期末复习课（二） 课件 2024-2025学年 北师大版七年级上册数学 总复习

总复习　期末复习课 期末复习课（二） 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 知识梳理 典例讲练 目录 CONTENTS （第二章　有理数及其运算） 1. 正数和负数. （1）日常生活中，通常用正数和负数表示 的量. （2） 既不是正数，也不是负数.通常情况下，正数前的正 号“＋”可省略不写. 相反意义　 0　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 有理数的分类. （1）有理数可以分为 和 两类.正整数、负整 数、零统称为 ；正分数和负分数统称为 ⁠. （2）有理数可以分为正有理数、 、负有理数三类. 3. 有理数的有关概念. （1）数轴：规定了 、正方向、单位长度的直线. （2）相反数： a 的相反数是 ，0的相反数是0.若 a 与 b 互为相反数，则 a ＋ b ＝ ⁠. 整数　 分数　 整数　 分数　 零　 原点　 － a 　 0　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）绝对值. ①从“数”的角度看： ＝ ②从“形”的角度看：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个 数的点到 的距离. ③性质：｜ a ｜ 0.若｜ a ｜＋｜ b ｜＝0，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 原点　 ≥　 0　 0　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （4）倒数：乘积为 的两个数互为倒数. a （ a ≠0）的倒数是 ，0没有倒数. 1　 　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 4. 科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式， 其中1≤ a ＜10， n 为正整数. 5. 比较有理数的大小. （1）利用数轴比较有理数的大小： ①在数轴上表示的两个有理数， 边的数总比 ⁠边的 数大； ② 都大于零， 都小于零，正数大于负数； ③所有的有理数从小到大在数轴上按从左到右的顺序排列. a ×10 n 　 右　 左　 正数　 负数　 （2）利用绝对值比较有理数的大小： 两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 6. 有理数的运算. （1）①有理数加法法则：先定符号，再计算.同号两数相加， 取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较 大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数 同0相加，仍得这个数. ②有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）有理数的乘除法法则：两个有理数相乘（除），同号 得 ，异号得 ，并把绝对值相乘（除）. 注意：①0与任何数相乘的积为0；②0除以任何非零的数都得 0；③0不能作除数. （3）数的乘方： an ＝ ，其中 a 叫作 ⁠ ， n 叫作 ⁠. 正　 负　 　 底 数　 指数　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （4）有理数的混合运算：先算 ，再算 ，最后 算 ；如果有括号，先算 里面的；同一级运 算，按照从 到 的顺序依次进行. （5）有理数的运算律： ①加法的交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； ②加法的结合律： a ＋ b ＋ c ＝ ⁠； ③乘法的交换律： a · b ＝ b · a ； ④乘法的结合律： a · b · c ＝ a ·（ b · c ）； ⑤乘法对加法的分配律： a ·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c . 乘方　 乘除　 加减　 括号　 左　 右　 a ＋（ b ＋ c ）　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 类型一　有理数的相关概念 给出下列各数： －3.8，－20％，4.3，－ ，42，0，－ ，－32. （1）将上面各数填在相应的集合里. 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}. 【思路导航】（1）根据整数、分数、正数和负数的概念填写﹔ 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）整数集合：{42，0，－32，…}； 分数集合：{－3.8，－20％，4.3，－ ，－ ，…}； 正数集合：{4.3，42，－ ，…}； 负数集合：{－3.8，－20％，－ ，－32，…}. 【点拨】（1）解答本题的关键是掌握有理数的相关概念. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）按照从大到小的顺序用“＞”把这些数连接起来. 【思路导航】（2）先化简各数，再比较大小. 解：（2）－20％＝－0.2，－ ＝－ ， 42＝16，－ ＝ ，－32＝－9. 所以42＞4.3＞－ ＞0＞－20％＞－ ＞－3.8＞－32. 【点拨】（2）比较数的大小时，要先化简，再比较. