精品解析：广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

清远市2023～2024学年第二学期高中期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ） A. 34 B. 40 C. 56 D. 68 2. 要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（ ） A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 一个多面体至少有4个面 C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间部分是棱台 4. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A B. C. D. 5. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的边长为2，，，，则（ ） A. 0 B. 8 C. D. 7. 设为复数，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知正方体棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（ ） A. ，为对立事件 B. ，为互斥不对立事件 C. ，不是互斥事件 D. ，是互斥事件 10. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲68 71 72 72 82 乙66 70 72 78 79 则（ ） A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则的虚部为______． 13. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______． 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数，求当实数为何值时； （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）为虚数． 16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的众数； （2）求，的值； （3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数． 17. 中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若且的面积为，求边长． 18. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求表达式； （3）令为这个数中数字9个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清远市2023～2024学年第二学期高中期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ） A. 34 B. 40 C. 56 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的抽样方法可得. 【详解】由题意抽样比为， 所以从学校中应抽取的人数为， 故选：A 2. 要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（ ） A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可. 【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变， 得的图象. 故选：C. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 一个多面体至少有4个面 C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 4. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的表面积公式求解． 【详解】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大， 则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为， 可能制作的最大零件的表面积为. 故选：B. 5. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象得到周期，利用公式可求的值. 【详解】函数（，），由图象可知， 最小正周期，则有. 故选：C 6. 已知正方形的边长为2，，，，则（ ） A. 0 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意表示出的坐标，从而可求出，进而可求出其模. 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 则， 所以，，， 所以， 所以. 故选：D 7. 设为复数，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】设， 由，得，所以， 由，解得， 则， 所以当时，. 故选：A. 8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，由证得，再由平面证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积. 【详解】取的中点，分别连接 在正方形中，因为分别为的中点， ， 可得， 所以，因为， 所以， 所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又因为且平面， 所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为4， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 直角中，可得， 所以， 所以截面的面积为 . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（ ） A. ，为对立事件 B. ，为互斥不对立事件 C. ，不互斥事件 D. ，是互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件的概念及事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确. 故选：ACD. 10. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲68 71 72 72 82 乙66 70 72 78 79 则（ ） A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲乙两组数据混合后的方差，进行比较，即可得出答案. 【详解】对于A，由已知可得，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确； 对于B，由已知可得，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故B项正确； 对于C，由已知可得，甲组数据的方差为， 乙组数据的方差为，故C项正确； 对于D，由前面可知甲乙两组数据混合后，方差为， ，故D项错误. 故选：ABC. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积运算得，可判断选项A；结合余弦定理及基本不等式，可求得的最大值判断选项B；可举反例判断选项C；结合条件可得，，计算即可判断选项D. 【详解】由可知，整理可知，A正确； ， 当且仅当时取等号，又，的最大值为，故B正确； 由特例，满足，可知C错误； 由可得，解得，又， 从而可得，，为最大边， ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 先利用向量垂直的坐标运算，化简得，根据各选项的内容，利用正余弦定理和基本不等式，通过计算对选项中的结论进行判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则的虚部为______． 【答案】##-2.2 【解析】 【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解. 【详解】复数，则，此复数的虚部为. 故答案为： 13. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用余弦定理，将，，，代入计算可得到. 【详解】在中，已知，，， 由余弦定理得，得， 即，解得或，而， 所以. 故答案为：5. 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】到平面距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解. 【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接， 底面是矩形，，， ，， 则，且， 又底面，底面，，， 而，平面， 所以平面，平面， 即为三棱锥的高，， 在中，，， 在中，， 中，，， 在中，，则， ， 在中，， 在中， ， 在中，，，， 由余弦定理，则 ， 设到平面的距离为， ，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数，求当实数为何值时； （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）为虚数． 【答案】（1） （2）或 （3）且 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【小问1详解】 当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； 【小问2详解】 当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； 【小问3详解】 当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的众数； （2）求，的值； （3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）可利用频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值； （2）可利用频率分布直方图来计算概率和为1，再联立方程组求解即可； （3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数． 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为， 所以估计这100名候选者面试成绩的众数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图中的频率和为1可得，， 化简得：， 又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则， 化简得：，所以； 【小问3详解】 第一组频率为，第二组频率为， 第三组频率为，，第四组频率为， 所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为， 则，解得：， 即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为． 17. 中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若且的面积为，求边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可； （2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长． 小问1详解】 中，， 由正弦定理得， 又， 所以， 由于，，有， 所以，又，则，所以. 【小问2详解】 由（1）， 而， 由正弦定理有，从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得，所以. 18. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面； （2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得； （3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解. 【小问1详解】 如图，连接， 因为为边上的中点，为边上的中点， 所以，又平面，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 在四边形中，，，， 则， 所以，则， 所以都是等腰直角三角形，则， 又平面平面，，即， 平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，又平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问3详解】 已知，直线与底面所成角的余弦值为， 由（2）知，，平面， 则为直线与底面所成的角，则， 所以在中，则，， 取的中点，连接，过作的垂线交于，连接， 由，平面，平面平面，平面平面， 则平面， 又平面，所以，， ，平面，， 所以平面，又平面，所以， 则即为二面角的平面角， 因为，， 又，所以，又， 则在中，由勾股定理， 则，所以. 19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算，数字0的个数为12，得到概率； （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案； （3）考虑当时， 时， 当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【小问1详解】 当时，，即这个数中共有195个数字， 其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为. 【小问2详解】 当时，这个数由n个1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数， 个四位数组成，； 综上所述：. 【小问3详解】 当时，， 当时，， 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于单调递增， 故当时，有最大值为， 又，所以当时的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑，，，四种情况，依次计算；（3）考虑当时， 当时， 当时三种情况，得到和的解析式，得到，再讨论计算概率的最值，其中分类讨论的思想是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$