2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考调研测试高二数学试卷

2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考 调研测试高二数学试卷 试卷共4页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1. 考查范围:高中全部内容。 2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则中元素的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 2. 已知随机变量,且,则 A. B. C. D. 3. 已知向量,若,则 A. B. C. D. 4. 若椭圆的离心率为,则该椭圆的半焦距为 A. B. C.3或 D.3或 5. 已知等比数列的前项和为,则 A.1 B.2 C.3 D. 6. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,则的最大值为 A. B. C. D. 7. 设为函数的极值点,则 A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于M,N两点,若以为直径的圆过点,则的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知,则 A. B. C.在复平面上对应的点位于第三象限 D. 10. 已知为定义在上的奇函数,为定义在上的偶函数,则 A. B. C. D. 11. 已知函数,若方程有6个根,则的值可能为 A.0 B. C. D.1 三、填空题:本题共5小题,共15分; 12.2024年高考于6月7日正式开考，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为11.12.12.13.13,14.14,15.15,16,17,18,则该组数据的第75百分位数为 13. 若双曲线的左、右焦点分别为是右支上的动点, 则的取小值为 14.某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台,记该正四棱台为,经测量其体积为，上底面、下底面的边长分别为2,4,记AC,BD交于点交于点交于点交于点,则= 若四棱台为的各个顶点均在球的表面上,则球的表面积为 4、 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)已知函数.记为的导函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求的最值. 16. (15分)2024年5月底,各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作,某市经过初次选拔后有小明、小王、小红三名同学成功进入决赛,在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知小明成功解出这道题的概率是,小明、小红两名同学都解答错误的概率是,小王、小红两名同学都成功解出的概率是,这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王、小红两名同学成功解出这道题的概率; (2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率. 17. (15分)在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,且底面,点满足. (1)证明:平面; (2)求平面与平面的夹角的大小. 18. (17分)已知抛物线的焦点在直线上. (1)求的方程; (2)过点的直线交于M,N两点,又点在线段上,且,证明:点在定直线上. 19. (17分)若数列满足,且,则 称数列为“正余弦错位数列”.已知数列为“正余弦错位数列”. (1)若,求; (2)证明:数列为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考 调研测试高二数学试卷 解析版 试卷共4页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1. 考查范围:高中全部内容。 2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则中元素的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 1.【答案】A 【解析】由题意可得 ,所以 , ,故 中元素的个数为 4 . 故选 A. 2. 已知随机变量,且,则 A. B. C. D. 2.【答案】D 【解析】由题意得 ,解得 . 故选 D. 3. 已知向量,若,则 A. B. C. D. 3.【答案】B 【解析】因为 ,所以 ,解得 ,故 . 故选 B. 4. 若椭圆的离心率为,则该椭圆的半焦距为 A. B. C.3或 D.3或 4.【答案】D 【解析】若椭圆的焦点在 轴上,则离心率 ,得 ,此时半焦距 ,若椭圆的焦点在 轴上,则离心率 ,得 ,此时半焦距 ,所以该椭圆的半焦距为 3 或 . 故选 D. 5. 已知等比数列的前项和为,则 A.1 B.2 C.3 D. 5.【答案】B 【解析】设等比数列 的公比为 ,即 , . 故选 B. 6. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,则的最大值为 A. B. C. D. 6.【答案】C 【解析】因为 ,则由余弦定理可得 ,当且仅当 时取等号. 又 ,所以 . 故选 C. 7. 设为函数的极值点,则 A. B. C. D. 7.【答案】B 【解析】由 得 ,设 ,则 ,所以 在 上单调递减,又 ,由零点存在定理知,存在 ,使得 . 故选 B. 8. 已知直线与圆交于M,N两点,若以为直径的圆过点,则的最大值为 A. B. C. D. 8.【答案】C 【解析】设 的中点 ,则 . 又 ,则 ,所以 . 又以 为直径的圆过点 ,则 ,而 ,所以 ,即 ,整理得 ,所以 在圆心为 、半径为 的圆上. 又 ,所以点 在圆 外,则 ,所以 . 故选 C. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知,则 A. B. C.