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 有下列各数：3.5，－3.5，0.2，－2，－1.6，－ ，0.5，其中 负数有 m 个，正数有 n 个. （1）求 m2－ n2的值； （1）解：在3.5，－3.5，0.2，－2，－1.6，－ ，0.5中，负 数有4个，正数有3个， 所以 m ＝4， n ＝3. 所以 m2－ n2＝42－32＝16－9＝7. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）以上7个数中，绝对值最大的数为 ，绝对 值最小的数为 ，有 对互为相反数. 3.5或－3.5　 0.2和－ 　 2　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）【解析】｜3.5｜＝3.5，｜－3.5｜＝3.5， ｜0.2｜＝0.2，｜－2｜＝2，｜－1.6｜＝1.6， ＝ ，｜0.5｜＝0.5， 所以绝对值最大的数是3.5或－3.5； 绝对值最小的数是0.2或－ ； 互为相反数的是3.5与－3.5，0.2与－ ，有2对互为相反数. 故答案为3.5或－3.5，0.2和－ ，2. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型二　相反数与绝对值 （1）－ 的相反数是 　 　，－ 的倒数是 ，－ 的 绝对值是 ⁠； （2）绝对值大于1而小于4的整数有 个；已知点 A 在数轴 上表示的数是－2，则与点 A 的距离等于3的点表示的数是 ⁠ ⁠. 　 －3　 　 4　 －5 或1　 【思路导航】（1）根据相反数、倒数、绝对值的概念求解即 可；（2）利用数轴，根据绝对值的概念、数轴上两点的距离分 类讨论即可； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】（2）绝对值大于1而小于4的整数有±2，±3，共 有4个. 若该点在点 A 的左边，则为－2－3＝－5； 若该点在点 A 的右边，则为－2＋3＝1. 故答案为4，－5或1. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）若｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，且 a ＞ b ，则 a － b ＝ ⁠. 【思路导航】（3）根据绝对值的性质，结合 a ＞ b 得出 a ， b 可 能的值，相减即可. 7或1　 【解析】（3）因为｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，所以 a ＝±3， b ＝±4. 又因为 a ＞ b ，所以 a ＝±3， b ＝－4. ①当 a ＝3， b ＝－4时， a － b ＝3－（－4）＝7； ②当 a ＝－3， b ＝－4时， a － b ＝－3－（－4）＝1. 故答案为7或1. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】求值计算时，当给出的字母的值不唯一时，必须分情 况讨论，一个绝对值分两种情况，两个绝对值分四种情况. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. －5的相反数是 ；－5的绝对值是 ；－5的平方 是 ；－0.5的倒数是 ⁠. 2. 已知0＜ a ＜1，则 a ，－ a ， ，－ 的大小关系是 　 ＞ a ＞ （用“＞”连接）. 3. 已知｜ a －2｜≤ b ＋3，且｜ a －2｜＋ b ＝－3，则 ab 的值 是 ⁠. 5　 5　 25　 －2　 ＞ a ＞ － a ＞－ 　 －6　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】因为｜ a －2｜≤ b ＋3，所以 b ＋3≥0. 又因为｜ a －2｜＋ b ＝－3， 所以｜ a －2｜＋ b ＋3＝0. 所以 a －2＝0， b ＋3＝0， 解得 a ＝2， b ＝－3. 所以 ab ＝2×（－3）＝－6. 故答案为－6. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型三　有理数的混合运算 计算： （1） ＋ － ＋ ； 【思路导航】根据有理数混合运算的法则及运算律计算即可， 注意运算顺序. 解：（1）原式＝ ＋ ＝ － ＝ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）｜－45｜＋（－71）＋｜－5｜＋（－9）； 解：（2）原式＝45－71＋5－9 ＝（45＋5）－（71＋9） ＝50－80 ＝－30. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）－9 ×81； 解：（3）原式＝ ×81 ＝ ×81－10×81 ＝9－810 ＝－801. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （4）25× －（－25）× ＋25× ； 解：（4）原式＝25× ＋25× －25× ＝25× ＝25×1 ＝25. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （5）－12＋（－2）2× － ÷3； 解：（5）原式＝－1＋4× － × ＝－1－ － ＝－ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（6）原式＝－1－ × × ＝－1－ × × ＝－1－ ＝－ . （6）－12024－ ×[2－（－3）2]÷（－7）. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】进行有理数的混合运算时，互为相反数的两数先结 合；同号的两数先结合；同分母或易通分的分数先结合；其和 为整数的小数先结合.