期末复习课（五） 课件 2024-2025学年 北师大版七年级数学上册总复习

总复习　期末复习课 期末复习课（五） 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 知识梳理 典例讲练 目录 CONTENTS （第五章　一元一次方程） 1. 一元一次方程. 在一个方程中，只含有 未知数，且未知数的次数都 是 ，这样的方程叫作一元一次方程.标准形式是 ⁠ ⁠. 2. 方程的解. 使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫作方程的解. 一个　 1　 ax ＋ b ＝0（ a ， b 是常数，且 a ≠0）　 相等　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. 解一元一次方程. 步骤 依据 易错点 化整 ⁠ 无分母项 仍扩大倍数 去分母 等式的基本性质2 漏乘 去括号 去括号法则 漏乘与符号问题 移项 ⁠ 未变号 合并同类项 合并同类项法则 字母系数未化成假分数 未知数的系数化为1 等式的基本性质2 分子、分母颠倒 分数的基本性质　 等式的基本性质1　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 4. 列方程解应用题的一般步骤. （1）审题；（2）设未知数；（3）找 ⁠； （4） ；（5）解方程；（6）检验；（7）答. 等量关系　 列方程　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 5. “ ax ＝ b ”型方程解的讨论. （1）方程有唯一的解⇔ a ≠0； （2）方程有无数解⇔ （3）方程无解⇔ 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 类型一　一元一次方程的概念 若（ k －5） －6＝0是关于 x 的一元一次方程，则 k 的值为 ⁠. 【思路导航】根据一元一次方程的概念得出关于 k 的方程，即可 解答. －5　 【解析】因为（ k －5） x｜ k｜－4－6＝0是关于 x 的一元一次方 程，所以｜ k ｜－4＝1，且 k －5≠0.解得 k ＝－5.故答案为－5. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】判断一个方程是否为一元一次方程，不仅要看原方 程，还要看化简后的方程.原方程必须具备：①等号两边是整 式；②只含有一个未知数.化简后的方程必须具备：①只含有一 个未知数；②未知数的次数为1；③未知数的系数不为0.以上条 件缺一不可. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 已知关于 x 的方程（｜ n ｜－1） x2＋ nx － x ＋8＝0是一元一次方 程，则 n ＝ ⁠. －1　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型二　一元一次方程的解法 解下列方程： （1） － ＝ －1； 解：（1）去分母，得4（2 x －1）－2（10 x ＋1）＝3（2 x ＋1） －12. 去括号，得8 x －4－20 x －2＝6 x ＋3－12. 移项，得8 x －20 x －6 x ＝3－12＋4＋2. 合并同类项，得－18 x ＝－3. 系数化为1，得 x ＝ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2） － ＝3. 【思路导航】根据解一元一次方程的一般步骤求解即可. 解：（2）整理，得 － ＝3. 去分母、整理，得5 x －10－2 x －2＝3. 移项，得5 x －2 x ＝3＋10＋2. 合并同类项，得3 x ＝15. 系数化为1，得 x ＝5. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解一元一次方程时，注意在去分母过程中，方程两端 同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要 把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解下列方程： （1） ＋ ＝2－ ； 解：（1）去分母，得4（5 y ＋4）＋3（ y －1）＝24－（5 y － 5）. 去括号，得20 y ＋16＋3 y －3＝24－5 y ＋5. 移项、合并同类项，得28 y ＝16. 系数化为1，得 y ＝ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2） － ＝－ . 解：（2）整理，得 － ＝－ . 去分母，得3（3 x －2）－5（2＋10 x ）＝－20. 去括号，得9 x －6－10－50 x ＝－20. 移项、合并同类项，得－41 x ＝－4. 系数化为1，得 x ＝ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型三　一元一次方程中的参数问题 已知关于 x 的方程2－ ＝ ＋3－ x 与4－ ＝3 k － 的解相同，求 k 的值. 【思路导航】求出第一个方程的解，并代入第二个方程，求解 即可. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：解方程2－ ＝ ＋3－ x ，得 x ＝1. 因为关于 x 的方程2－ ＝ ＋3－ x 与方程4－ ＝3 k － 的解相同， 把 x ＝1代入第二个方程，得4－ ＝3 k － . 解得 k ＝1. 【点拨】解一元一次方程的参数问题的关键是根据题意列出关 于参数的方程. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个 方程为“美好方程”.例如：方程4 x ＝8和 x ＋1＝0为“美好方 程”. （1）若关于 x 的一元一次方程3 x ＋ m ＝0与4 x －2＝ x ＋10是 “美好方程”，求 m 的值； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）由3 x ＋ m ＝0，解得 x ＝－ . 