2.2 基本不等式 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 知识点一 基本不等式的理解 【解题思路】基本不等式的理解 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝； 仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 总结：一正二定三等 【例1-1】（22-23高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（22-23·福建龙岩·阶段练习）当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 常数替换型 【解题思路】常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 【例2-1】（23-24重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（23-24高一·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为 . 【例2-4】（23-24高一·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【变式】 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2024·江苏扬州 ）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（23-24高一·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知，且，则的最小值是 5．（2024北京）若正实数满足，则最小值为 6．（23-24高一·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 7．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为 . 8．（23-24高一·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为 . 知识点三 配凑型 【解题思路】拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 【例3-1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【例3-2】（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（22-23高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023湖南）函数 的最大值为 . 2．（2023-2024广东）函数的最小值为 ． 3．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为 ． 知识点四 求参数的取值范围 【解题思路】分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解 【例4-1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（     ） A． B． C．3 D．1 知识点五 基本不等式解决实际问题 【解题思路】利用基本不等式解决实际问题的解题思路 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 【例5】（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【变式】 1．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 2．（23-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值． 重难点一 利用基本不等式比较大小 【解题思路】运用基本不等式比较大小 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【例6-1】（22-23高一上·山东青岛·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）（多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知,则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·广东茂名·阶段练习）若，且，则在四个数中正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点二 利用基本不等式证明不等式 【解题思路】利用基本不等式证明不等式的解题思路 (1)从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【例7-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式】 1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）对于题目：已知，，且，求最小值． 甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为． 乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为． 丙同学的解法：因为，，所以． (1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）； (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：． 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且． (1)求证：； (2)求证：． 1． 单选题 1．（2023·重庆）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　） A． B．2 C．4 2．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 3．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 4．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（       ） A．4 B．6 C． D． 7．（2024·辽宁 ）已知正实数x，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽 ）已知，满足，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．2 2． 多选题 9．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A．若正实数x，y满足，则 B．当时，不等式的最小值为3 C．不等式恒成立 D．存在实数，使得不等式成立 10．（22-23高一上·甘肃兰州·阶段练习）（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 3． 填空题 12．（浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）已知实数，，且，则的最小值为 . 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 14．（2023·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________． 4． 解答题 15．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值； (3)若，求的最大值． 16．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 17．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)正实数，满足． ①求的最小值； ②若恒成立，求实数的取值范围． 19．（2023·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 知识点一 基本不等式的理解 【解题思路】基本不等式的理解 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝； 仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 总结：一正二定三等 【例1-1】（22-23高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：. 【例1-2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误.故选：C. 【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，故等号不成立，所以，，D对. 故选：BCD. 【变式】 1．（22-23·福建龙岩·阶段练习）当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【解析】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误；故选：BC. 知识点二 常数替换型 【解题思路】常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 【例2-1】（23-24重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，最小值为. 故选：B. 【例2-3】（23-24高一·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为 . 【答案】1 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 【例2-4】（23-24高一·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则，且， 所以，又， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 【变式】 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 2．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 3．（2024·江苏扬州 ）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 4．（23-24高一·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知，且，则的最小值是 【答案】 【解析】由可得，，因, 则 ，当且仅当时等式成立， 即时，的最小值是. 故答案为：. 5．（2024北京）若正实数满足，则最小值为 【答案】 【解析】由于都为正数，且． 由 ，当且仅当，时， 即时，等号成立.所以有最小值． 故答案为：． 6．（23-24高一·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【解析】，，， ， ， ，当且仅当时，即时取等号． 故答案为：． 8．（23-24高一·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为 . 【答案】12 【解析】令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立．故答案为：12. 知识点三 配凑型 【解题思路】拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 【例3-1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【解析】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 【例3-2】（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 【例3-3】（22-23高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【变式】 1．（2023湖南）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 2．（2023-2024广东）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 3．