2024年湖南省长沙市中考模拟数学试卷（四）

答案： 1．（D） 2．（C） 3．（B） 4．（C） 5．（D） 6．（D） 7．（B） 8．D 9．（B） 10．（B） 11．4. 12．x(x－2)2. 13．2. 14．8.5. 15．26°. 16．216°. 17．301(1＋x)2＝500. 18．2－2. 19． 解：原式＝4x2－1－(x2－6x＋9)－6x ＝4x2－1－x2＋6x－9－6x ＝3x2－10， 当x＝－ 时， 原式＝3×(－)2－10 ＝3×3－10 ＝9－10 ＝－1. 20． (1)证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵∠ADE＝∠B， ∴△ADB∽△AED. (2)解：∵△ADB∽△AED， ∴＝， ∵AE＝3，AD＝5， ∴＝， ∴AB＝. 21． 解：过E作EF⊥MN于点F，连接EB，设MF＝x m， ∵∠EFN＝∠FND＝∠EDN＝∠A＝90°， ∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形， ∴FN＝ED＝AB＝1.6 m，AD＝BE＝3.5 m， ∵∠MEF＝45°，∠EFM＝90°，∴MF＝EF＝x， ∴FB＝FE＋EB＝x＋3.5，∴tan∠MBF＝＝≈0.62， ∴解得x≈5.7 m， 经检验x≈5.7是原方程的解，且符合题意， ∴MN＝MF＋FN＝5.7＋1.6＝7.3 m. 答：电池板离地面的高度MN的长约为7.3 m. 22． 解：(1)∵一次函数y＝－x＋5的图象过点A(4，a)， ∴a＝－4＋5＝1，∴点A(4，1)， ∵点A在反比例函数y＝(n>0，x>0)的图象上，∴n＝4×1＝4. (2)由解得或∴B(1，4)， ∴若x＞0，当－x＋5>时x的取值范围是1＜x＜4. (3)作PM⊥x轴于点M，设P(x，－x＋5)，则Q(x，)， ∴PQ＝－x＋5－， ∵△POQ的面积为1，∴PQ·OM＝1，即 x·＝1， 整理得x2－5x＋6＝0，解得x＝2或3， ∴点P的坐标为(2，3)或(3，2)． 23. 解：(1)设该航天玩具模型每件的定价为m元，成本价为n元，根据题意得解得 答：该航天玩具模型每件的定价为100元，成本价为70元． (2)设提价前应销售x件玩具，则提价后销售(600－x)件玩具， 根据题意可知30x＋(30＋10)×(600－x)≥22 000， 解得x≤200. 答：提价前应最多销售200件玩具． 24. 解：(1)48÷20%＝240(人)． 答：本次调查的学生人数为240人． (2)选项A的频数240×15%＝36(人)， 选项C的频数240×40%＝96(人)， 补全条形统计图如图所示． (3)1 600×＝400(人)． 答：估计全校选择B选项的学生有400人． 25. 解：(1)把A(－3，－4)，B(0，－1)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝x2＋4x－1. (2)过P作PQ∥y轴交AB于点Q， 由A(－3，－4)，B(0，－1)得直线AB的解析式为y＝x－1， 设P(t，t2＋4t－1)，其中－3<t<0，则Q(t，t－1) ∴PQ＝t－1－(t2＋4t－1)＝－t2－3t， ∴S△PAB＝(－t2－3t)×3＝－t2－t＝－＋. ∵－<0，∴当t＝－时，S△PAB取最大值 ， ∴△PAB面积的最大值为 . (3)抛物线上存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形时平行四边形， 理由：∵y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，∴抛物线y＝x2＋4x－1的对称轴为直线x＝－2， 设M(－2，m)，N(n，n2＋4n－1)，又∵A(－3，－4)，B(0，－1)， ①当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合， ∴解得 ∴N(－1，－4)； ②当MA，NB为对角线时， 解得 ∴N(－5，4)； ③当MB，NA为对角线时， 解得 ∴N(1，4)． 综上所述，N的坐标为(－1，－4)，(－5，4)或(1，4)． 26. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP， 在△APB和△CPB中， ∴△APB≌△CPB(SAS)，∴PA＝PC. (2)解：PQ的长度不发生变化， 理由：连接AC交BD于点O， ∵△APB≌△CPB，∴PA＝PC，∠PCB＝∠PAB， ∵∠ABF＝∠APF＝90°，∴∠PAB＋∠PFB＝180°， ∵∠PFC＋∠PFB＝180°，∴∠PFC＝∠PAB，∴∠PFC＝∠PCF， ∴PF＝PC.∴PF＝PA. ∵PF⊥AE，∴∠APO＋∠FPQ＝90°， ∵FQ⊥BD，∴∠PFQ＋∠FPQ＝90°，∴∠APO＝∠PFQ， 又∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOP＝∠PQF＝90°，AO＝a， 在△APO和△PFQ中， ∴△APO≌△PFQ(AAS)，∴PQ＝AO＝a， ∴PQ的长度不发生变化． (3)证明：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBN＝45°， ∵PN⊥BN，∴BN＝PN＝BP，∴BN＋PN＝PB， ∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN， 在Rt△PAM和Rt△PFN中，∴△PAM≌△PFN(HL)，∴AM＝FN， ∵∠MBN＝∠BNP＝∠BMP＝90°，∴四边形MBNP是矩形，∴MB＝PN， ∴AB＋BF＝AM＋MB＋BF＝FN＋BF＋PN＝BN＋PN＝BP. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖南省长沙市中考模拟数学试卷（四） (本试卷满分120分　考试时间120分钟) 姓名________　　班级________　　分数________ 注意事项：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．下列各数中最小的是（ ） A．0 B．1 C．－ D．－π 2．下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3．中国属于自己的太空空间站已经建成，并实现了航天员的长期驻留．中国空间站的在轨运行高度大约为400 000 m．数据400 000用科学记数法表示为（ ） A．4×104 B．4×105 C．4×106 D．0.4×106 4．下列计算中正确的是（ ） A．2xy－xy＝2 B.＋＝ C．(ab)3＝a3b3 D.＝2a 5．如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1的度数为（ ） A．110° B．100° C．80° D．70° 6．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ） A．