由4 x －2＝ x ＋10，解得 x ＝4. 因为关于 x 的一元一次方程3 x ＋ m ＝0与4 x －2＝ x ＋10是“美好 方程”， 所以－ ＋4＝1.解得 m ＝9. 所以 m 的值为9. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若关于 x 的两个一元一次方程是“美好方程”，且两个解 的差为8，其中一个解为 x ＝ n ，求 n 的值. 解：（2）因为“美好方程”的两个解的和为1， 所以另一个方程的解为 x ＝1－ n . 因为两个解的差为8， 所以1－ n － n ＝8或 n －（1－ n ）＝8. 解得 n ＝－ 或 n ＝ . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型四　一元一次方程的同解问题 已知关于 x 的方程（ a －2）＋4 b ＝0为一元一次方 程，且该方程的解与关于 x 的方程 ＝ ＋1的解相同. （1）求 a ， b 的值； 【思路导航】（1）由一元一次方程的概念即可求出 a 的值，根 据两方程解相同即可求得 b 的值； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）因为方程（ a －2）＋4 b ＝0为一元一次 方程， 所以｜ a ｜－1＝1，且 a －2≠0. 所以 a ＝－2. 所以该方程为－4 x ＋4 b ＝0，解得 x ＝ b . 又因为方程的解与方程 ＝ ＋1的解相同， 所以 ＝1，解得 x ＝1. 所以 b ＝1. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若关于 y 的方程｜ m －1｜ y ＋ n ＝ a ＋1＋2 by 有无数个 解，求 m ， n 的值. 【思路导航】（2）根据题意得出关于 m ， n 的方程，求解即可. （2）由题可知，方程为｜ m －1｜ y ＋ n ＝－2＋1＋2 y ， 所以（｜ m －1｜－2） y ＝－ n －1. 因为方程有无数个解， 所以－ n －1＝0，｜ m －1｜＝2. 所以 n ＝－1， m ＝3或 m ＝－1. 【点拨】熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的意义 是解题的关键. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 已知关于 x 的方程（ m ＋3）＋6 n ＝0为一元一次方 程，且该方程的解与关于 x 的方程 －1＝ 的解相同. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （1）求 m ， n 的值； 解：（1）因为关于 x 的方程（ m ＋3）＋6 n ＝0是一元 一次方程， 所以｜ m ｜－2＝1， m ＋3≠0， 解得 m ＝3. 当 m ＝3时，方程为6 x ＋6 n ＝0， 解得 x ＝－ n . 解 －1＝ ，得 x ＝－5 n －8. 因为两个方程解相同， 所以－5 n －8＝－ n . 解得 n ＝－2. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若关于 y 的方程｜ a ｜ y ＋ a ＝ m ＋1－2 ny 无解，求 a 的值. 解：（2）把 m ＝3， n ＝－2代入｜ a ｜ y ＋ a ＝ m ＋1－2 ny ，得 ｜ a ｜ y ＋ a ＝4＋4 y . 因为关于 y 的方程｜ a ｜ y ＋ a ＝4＋4 y 无解， 所以｜ a ｜－4＝0，且4－ a ≠0. 所以 a ＝－4. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型五　一元一次方程在实际问题中的应用 为鼓励居民节约用水，某主城区居民生活用水实行每月阶 梯水费的收费制度，具体执行方案如下. 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元/m3） 第一阶梯 不超过12.5m3的部分 4.2 第二阶梯 超过12.5m3且不 超过17.5m3的部分 5.8 第三阶梯 超过17.5m3的部分 10.6 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （1）若小明家二月份用水8m3，则需缴水费 元； 【思路导航】（1）根据分段计费原则直接计算即可； 33.6　 （1）【解析】因为每户每月用水量不超过12.5m3的部分，价格 为4.2元/m3，所以小明家需缴水费8×4.2＝33.6（元）.故答案 为33.6. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若小明家三月份缴纳水费67元，则小明家三月份的用水量 为多少立方米？ 【思路导航】（2）设用水量为 x m3，先根据题意确定 x 的取值范围，再列方程求解即可. （2）解：设小明家三月份的用水量为 x m3. 因为12.5×4.2＝52.5（元），（17.5－12.5）×5.8＋52.5＝ 81.5（元），且52.5＜67＜81.5， 所以12.5＜ x ＜17.5. 根据题意，得12.5×4.2＋5.8（ x －12.5）＝67. 解得 x ＝15. 所以小明家三月份的用水量为15m3. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】涉及到分段计费问题需要读懂题意，在解决问题时注 意问题中变量所在的范围，准确找出对应的等量关系. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 某公园门票价格如下表： 购票数 1～50张 51～90张 90张以上 价格/（元/张） 13 11 9 某校七（1）班和七（2）班共100人去游园，其中七（1）班的 人数比40多，但不足50.经估算，若两个班都以班为单位分别购 票，则一共应付1196元. （1）求两个班的人数； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）设七（1）班有 x 人（40＜ x ＜50），则七（2）班有 （100－ x ）人. 