同时可巧妙应用运算法则和运算律，降低 运算难度和减少运算量. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 计算： （1）－22－（－2）2－8＋（－2）3－42＋｜－4｜； 解：（1）原式＝－4－4－8－8－16＋4 ＝－36. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）（－4）× ÷ － ； 解：（2）原式＝－4× × － ＝－5－ ＝－5 . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）｜－2－4｜－32÷（－8）× ； 解：（3）原式＝6－（－4）× ＝6－2 ＝4. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （4） ×（－4）2－32＋ . 解：（4）原式＝ ×16－9＋ ＝1－9＋ ＝－7 . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型四　数轴与绝对值 已知有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，所对应的 点分别为点 A ， B ， C . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （1）在数轴上表示2的点与表示5的点之间的距离为 ⁠； 在数轴上表示－1的点与表示3的点之间的距离为 ⁠； 在数轴上表示－3的点与表示－5的点之间的距离为 ⁠； 由此可得，点 A ， B 之间的距离为 ，点 B ， C 之间的 距离为 ，点 A ， C 之间的距离为 ⁠. 3　 4　 2　 a － b 　 b － c 　 a － c 　 【思路导航】（1）根据两点间的距离公式可得答案； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （（2）化简：－｜ a ＋ b ｜＋｜ c － b ｜－｜ b － a ｜. 【思路导航】（2）结合数轴，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类项即可； 解：（2）由数轴可知， c ＜ b ＜0＜ a ，且｜ a ｜＞｜ b ｜. 则 a ＋ b ＞0， c － b ＜0， b － a ＜0. 所以原式＝－（ a ＋ b ）＋（ b － c ）－（ a － b ） ＝－ a － b ＋ b － c － a ＋ b ＝－2 a ＋ b － c . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）若 c2＝4，－ b 的倒数是它本身， a 的绝对值的相反数是－ 2，求－ a ＋2 b － c －（ a －4 c － b ）的值. 【思路导航】（3）求出 a ， b ， c 的值，再将其代入化简后的代数式即可. 解：（3）因为 c2＝4，－ b 的倒数是它本身， a 的绝对值的相反数是－2，所以 c ＝－2， b ＝－1， a ＝2. 所以原式＝－2 a ＋3 b ＋3 c ＝－2×2＋3×（－1）＋3×（－2） ＝－4－3－6 ＝－13. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】（1）｜ a 一 b ｜可表示数轴上两点的距离；（2）去绝 对值符号时，要考虑绝对值符号里面部分的正负性，若不能确 定，则需分类讨论. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 已知有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示. 解答下列问题： （1）比较 a ，｜ b ｜， c 的大小（用“＜”连接）； 解：（1）根据数轴上点的位置， 得 a ＜ c ＜｜ b ｜. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若 m ＝｜ a ＋ b ｜－｜ b －1｜－｜ a － c ｜，试化简等式的 右边； 解：（2）根据数轴可知， a ＋ b ＜ 0， b －1＜0， a － c ＜0. 所以 m ＝－ a － b ＋ b －1＋ a － c ＝ －1－ c . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）在（2）的条件下，求 ＋ ＋ －2024×（ m ＋ c ）2024 的值. 解：（3）原式＝－1－1＋1－ 2024×（－1）2024 ＝－1－2024 ＝－2025. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型五　数轴上的动态问题 已知 b 是最小的正整数，且 a ， b ， c 满足｜ c －5｜＋（ a ＋ b ）2＝0，请解答下面问题： （1）求 a ， b ， c 的值. 【思路导航】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负 性求解； （1）解：因为 b 是最小的正整数，所以 b ＝1. 因为｜ c －5｜＋（ a ＋ b ）2＝0， 所以 c －5＝0， a ＋ b ＝0. 所以 c ＝5， a ＝－ b ＝－1. 即 a ＝－1， b ＝1， c ＝5. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2） a ， b ， c 在数轴上所对应的点分别为点 A ， B ， C ，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x ，点 P 在0到1之间运动时（即 0＜ x ＜1时），则｜ x ＋1｜－｜ x －1｜＋2｜ x －5｜的值 为 ⁠. 