圆锥 B．长方体 C．三棱柱 D．圆柱 7．现有6张完全相同的卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，6，现将所有卡片打乱顺序后正面朝下放置在桌面上，小明随机抽一张，恰好抽到3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 8．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，OA＝OC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC 9．大约在2 400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图①.并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为20 cm，像距为30 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是12 cm，则蜡烛火焰的高度是（ ） A．6 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm 10．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2－mx－5(m为实数)的零点的个数是（ ） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，满分24分) 11．16的算术平方根是 . 12．分解因式：x3－4x2＋4x＝ . 13．方程 －＝1的解为x＝ . 14．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 人数/人 3 17 13 7 时间/h 7 8 9 10 那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 . 15．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝32°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是 . 16．如图，若圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，且＝，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是 . 17．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 . 18．如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝4，则线段CP的最小值是 . 三、解答题(本大题共8个小题，满分66分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．) 19．(本小题满分8分)先化简，再求值： (2x－1)(2x＋1)－(x－3)2－6x，其中x＝－. 20．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B. (1)求证：△ADB∽△AED； (2)若AE＝3，AD＝5，求AB的长． 21．(本小题满分8分)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是积极落实节能环保的重大举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测倾器的高度为1.6 m，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝32°，在与点A相距3.5 m的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与点N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62) 22．(本小题满分8分)如图，一次函数y＝－x＋5的图象与函数y＝(n>0，x>0)的图象交于点A(4，a)和点B. (1)求n的值； (2)若x＞0，根据图象直接写出当－x＋5>时x的取值范围； (3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数y＝ 的图象于点Q，若△POQ的面积为1，求点P的坐标． 23.(本小题满分8分)某企业准备生产一批航天模型玩具投放市场，若按定价销售该玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该玩具6件与将定价降低10元销售该玩具3件获得利润相同． (1)求该航天玩具模型每件的定价与成本价； (2)若现按定价销售这种航天模型玩具600件，销售一部分后发现生意火爆，又将每件航天玩具模型提价10元，很快销售完，要想利润不低于22 000元，提价前应最多销售多少件玩具？ 24.(本小题满分8分)为了了解学生孝敬父母的情况，某校在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查(选项：A.为父母洗一次脚；B.帮父母做一次家务；C.给父母买一件礼物；D.其他)，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图，根据以上信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生有多少人？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)若该校有1 600名学生，估计该校全体学生中选择B选项的有多少人？ 25.(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线AB相交于A，B两点，其中A(－3，－4)，B(0，－1)． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值； (3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26.(本小题满分10分)如图①，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点(点E与点C，D不重合)，连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接PC. (1)求证：PA＝PC； (2)如图②，过点F作FQ⊥BD于点Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律． (3)求证：在点E的运动过程中，总有AB＋BF＝BP成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$