精品解析：浙江省浙附玉泉校区2023-2024学年高一下学期期中数学试题

2023学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求. 1. 下列命题中不正确的是（ ） A. 圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 2. 若是第四象限角，则复数在复平面内所对应的点在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 中，已知，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定 6. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则t值为 B. 的最小值为1 C. 若，则t的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 10. 设为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若为虚数，则也为虚数 B. 若，则的最大值为 C. D. 11. 设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则O为的重心； B. 若，则O为的垂心； C. 若，则为等边三角形； D. 若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为___________米. 13. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______． 14. 如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是__________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题因写出必要的过程或演算步骤. 15. 已知，为虚数单位，复数. （1）若，求m的值； （2）若复数z对应点在第三象限，求m的取值范围. 16. 在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P． （1）用与表示，并计算AM的长； （2）求∠NPM的余弦值． 17. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）若，求的值； （2）求与垂直的单位向量的坐标． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求外接圆的面积； （2）记内切圆的半径为，若，求的面积． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求. 1. 下列命题中不正确的是（ ） A. 圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 以直角梯形垂直于底边腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【答案】B 【解析】 【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D． 【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确； 对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误； 对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确； 对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确． 故选：B． 2. 若是第四象限角，则复数在复平面内所对应的点在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断，再根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为是第四象限角，所以， 所以复数在复平面内所对应的点在第二象限. 故选：B 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积． 【详解】作出原来的平面图形，如图，，， 在题设等腰梯形中，，因此， 所以． 故选：D． 4. 在中，已知，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：A 5. 在中，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角形中大边对大角性质进行求解即可. 【详解】由正弦定理可知：， 因为，所以， 又因为，所以，或，因此此三角形有两解， 故选：C 6. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的投影向量公式直接求得. 【详解】依题意在上的投影向量为 . 故选：A. 8. 在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用正弦定理得到，再由，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到，进而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的两边点乘，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x，y的方程组求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 如图所示： 由正弦定理得：， 因为， 则， 所以， 即， 则， 所以， 即， ， . 故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则t的值为 B. 的最小值为1 C. 若，则t的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项根据向量共线的条件可算出；B，C选项均利用模长公式可以解决；D选项利用两个向量的数量积小于零，注意两个向量不能反向共线. 【详解】选项A，，A选项错误； 选项B，，当时取等号，B选项正确； ，根据，解得，C选项正确； D选项，与的夹角为钝角，则，且两个向量不能反向共线， 注意到A选项，时，，于是且,D选项错误. 故选: BC. 10. 设为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若为虚数，则也为虚数 B. 若，则的最大值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由为虚数，得为虚数，从而可判断A，对于B，由进行判断，对于C，设，然后分别求解进行判断，对于D，根据复数的向量表示及向量三角不等式分析判断. 【详解】对于A，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以A正确； 对于B，当时，满足，此时，所以B错误； 对于C，设，则 ， ， 所以， ， 所以，所以C正确， 对于D，设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得， 所以恒成立，所以D正确， 故选：ACD 11. 设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则O为的重心； B. 若，则O为的垂心； C. 若，则为等边三角形； D. 若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；B由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；C由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；D令，，则为的重心，由此求出面积比即可. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为___________米. 【答案】280 【解析】 【分析】设出塔高分别在中表示出,在和中就运用余弦定理建立方程，计算即得. 【详解】设，则. 由，得， 由余弦定理得，解得米，即为280米. 故答案为：280. 13. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______． 【答案】解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=中，，而∠ADC=45°，,,答案应填． 【解析】 【详解】试题分析：取BC的中点M，则AM=1,所以在中，. 考点：本小题考查了解三角形的有关知识. 点评：在解三角形时，可以考虑构造直角三角形来解决这样解决起来方便，特别是涉及等腰三角形时，否则就按一般的解三角形的方法来求解. 14. 如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，结合棱台的体积公式，求得三棱台的体积为，结合，即可求解. 【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，可得， 所以三棱台的体积为， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题因写出必要的过程或演算步骤. 15. 已知，为虚数单位，复数. （1）若，求m值； （2）若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）若，则虚部为0，可求m的值 （2）复数z对应点在第三象限，则实部和虚部都为负，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得：或1， 经检验，均满足题意，故m的值为或 . 【小问2详解】 由题意得：， 得，解得：， 故m的取值范围是. 16. 在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P． （1）用与表示，并计算AM的长； （2）求∠NPM的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据平面向量线性运算与表示，并利用数量积运算求的模；方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算求的模； （2）方法一：根据平面向量线性运算与表示，再利用平面向量夹角公式求解；方法二：利用平面向量坐标运算夹角. 【小问1详解】 方法一：M为BC边上靠近B的四等分点， ∴． ∵，∴， ； ∵，，，∴， ∴，∴． 方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，， ∵AC边上的中线为BN，∴， ∵M为BC边上靠近B的四等分点，可得． 设，代入坐标可解得， 且有． 【小问2详解】 方法一：∠NPM为向量与的夹角，所以， ∵AC边上的中线为BN，∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 方法二：∠NPM为向量与的夹角，所以， ，， ，， 17. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）若，求的值； （2）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题知，，，根据斜坐标定义，，由向量数量积的运算求解即可； （2）设所求向量为，由斜坐标定义，由和向量垂直数量积为列方程组求解即可. 【小问1详解】 由题知，，， 因为，所以， 若，则，则， 所以； 小问2详解】 设所求向量，所以， ，① ，② 解①②得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求外接圆的面积； （2）记内切圆的半径为，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用三角恒等变换求得外接圆半径后可得圆面积； （2）由正弦定理求得外接圆半径，由余弦定理可得，结合三角形面积（与外接圆半径有关的公式）求得得三角形周长，从而可得三角形面积． 【小问1详解】 设外接圆的半径为， 因为，所以， 所以，解得， 所以外接圆的面积为． 【小问2详解】 由（1），所以，故． 由余弦定理可得，则． 又， 则，所以，即． 所以的面积． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 ①由正弦定理得，即， 所以，又， 所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 ； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， 因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$