10　 【思路导航】（2）由0＜ x ＜1可知， x ＋1， x －1， x －5的正负，再根据绝对值的意义进行化简计算； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）【解析】因为0＜ x ＜1， 所以 x ＋1＞0， x －1＜0， x －5＜0. 所以｜ x ＋1｜－｜ x －1｜＋2｜ x －5｜ ＝ x ＋1－（1－ x ）＋2（5－ x ） ＝ x ＋1－1＋ x ＋10－2 x ＝10. 故答案为10. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）在（2）的条件下，点 A ， B ， C 开始在数轴上运动，点 A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B 和点 C 分别以 每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动.假设 t 秒 过后，点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC ，点 A 与点 B 之间的距 离表示为 AB . 请问： BC － AB 的值是否随着时间 t 的变化而改 变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值. 【思路导航】（3）先分别表示出点 A ， B ， C 在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）解：不变. 根据题意可知， t 秒时，点 A 对应的数为－1－ t ，点 B 对应的数 为2 t ＋1，点 C 对应的数为5 t ＋5. 所以 BC ＝（5 t ＋5）－（2 t ＋1）＝3 t ＋4， AB ＝（2 t ＋1）－（－1－ t ）＝3 t ＋2. 所以 BC － AB ＝（3 t ＋4）－（3 t ＋2）＝2. 所以 BC － AB 的值不随着时间 t 的变化而改变，且 BC － AB ＝2. 【点拨】解决这类问题的关键是用字母表示出运动的点所表示 的数，再根据条件列出方程求解. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 如图，已知 A ， B ， C 三个点在数轴上表示的数分别为 a ， b ， c ，且｜ a ＋16｜＋｜ b ＋6｜＋（ c －8）2＝0.动点 P 从点 B 出 发，以每秒1个单位长度的速度向终点 C 运动. （1）求 a ， b ， c 的值. 解：（1）因为｜ a ＋16｜＋｜ b ＋6｜ ＋（ c －8）2＝0， 所以 a ＋16＝0， b ＋6＝0， c －8＝0. 所以 a ＝－16， b ＝－6， c ＝8. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）点 P 运动到点 C 前，若点 P 到点 A 距离是到点 C 距离的3 倍，求点 P 运动的时间. 解：（2）由（1）可知， AC ＝8－ （－16）＝24. 因为点 P 在 AC 之间，且点 P 到点 A 的距离是到点 C 距离的3倍， 所以 CP ＝24× ＝6. 因为点 C 表示的数为8，点 P 在点 C 的左边， 数学 七年级上册 BS版 返回目录 所以点 P 表示的数为8－6＝2. 所以 BP ＝2－（－6）＝8. 因为点 P 以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点 P 的运动时间为8÷1＝8（秒）时，点 P 到点 A 距离 是到点 C 距离的3倍. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）若点 P 运动的同时，点 Q 从点 A 出发，以每秒3个单位长度 的速度向点 C 运动，点 Q 到达点 C 后，再立即以同样的速度返 回，运动到终点 A ，在点 P 开始运动后， P ， Q 两点之间的距离 能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点 P 表示的数；如果 不能，请说明理由. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（3）能. 由题意可知，点 A ， B 之间的距离为－6－（－16）＝10. 点 P 从点 B 运动到点 C 需要 ＝14（秒）， 而点 Q 从点 A 运动到点 C 需要 ＝8（秒）， 点 Q 到达点 C 时，此时点 P 表示的数为－6＋8＝2. 所以当点 P 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 Q 从点 A 运动到 点 C ，又从点 C 返回，可分为四种情况讨论： 数学 七年级上册 BS版 返回目录 点 Q 到达点 C 之前： ①点 P 在点 Q 右侧，两点同向而行， 运动时间为 ＝4（秒）， 所以此时点 P 表示的数为－6＋4×1＝－2； ②当点 P 在点 Q 左侧，两点同向而行， 运动时间为 ＝6（秒）， 所以此时点 P 表示的数为－6＋6×1＝0； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 点 Q 从点 C 返回后： ③当点 P 在点 Q 左侧，两点相背向而行， 运动时间为8＋ ＝9（秒）， 所以此时点 P 表示的数为－6＋9×1＝3； ④当点 P 在点 Q 右侧，两点背向而行， 运动时间为8＋ ＝10（秒）， 所以此时点 P 表示的数为－6＋10×1＝4. 综上所述，点 P 表示的数为－2或0或3或4. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$