在复平面上对应的点位于第三象限 D. 9.【答案】ACD(每选对 1 个得 2 分) 【解析】 ,故 A 正确; , 故 错误; ,其在复平面内对应的点为 ,位于第三象限,故 正确; ,故 正确. 故选 ACD. 10. 已知为定义在上的奇函数,为定义在上的偶函数,则 A. B. C. D. 10.【答案】ABC(每选对 1 个得 2 分) 【解析】因为 是奇函数, 是偶函数,所以 ,对于 ,故 A 正确; 对于 B, ,故 B 正确; 对于 C, ,故 正确; 对于 ,故 错误. 故选 . 11. 已知函数,若方程有6个根,则的值可能为 A.0 B. C. D.1 11.【答案】BC(每选对 1 个得 3 分) 【解析】由 解得 ,此时 ,由 解得 ,此时 ,所以 作出 的图象如图所示,由方程 有 6 个根,可知 有 4 个不同的实根, 有 2 个不同的实根,所以 解得 . 故选 BC. 三、填空题:本题共5小题,共15分; 12.2024年高考于6月7日正式开考，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为11.12.12.13.13,14.14,15.15,16,17,18,则该组数据的第75百分位数为 12.【答案】15.5 【解析】因为 ,所以这组数据的第 75 百分位数是 . 13. 若双曲线的左、右焦点分别为是右支上的动点, 则的取小值为 13.【答案】3 【解析】由题意设 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以当 时, 取得最小值 3 . 14.某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台,记该正四棱台为,经测量其体积为，上底面、下底面的边长分别为2,4,记AC,BD交于点交于点交于点交于点,则= 若四棱台为的各个顶点均在球的表面上,则球的表面积为 14.【答案】 (第一空 2 分,第二空 3 分) 【解析】如图,连接 ,则 底面 ,由题意可得 该正四棱台的体积 . 连接 ,故 四棱台外接球的球心 在 的延长线上,设 ,则 ,由 ,得 ,解得 ,故 ,即球 的半径 球 的表面积为 . 4、 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)已知函数.记为的导函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求的最值. 15. 解: (1) 由题得 ,则 ,又 ,(4 分) 故曲线 在点 处的切线方程为 . (6 分) (2) 令 ,则 ,(8 分) 所以当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,(10 分) 所以 ,故 的最小值为 2,无最大值. (13 分) 16. (15分)2024年5月底,各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作,某市经过初次选拔后有小明、小王、小红三名同学成功进入决赛,在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知小明成功解出这道题的概率是,小明、小红两名同学都解答错误的概率是,小王、小红两名同学都成功解出的概率是,这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王、小红两名同学成功解出这道题的概率; (2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率. 16. 解: (1) 设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件 根据题意,则有 ,则 ,又 , 所以 ,即 ,( 5 分) 又 ,所以 . 即小王、小红成功解出这道题的概率分别为 . (7 分) (2) 设三人中至少有两人成功解出这道题为事件 则有 ,(13 分) 所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为 . (15 分) 17. (15分)在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,且底面,点满足. (1)证明:平面; (2)求平面与平面的夹角的大小. 17. (1) 证明: 因为底面 是正方形,所以 又因为 平面 平面 , 所以 ,又 平面 ,所以 平面 . (5 分) (2) 解: 平面 平面 ,所以 ,所以 两两垂直, 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系, 则 所以 , 设平面 的法向量为 ,则 (9 分) 解得 ,令 得 ,故 , 设平面 的法向量为 , 则 解得 ,令 得 , 故 设平面 与平面 的夹角为 , 所以 . (13 分) 又 ,所以 ,故平面 与平面 的夹角为 . (15 分) 18. (17分)已知抛物线的焦点在直线上. (1)求的方程; (2)过点的直线交于M,N两点,又点在线段上,且,证明:点在定直线上. 18. (1) 解: 由题意可得 ,所以 ,解得 , 所以抛物线 的方程为 . (4 分) (2) 证明: 设直线 的方程为: ,(5 分) 设 ,不妨设 , 联立直线 与抛物线 的方程 可得 ,由 ,得 ,又 , 所以 且 因为 ,则有 整理可得 ,即 所以 ,又点 在直线 上,所以 ,消 得 , 由 且 得 且 , 所以点 在定直线: 上. (17 分) 19. (17分)若数列满足,且,则 称数列为“正余弦错位数列”.已知数列为“正余弦错位数列”. (1)若,求; (2)证明:数列为等差数列. 19. (1) 解: 当 时,由 ,知 . (1 分) 又由 ,知 ,所以 , 又 ,符合题意. (3 分) 同理,由 ,得 或 . (4 分) 又 或 ,所以 . ( 5 分) 由 ,得 ,又 , 符合题意. (7 分) (2) 证明: 由 ,得 所以 或 , 即 或 . (11 分) 因为 , 所以 , 所以 ,(14 分) 所以 或 或 . 又 ,所以 , 所以 , 所以数列 是公差为 的等差数列. (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$