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 【答案】 【解析】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，令，则， 又因为，可得， 因为，当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 知识点四 求参数的取值范围 【解题思路】分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解 【例4-1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即解得故实数的取值范围是故选：C 【例4-2】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 【变式】 1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 2．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 3．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（     ） A． B． C．3 D．1 【答案】ABC 【解析】由，，则， 即恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即， 即， 解得或. 故选：ABC. 知识点五 基本不等式解决实际问题 【解题思路】利用基本不等式解决实际问题的解题思路 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 【例5】（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【解析】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【变式】 1．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】(1) (2)当点满足时，最小，最小值为亿元. 【解析】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. （2）依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 2．（23-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由函数的图象经过第一象限的点， 则，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由，解得， 即实数的取值范围. （2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为， 可得，则四边形为矩形，所以面积为， 因为，且， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以四边形面积的最大值为. 重难点一 利用基本不等式比较大小 【解题思路】运用基本不等式比较大小 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【例6-1】（22-23高一上·山东青岛·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误； B：由，仅当时等号成立，故，正确； C：由，仅当时等号成立，故，错误； D：由，仅当时等号成立，故，错误. 故选：B 【例6-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而， 故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为， 但，不妨设， 此时， 当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 【变式】 1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）（多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：由题设，当且仅当时取等号，对； B：由题设，当且仅当时取等号， 所以，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：，当且仅当时取等号，错. 故选：ABC 2．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，，， 对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，取，，得，故D错误. 故选：ABC 3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】解:由题知,当时, , 故选项A,D错误; 根据算术平均数大于等于调和平均数, 所以,即, 由 , 当且仅当,即时,等号成立, 因为,所以, 此时, 故,故选项B正确. 因为,所以, 即,当且仅当, 即时,等号成立, 所以, 故选项C正确. 故选:BC 4．（22-23高一上·广东茂名·阶段练习）若，且，则在四个数中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由于，则， 又，所以， 又，即. 故选：ABD 重难点二 利用基本不等式证明不等式 【解题思路】利用基本不等式证明不等式的解题思路 (1)从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【例7-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式】 1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)8. 【解析】（1），则，当且仅当时取等号， 所以. （2）由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）对于题目：已知，，且，求最小值． 甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为． 乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为． 丙同学的解法：因为，，所以． (1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）； (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：． 【答案】(1)甲错误，乙、丙正确 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）甲错误，乙、丙正确， 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合题目要求，故甲错误. 乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确. 丙用了两次基本不等式，两次等能同时取得，解法正确； （2）（i），， ， 当且仅当即时等号成立. （ii）因为，，为正数， 由基本不等式可得，，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）由，所以． 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，由此得证． （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，由此得证． 1． 单选题 1．（2023·重庆）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　） A． B．2 C．4 【答案】D 【解析】，等号成立条件是，即时取等号， 即当且仅当时取等号，所以ab的最大值是4.故选：D. 2．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 3．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 4．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为正数满足，所以. 所以, 当且仅当，即时，取等号， 当时，取得的最小值为. 故选：A. 5．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 6．（2024四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（       ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】因为.所以. 当且仅当“”即时取“=”.故选：B. 7．（2024·辽宁 ）已知正实数x，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即y的最大值是.故选：D. 8．（2024·安徽 ）已知，满足，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．2 【答案】D 【解析】由，得，而，则有， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为2.故选：D 2． 多选题 9．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A．若正实数x，y满足，则 B．当时，不等式的最小值为3 C．不等式恒成立 D．存在实数，使得不等式成立 【答案】AD 【解析】对于A，若正实数x，y满足，则， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，时，，则有， 当且仅当时，即时等号成立，故该题等号不能成立，所以不等式的最小值不为3，故B错误； 对于C，不等式恒成立的条件是，，比如取，时，不等式不成立，故C错误； 对于D，当为负数时，不等式成立，比如取，不等式成立，故D正确. 故选：AD. 10．（22-23高一上·甘肃兰州·阶段练习）（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 11．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有， 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误.故选：AB. 3． 填空题 12．（浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）已知实数，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为，，且， 则， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14．（2023·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 4． 解答题 15．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)4，； (2) (3)． 【解析】（1），当且仅当时取等， 故最小值为4，此时； （2），当且仅当时取等， 故最大值为. （3），当且仅当时取等， 故所求最大值为. 16．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）  ；（3）． 【解析】（1）， 当且仅当，即时取等号． 故取得最大值时，的值为． （2） ．（） 当且仅当，即时取等号． 故函数的最小值为． （3）x，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 17．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【解析】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)正实数，满足． ①求的最小值； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【解析】（1）由题意可得和是关于的方程的两个根， 由根与系数的关系可得，解得． （2）①由（1）可得， 又，，所以当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当，时取等号. ②因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 因为恒成立，所以恒成立， 则，即实数的取值范围为. 19．（2023·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】(1)， (2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）． 【解析】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元， 则， ，． （2）解：由（1）可得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时． 所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$