根据题意，得13 x ＋11（100－ x ）＝1196.解得 x ＝48. 所以100－ x ＝100－48＝52. 故七（1）班有48人，七（2）班有52人. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若两个班作为一个团体购票，则可节省多少元？ （3）若七（1）班单独组织去游园，如何购票才最省钱？ 解：（2）根据题意，两个班作为一个团体购票，可节省1196－ 9×100＝296（元）. 解：（3）若七（1）班单独组织去游园，按实际人数购票，需花费13×48＝624（元）. 若购买51张票，需花费11×51＝561（元）. 因为561＜624， 所以若七（1）班单独组织去游园，直接购买51张票最省钱. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型六　一元一次方程在数轴中的应用 如图，已知在数轴上点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为 b ，且 a ， b 满足｜ a ＋10｜＋（ b －5）2＝0. （1） a ＝ ， b ＝ ⁠. －10　 5　 【思路导航】（1）利用非负数的性质即可求出 a ， b 的值； （1）【解析】因为｜ a ＋10｜＋（ b －5）2＝0， 所以 a ＋10＝0， b －5＝0. 所以 a ＝－10， b ＝5. 故答案为－10，5. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若点 C 在数轴上表示的数为10，在数轴上存在点 P ，使得 PA ＋ PB ＝ PC ，请求出点 P 表示的数. 【思路导航】（2）设点 P 表示的数为 x ，利用两点之间的距离计算方法列出方程解答； （2）解：设点 P 表示的数为 x . 因为 PA ＋ PB ＝ PC ， 所以｜ x －（－10）｜＋｜ x －5｜＝｜ x －10｜. 解得 x ＝－15或 x ＝－5. 所以满足 PA ＋ PB ＝ PC 的点 P 表示的数是－15或－5. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）若点 A ， B 分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的 速度同时向右运动，点 M 从原点 O 以每秒5个单位长度的速度同 时向右运动，是否存在常数 m ，使得3 AM ＋2 OB － mOM 为定 值？若存在，请求出 m 的值以及这个定值；若不存在，请说明 理由. 【思路导航】（3）设经过 t 秒运动，分别用含 t 的式子表示 AM ， OB ， OM 及3 AM ＋2 OB － mOM ，再令 t 的系数为0即可得答案. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（3）存在. 设经过 t 秒运动，则点 A 运动后表示的数是－10＋2 t ，点 B 运动 后表示的数是5＋3 t ，点 M 运动后表示的数是5 t . 则 AM ＝5 t －（－10＋2 t ）＝3 t ＋10， OB ＝5＋3 t ， OM ＝5 t . 所以3 AM ＋2 OB － mOM ＝3（3 t ＋10）＋2（5＋3 t ）－ m 5 t ＝ （15－5 m ） t ＋40. 所以当15－5 m ＝0，即 m ＝3时，3 AM ＋2 OB － mOM 的值是定 值，定值为40. 【点拨】在数轴上，用含 t 的代数式表示各点表示的数是前提， 用方程的思想解决问题是常用的方法. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 已知数轴上 A ， B 两点对应的数分别为 a 和 b ，且 a ， b 满足等式 （ a ＋9）2＋｜7－ b ｜＝0.点 P 为数轴上一动点，对应的数为 x . （1）填空： a ＝ ， b ＝ ，线段 AB ＝ ⁠. （1）【解析】因为 a ， b 满足（ a ＋9）2＋｜7－ b ｜＝0， 所以 a ＋9＝0，7－ b ＝0. 解得 a ＝－9， b ＝7. 则线段 AB ＝7－（－9）＝16. 故答案为－9，7，16. －9　 7　 16　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）数轴上是否存在点 P ，使得 PA ＝3 PB ？若存在，求出 x 的 值；若不存在，请说明理由. （2）解：存在. ①当点 P 在线段 AB 上时， PA ＋ PB ＝ AB . 因为 PA ＝3 PB ，所以3 PB ＋ PB ＝ AB ＝16. 所以 PB ＝4.所以7－ x ＝4.解得 x ＝3. ②当点 P 在线段 AB 的延长线上时， PA － PB ＝ AB . 因为 PA ＝3 PB ，所以3 PB － PB ＝ AB ＝16. 所以 PB ＝8.所以 x ＝7＋8＝15. 综上所述，存在点 P ，使得 PA ＝3 PB ，此时 x 的值为3或15. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）在（2）的条件下，若点 M ， N 分别是线段 AB ， PB 的中 点，试求线段 MN 的长. （3）解：①当点 P 在线段 AB 上时，如图1所示. 图1 图1 因为点 M ， N 分别是线段 AB ， PB 的中点， 所以 MB ＝ AB ＝8， BN ＝ PB ＝2. 由线段的和差，得 MN ＝ MB － NB ＝8－2＝6. ②当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图2所示. 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 因为点 M ， N 分别是线段 AB ， PB 的中点， 所以 MB ＝ AB ＝8， BN ＝ PB ＝4. 由线段的和差，得 MN ＝ MB ＋ NB ＝8＋4＝12. 综上所述，线段 MN 的长为6或12. 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$