陕西省榆林市2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

2024 学年高一下学期期末试卷·数学　 第 1 页(共 4 页) 2024 学年高一下学期期末试卷·数学　 第 2 页(共 4 页)                       2024 学年高一下学期期末试卷 数　 学 试卷满分:150 分　 　 考试时间:120 分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上 无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 已知集合 A= {x | y= ln(x+1)},B= {x | y= x },则 A∩B(　 　 ) A. ( -∞ ,-1) B. ( -∞ ,0) C. ( -1,+∞ ) D. [0,+∞ ) 2. 已知复数 z= 1+2i-i9( i 为虚数单位),则 z— 的虚部为(　 　 ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 AB,BC 的中点,则 AF→·AE→ = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某种化学物质的衰变满足幂函数模型,每周该化学物质衰减 20% ,则经过 n 星期后,该化学物质的 存量低于该化学物质的 1 5 ,则 n 的最小值为(　 　 )(参考数据:lg2≈0. 3010) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 已知平面向量 a→ = (1,2),b→ = (2,3),则向量 b→-a→ 在 a→ 上的投影向量为(　 　 ) A. 2 5 , 4 5( ) B. - 2 5 ,- 4 5( ) C. 3 5 , 6 5( ) D. - 3 5 ,- 6 5( ) 6. 已知 a,b>0 满足点 1 a+1 , 1 b( ) 在直线 x+y= 1 上,则 2a+b 的最小值为(　 　 ) A. 1+2 2 B. 1+ 2 C. 2 D. 2 2 7. 在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 B = 60°,b = 3 3 ,ΔABC 只有一个解,则 c 的取值范 围为(　 　 ) A. 0,3 3( ) B. 0,3 3( ] C. 3 3 ,6( ) D. 0,3 3( ] ∪{6} 8. 已知正三棱锥 O-ABC,满足 OA⊥OB,OB⊥OC,OA⊥OC,OA= 3,点 P 在底面 ABC 上,且 |OP | = 6 , 则点 P 的轨迹长度为(　 　 ) A. π 2 B. 2 π 2 C. 3 π 2 D. π 二、多选题(共 3 小题,每小题 6 分,部分选对按比例得分,共 18 分) 9. 已知 a,b 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列说法正确的是(　 　 ) A. 若 a∥b,b⊂α,a⊄α,则 a∥α B. 若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b C. 若 α⊥β,α∩β= b,a⊥b,则 a⊥β D. 若 a,b 为两条异面直线,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则 α∥β 10. 已知随机事件 A,B,满足 P(A)= 0. 3,P(B)= 0. 6,则下面结论不正确的是(　 　 ) A. 若 A,B 为互斥事件,则 P(A+B)= 0. 18 B. 若 P(A+B)= 0. 8,则 A,B 可能为互斥事件 C. 若 A,B 为独立事件,则 P(A B)= 0. 28 D. 若 P(AB)= 0. 12,则 A,B 可能不为独立事件 11. 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点M 为 BC 的中点,点 P 为正方形 A1B1C1D1 内包 含边界的动点,则(　 　 ) A. 直线 B1M 到平面 A1D1DA 的距离为 2 B. 点 A 到 C1M 到的距离为 30 5 C. 直线 MP 与平面 A1D1DA 上任意直线所成角中的最小角的正弦 值为 2 3 D. 满足 MP⊥AM 的点 P 的轨迹长度为 5 2 三、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 12. 已知甲、乙、丙三名同学站在一排进行拍照,则甲在中间的概率　 　 　 　 . 13. 已知 sin(x+π 3 ) -sinx= 1 3 ,则 cos(2x+π 3 )　 　 　 　 . 14. 已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛,每人输两次即被淘汰,比赛顺序为甲、乙先比,丙轮空,之后 胜者与丙比赛,败者轮空,以此类推直到比出获胜者,假如甲、乙、丙三人实力相当,则丙获胜的概 率为　 　 　 　 . 四、解答题(共 5 小题,共 77 分) 15. (本小题满分 13 分) 已知向量 a→,b→ 满足 | a→ | = 3, | b→ | = 6,a→·b→ = 9. (1)求 | 3a→-b→ | ; (2)若向量 2b→+ka→ 与 b→-2a→ 相互垂直,求实数 k 的值. 2024 学年高一下学期期末试卷·数学　 第 3 页(共 4 页) 2024 学年高一下学期期末试卷·数学　 第 4 页(共 4 页)     16. (本小题满分 15 分) 某学校高一年级进行某学科的考试,所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示,第一组成 绩在 50,60[ ) ,第二组成绩在 60,70[ ) ,第三组成绩在 70,80[ ) ,第四组成绩在 80,90[ ) ,第五组成 绩在 90,100[ ] . (1)求图中 a 的值; (2)年级准备表扬在本次考试中成绩在前 1 4 的同学,定为成绩优胜,估计此次考试成绩优胜的分数线; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人,进行成绩情况调研. 若抽取的同学中,第 二组的成绩的平均数和方差分别为 65 和 40,第四组的成绩的平均数和方差分别为 83 和 70,据 此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 17. (本小题满分 15 分) 已知 ΔABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,点 D 为边 BC 上一点,满足(AD→+AC→)·BC→ = 0. (1)求证:AD= b; (2)若 AD 为内角 A 的角平分线,满足 |BD→ | = 2 |CD→ | ,求 sinA. 18. (本小题满分 17 分) 如图,已知三棱锥 A-BCD,三角形 ABD 为等边三角形,BD=AC,BC⊥CD. (1)若点 O 为 BD 的中点,证明:AO⊥OC; (2)当 BC=CD 时,求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)当异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 1 4 时,求BC CD 的值. 19. (本小题满分 17 分) 在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,点 M,N 分别为边 BC,AB 的中点, 满足 AM→·CN→ = 0. (1)求边 a,b,c 之间的关系; (2)求 cos∠B 的值域.