综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒教学设计 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒（精品教案） 课题 综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 单元 综合与实践 学科 初中数学（北师大版2024） 年级 七年级 课时 1 课时（45 分钟） 课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程。对应核心素养：模型观念、应用意识、创新意识、运算能力、几何直观。 素养目标 1、【模型观念】能将实际问题抽象为数学问题，建立体积与边长的函数关系。 2、【应用意识】能运用所学知识解决实际问题，制作尽可能大的无盖长方体收纳盒。 3、【创新意识】能提出不同的设计方案，比较并优化。 4、【运算能力】能准确计算不同剪法下的体积。 5、【几何直观】能通过画图和实验直观感受体积的变化规律。 教材分析 本节课是北师大版（2024）七年级上册的综合与实践课，是在学习一元一次方程、整式及其加减等知识后，运用所学知识解决实际问题的综合实践课。 教材编写路径：提出问题（用正方形纸片制作无盖长方体）；动手操作（剪去四个角，折起来）；探究规律（不同剪法的体积比较）；找到最优解（使体积最大的剪法）。 本节是培养学生综合运用数学知识解决实际问题能力的重要课型。 学情分析 已知基础：已学习整式及其加减、一元一次方程，能进行基本的代数运算。 认知障碍：①不会将实际问题抽象为数学问题；②不会比较不同方案的优劣；③对“最大值”的概念理解不深。 教学策略：通过动手操作引入；通过实验探究规律；通过数据分析找到最优解。 教学重点 制作无盖长方体的方法；探究不同剪法下的体积变化规律。 教学难点 找到使体积最大的剪法；将实际问题抽象为数学模型。 教学准备 多媒体课件（PPT）、正方形硬纸片（边长20cm）、剪刀、直尺、计算器、学习任务单。 教学环节（时长） 教师活动 学生活动 设计意图 一、情境引入 “制作收纳盒” （3分钟） 【活动1·提出问题】 教师提出：给你一张边长20cm的正方形硬纸片，你能做一个无盖的长方体收纳盒吗？怎样做才能让这个收纳盒的容积最大？ 学生：思考并回答。 教师点题：今天我们就来动手做一做，看看怎样才能做出容积最大的无盖长方体收纳盒。 1、思考问题； 2、提出猜想； 3、进入学习状态。 提出问题，激发探究兴趣。 二、探究1 制作方法 （10分钟） 【活动2·动手制作】 教师示范（见图1）：制作无盖长方体的方法： ·第一步：准备一张正方形硬纸片； ·第二步：在四个角各剪去一个相同的小正方形； ·第三步：把四边折起来，就做成了一个无盖长方体。 教师引导学生动手操作（见图1）：学生用边长20cm的正方形纸片，剪去边长为x cm的小正方形，折成无盖长方体。 思考：剪去的小正方形的边长x对长方体的体积有什么影响？ 图1 制作无盖长方体的过程 1、观察示范； 2、动手制作； 3、思考问题。 掌握制作方法，落实几何直观。 三、探究2 体积与边长的关系 （12分钟） 【活动3·探究规律】 教师引导学生探究（见图2）：体积与边长的关系： ·设剪去的小正方形边长为x cm； ·折成的无盖长方体的底面边长为(20-2x) cm； ·高为x cm； ·体积公式：V = x(20-2x)²。 教师引导学生计算（见图2）：当x取不同值时，体积分别是多少？ ·x=1时，V=1×18²=324 cm³； ·x=2时，V=2×16²=512 cm³； ·x=3时，V=3×14²=588 cm³； ·x=4时，V=4×12²=576 cm³； ·x=5时，V=5×10²=500 cm³。 教师归纳（见图2）：体积随着x的增大先增大后减小，存在一个最大值。 图2 体积与边长的关系 1、推导公式； 2、计算体积； 3、发现规律。 探究体积变化规律，落实模型观念。 