讨论思想和方程思想，解答这类问 题时，一定要数形结合，分类做到不重不漏. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 类型一　线段、角的和、差、倍、分问题 （1）如图，已知点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上，点 D 是线段 AC 的中点，且 CB ＝5， AD ＝3，求线段 DC 及 AB 的长. 【思路导航】先根据中点的性质求出 DC ，再结合图形将线段相 加得到 AB 的长. 解：因为点 D 是线段 AC 的中点， AD ＝3， 所以 DC ＝ AD ＝3， AC ＝2 AD ＝6. 所以 AB ＝ AC ＋ CB ＝6＋5＝11. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）如图，已知点 O 是直线 AB 上的一点，∠ COD 是直角， OE 平分∠ BOC ， OF 平分∠ BOD ，求∠ EOF 的度数. 【思路导航】根据角平分线的性质，求出∠ BOE 和∠ BOF ，再 根据∠ EOF ，∠ BOE 和∠ BOF 的关系即可解答. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：因为 OE 平分∠ BOC ，所以∠ BOE ＝ ∠ BOC . 因为 OF 平分∠ BOD ， 所以∠ BOF ＝∠ DOF ＝ ∠ BOD . 所以∠ EOF ＝∠ BOE －∠ BOF ＝ ∠ BOC － ∠ BOD ＝ （∠ BOC －∠ BOD ）＝ ∠ COD ＝ ×90°＝45°. 【点拨】在进行线段长度和角度大小的计算时，关键是根据图 形和已知条件灵活地运用和、差、倍、分关系进行代换，逐步 向已知条件靠拢，注意线段的中点和角平分线的性质的应用. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，已知∠ AOB ＝30°，∠ BOC ＝20°， OC 平分∠ AOD ，求∠ BOD 的度数. 解：因为∠ AOB ＝30°，∠ BOC ＝20°， 所以∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＝30°＋20°＝50°. 因为 OC 平分∠ AOD ， 所以∠ COD ＝∠ AOC ＝50°. 所以∠ BOD ＝∠ BOC ＋∠ COD ＝20°＋50°＝70°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，已知点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点， AB ＝4， CE ＝ AC ，求线段 BD 的长. 解：因为点 B ， D 分别是线段 AC ， CE 的中点， 所以 BC ＝ AB ＝ AC ， CD ＝ DE ＝ CE . 所以 BD ＝ BC ＋ CD ＝ （ AC ＋ CE ）. 因为 AB ＝4，所以 AC ＝8. 因为 CE ＝ AC ，所以 CE ＝6. 所以 BD ＝ （ AC ＋ CE ）＝ ×（8＋6）＝7. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型二　线段、角中的整体代入思想 如图，已知点 C ， D 为线段 AB 上的两点（点 C 在点 D 左 侧），点 M ， N 分别为 AC ， BD 的中点， AB ＝12， CD ＝5. （1）求线段 AC 与 DB 的长度的和； 【思路导航】（1）根据线段长度的和差，即可求出 AC ＋ DB ； 解：（1）根据题意，得 AC ＋ DB ＝ AB － CD ＝7. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）求线段 MN 的长. 【思路导航】（2）由（1）的结果结合线段的中点的性质，可得 MC ＋ ND ，再根据线段长度的和差即可解答. 解：（2）因为点 M ， N 分别为线段 AC ， BD 的中点， 所以 MC ＝ AC ， DN ＝ BD . 所以 MC ＋ DN ＝ （ AC ＋ DB ）＝ ×7＝3.5. 故 MN ＝ MC ＋ DN ＋ CD ＝3.5＋5＝8.5. 【点拨】在求线段时，若某些线段不易求得，可考虑整体代入 思想的运用. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 如图，已知射线 OA ， OB 分别为∠ MOP 和∠ NOP 的平分线， 且∠ MON ＝α，∠ NOP ＝β（β＜α），求∠ AOB 的大小. 解：因为∠ MON ＝α，∠ NOP ＝β， 所以∠ MOP ＝∠ MON ＋∠ NOP ＝α＋β. 因为射线 OA ， OB 分别为∠ MOP 和∠ NOP 的平分线， 所以∠ AOM ＝∠ AOP ＝ ∠ MOP ＝ （α＋β）， ∠ BOP ＝ ∠ NOP ＝ β. 故∠ AOB ＝∠ AOP －∠ BOP ＝ （α＋β）－ β＝ α. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型三　线段、角中的方程思想 如图，已知点 E 是线段 AB 的中点，点 C 是 EB 上一点， AC ＝12. （1）若 EC ∶ CB ＝1∶2，求 AB 的长； 【思路导航】（1）设 EC ＝ x ，根据比例关系，表示出 CB 的长 度，再根据题意列出方程即可求解； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）因为 EC ∶ CB ＝1∶2， 所以可设 EC ＝ x ， CB ＝2 x . 因为点 E 是线段 AB 的中点， 所以 AE ＝ BE ＝ EC ＋ CB ＝ x ＋2 x ＝3 x . 所以 AC ＝ AE ＋ EC ＝3 x ＋ x ＝12，解得 x ＝3. 故 AB ＝2 AE ＝6 x ＝6×3＝18. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若点 F 为 CB 的中点，求 EF 长. 【思路导航】（2）设 EC ＝ y ，根据题意，用含 y 的代数式表示出 CF 的长度，即可求解. 解：（2）因为点 E 是线段 AB 的中点，所以 AE ＝ BE . 设 EC ＝ y ，则 BE ＝ AE ＝12－ y . 所以 BC ＝ BE － EC ＝12－ y － y ＝12－2 y . 因为点 F 为 CB 的中点，所以 CF ＝ BC ＝6－ y . 所以 EF ＝ EC ＋ CF ＝ y ＋6－ y ＝6. 【点拨】当已知条件中数据较少，且知道线段之间的比例关系 或倍数关系时，可考虑设未知数，列方程进行求解. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，已知∠ AOB ，∠ BOC ，∠ COD 的度数之比是 2∶1∶3，且∠ AOC ＋∠ BOD ＝140°，求∠ AOD 的度数. 解：设∠ BOC ＝ x ， 则∠ AOB ＝2 x ，∠ COD ＝3 x . 根据题意，得（2 x ＋ x ）＋（ x ＋3 x ）＝140°. 解得 x ＝20°. 则∠ AOD ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＋∠ COD ＝2 x ＋ x ＋3 x ＝6 x ＝6×20°＝120°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，已知点 D 是线段 AC 的中点，点 B 是线段 CD 上的一 点，且 BC ＝ AB ， BD ＝1cm，求线段 AC 的长. 解：设 BC ＝ x cm，则 AB ＝2 x cm， AC ＝3 x cm. 因为点 D 是线段 AC 的中点， 所以 AD ＝ CD ＝ AC ＝1.5 x cm. 所以 BD ＝ CD － BC ＝0.5 x cm. 因为 BD ＝1cm，所以0.5 x ＝1，解得 x ＝2. 所以 AC ＝6cm. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型四　线段、角中的分类讨论思想 已知两根木条，一根长20cm，另一根长24cm，将它们一端 重合且放在同一条直线上（不计木条粗细），则此时两根木条 的中点之间的距离为 ⁠. 【思路导航】画出草图，然后分木条的另一端在同一方向和不 在同一方向两种情况进行讨论. 2cm或22cm　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】设较长的木条为 AB ＝24cm，较短的木条为 BC ＝ 20cm，点 M ， N 分别为 AB ， BC 的中点，所以 BM ＝12cm， BN ＝10cm.如图1，当 BC 不在 AB 上时， MN ＝ BM ＋ BN ＝12＋10 ＝22（cm）；如图2，当 BC 在 AB 上时， MN ＝ BM － BN ＝12－ 10＝2（cm）.综上所述，两根木条的中点间的距离是2cm或 22cm.故答案为2cm或22cm. 图1 图1 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 图2 【点拨】这类题一般没有给出配图，所以解题时需要自己根据 题意画出示意图.画图时，要注意线段的端点的位置或角的一边 的位置，根据可能的情况画图分类讨论进行解答. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 在同一平面内，已知∠ AOB ＝50°，∠ COB ＝30°，则∠ AOC 等于（　C　） A. 80° B. 20° C. 80°或20° D. 10° C 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 已知线段 AB ，在直线 AB 上取一点 C ，使 AC ＝2 BC ，在 AB 的反向延长线上取一点 D ，使 DA ＝2 AB ，求 AC ∶ DB 的值. 解：设 BC ＝ x .因为 AC ＝2 BC ，所以 AC ＝2 x . ①如图1，当点 C 在线段 AB 上时， AB ＝ AC ＋ BC ＝3 x . 因为 AD ＝2 AB ，所以 AD ＝6 x . 所以 BD ＝ AD ＋ AB ＝9 x . 所以 AC ∶ DB ＝2 x ∶9 x ＝2∶9＝ . 图1 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 ②如图2，当点 C 在线段 AB 的延长线上时， AB ＝ AC － BC ＝ x . 因为 AD ＝2 AB ，所以 AD ＝2 x . 所以 BD ＝ AD ＋ AB ＝3 x . 所以 AC ∶ DB ＝2 x ∶3 x ＝2∶3＝ . 图2 图2 ③当点 C 在线段 AB 的反向延长线上时，不满足 AC ＝2 BC ，所 以这种情况不存在. 综上所述， AC ∶ DB 的值为 或 . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型五　线段、角中的动态问题 已知∠ AOD ＝40°，射线 OC 从 OD 出发，绕点 O 以每秒 20°的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为 t 秒（ t ≤7），射线 OE ， OF 分别平分∠ AOC 和∠ AOD . （1）如图1，若 t ＝4，求∠ AOE 的度数； 图1 【思路导航】（1）根据角平分线的过程即可求解； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）根据题意，得∠ DOC ＝4×20°＝80°. 所以∠ AOC ＝∠ AOD ＋∠ DOC ＝40°＋80°＝120°. 又因为射线 OE 平分∠ AOC ， 所以∠ AOE ＝ ∠ AOC ＝60°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）如图1，求∠ EOF 的度数（用含 t 的代数式表示）； 图1 【思路导航】（2）根据旋转的过程和角平分线的定义进行计算即可； 解：（2）根据题意，得∠ COD ＝（20 t ）°. 所以∠ AOC ＝（40＋20 t ）°. 因为射线 OE ， OF 分别平分∠ AOC 和∠ AOD ， 所以∠ AOE ＝ （40＋20 t ）°＝（20＋10 t ）°， ∠ AOF ＝ ∠ AOD ＝20°. 所以∠ EOF ＝∠ AOE －∠ AOF ＝（10 t ）°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）射线 OC 从 OD 出发时，射线 OB 也同时从 OA 出发，绕点 O 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转，射线 OC ， OB 在旋转过程中（ t ≤7），若∠ BOD ＝ ∠ EOB ，请你借助图2和备用图进行分析后，直接写出 的值. 图2 备用图 【思路导航】（3）分两种情况讨论： OB 落在不同位置时进行角的计算即可求解. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（3）因为射线 OE 平分∠ AOC ， 所以∠ AOE ＝ ∠ AOC ＝20°＋10 t °. 所以∠ EOB ＝∠ AOE －∠ AOB ＝ ∠ AOC －∠ AOB ＝20°＋10 t °－10 t °＝20°. 所以∠ BOD ＝ ∠ EOB ＝10°. ①如图2，当 OB 落在 OF 和 OD 之间时，∠ BOD ＝∠ AOD －∠ AOB ＝40°－10 t °， 所以40－10 t ＝10，解得 t ＝3. 图2 备用图 数学 七年级上册 BS版 返回目录 ②如图3，当 OB 落在 OD 和 OE 之间时，∠ BOD ＝∠ AOB －∠ AOD ＝10 t °－40°， 所以10 t －40＝10，解得 t ＝5. 图3 图3 ＝ ＝ ＝ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 当 t ＝3时， 的值为 ， 当 t ＝5时， 的值为 . 故 的值为 或 . 【点拨】本题考查了角的计算、角的平分线的定义，解决本题 的关键是准确进行角的计算. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【新知理解】如图1，点 C 在线段 AB 上，图中共有 AB ， AC 和 BC 三条线段.若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点”. （1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不 是”）； （1）【解析】如图，当点 C 是线段 AB 的中点，则 AB ＝2 AC ， 所以线段的中点是这条线段的“巧点”.故答案为是. 是　 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若 AB ＝12cm，点 C 是线段 AB 的“巧点”，则 AC ＝ ⁠ cm. （2）【解析】因为 AB ＝12cm，点 C 是线段 AB 的“巧点”，所 以 AC ＝12× ＝4（cm）或 AC ＝12× ＝6（cm）或 AC ＝12× ＝8（cm）.故答案为4或6或8. 4或 6或8　 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解决问题】 （3）如图2，已知 AB ＝12cm.动点 P 从点 A 出发，以2cm/s的速 度沿 AB 向点 B 匀速移动；点 Q 从点 B 出发，以1cm/s的速度沿 BA 向点 A 匀速移动，点 P ， Q 同时出发，当其中一点到达终点 时，运动停止，设移动的时间为 t （s）.当 t 为何值时， A ， P ， Q 三点中一点恰好是以另外两点为端点的线段的“巧点”？ 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）解： t 秒后， AP ＝2 t cm， AQ ＝（12－ t ）cm（0≤ t ≤6）. ①由题意可知，点 A 不可能为线段 PQ 的“巧点”，此情况 排除. ②当点 P 为线段 AQ 的“巧点”时， 若 AP ＝ AQ ，则2 t ＝ （12－ t ），解得 t ＝ ； 若 AP ＝ AQ ，则2 t ＝ （12－ t ），解得 t ＝ ； 若 AP ＝ AQ ，则2 t ＝ （12－ t ），解得 t ＝3. 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 ③当点 Q 为线段 AP 的“巧点”时， 若 AQ ＝ AP ，则（12－ t ）＝ ×2 t ，解得 t ＝ （舍 去）； 若 AQ ＝ AP ，则（12－ t ）＝ ×2 t ，解得 t ＝6； 若 AQ ＝ AP ，则（12－ t ）＝ ×2 t ，解得 t ＝ . 综上所述，当 t ＝ 或 或3或6或 时， A ， P ， Q 三点中 一点恰好是以另外两点为端点的线段的“巧点”. 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$