四、探究3 找到最优解 （10分钟） 【活动4·找到最大值】 教师引导学生比较（见图3）：不同剪法的体积对比： 从计算结果可以看出，当x=3时，体积588 cm³；当x=4时，体积576 cm³。 思考：最大值在哪里？ 教师引导学生进一步探究（见图3）：当x=3.33（即10/3）时，体积约为592.6 cm³，这是最大值。 结论（见图3）：当剪去的小正方形边长为原正方形边长的1/6时，折成的无盖长方体体积最大。 验证：用计算器计算更多的x值，验证结论。 图3 不同剪法的体积对比 1、比较大小； 2、找到最大值； 3、验证结论。 找到最优解，落实创新意识。 五、典例精讲 （5分钟） 【活动5·例题】 例1：用边长为30cm的正方形纸片制作无盖长方体，剪去的小正方形边长为5cm，求体积。 【答案】底面边长 = 30 - 2×5 = 20（cm）；高 = 5（cm）；体积 = 20×20×5 = 2000（cm³）。 例2：用边长为20cm的正方形纸片制作无盖长方体，要使体积最大，剪去的小正方形边长应为多少？ 【答案】剪去的小正方形边长 = 20÷6 = ≈ 3.33（cm）。 例3：用边长为20cm的正方形纸片制作无盖长方体，当剪去的小正方形边长为3cm时，体积是多少？ 【答案】底面边长 = 20 - 2×3 = 14（cm）；高 = 3（cm）；体积 = 14×14×3 = 588（cm³）。 1、独立完成； 2、说出依据； 3、规范书写。 巩固知识，落实应用意识。 六、课堂练习 （5分钟） 1、用边长为10cm的正方形纸片制作无盖长方体，剪去边长为1cm的小正方形，体积是多少？【答案】底面边长 = 10 - 2×1 = 8（cm）；体积 = 8×8×1 = 64（cm³）。 2、用边长为20cm的正方形纸片制作无盖长方体，剪去边长为2cm的小正方形，体积是多少？【答案】底面边长 = 20 - 2×2 = 16（cm）；体积 = 16×16×2 = 512（cm³）。 3、要使无盖长方体体积最大，剪去的小正方形边长应为原正方形边长的___。【答案】1/6。 独立完成，同桌互查。 当堂检测。 七、课堂小结 （2分钟） 一、制作方法：在正方形四个角剪去相同的小正方形，折起来； 二、体积公式：V = x(20-2x)²； 三、规律：体积随着x的增大先增大后减小； 四、结论：当剪去的小正方形边长为原正方形边长的1/6时，体积最大。 口头梳理。 结构化认知。 八、作业布置 （分层） A 层：用边长为15cm的正方形纸片制作无盖长方体，剪去边长为2cm的小正方形，求体积。【答案】底面边长 = 15 - 2×2 = 11（cm）；体积 = 11×11×2 = 242（cm³）。 B 层：用边长为20cm的正方形纸片制作无盖长方体，要使体积最大，剪去的小正方形边长应为多少？最大体积是多少？【答案】剪去边长 = 20÷6 = ≈ 3.33（cm）；最大体积 ≈ 592.6（cm³）。 C 层：用边长为a cm的正方形纸片制作无盖长方体，要使体积最大，剪去的小正方形边长应为多少？【答案】剪去边长 = a÷6 = （cm）。 预习：回顾与思考。 记录作业。 分层作业。 板书设计 综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 一、制作方法：剪去四个角 → 折起来 二、体积公式：V = x(20-2x)² 三、规律：先增大后减小 四、结论：剪去边长 = 原边长的 1/6 时，体积最大 — 板书结构化。 预设 反思要点 1、目标达成：学生能否制作无盖长方体？能否找到使体积最大的剪法？ 2、活动效果：动手制作、探究规律、找到最优解哪个最有效？ 3、易错预判：①不会推导体积公式；②计算体积出错；③对“最大值”理解不深。 4、改进设想：若学生基础薄弱，多动手操作；若基础好，可探究长方形纸片的情况。 — 提前预设。 课后反思（课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $